第11章 专题探究05 余弦定理、正弦定理的应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

专题探究05余弦分 1.(2024·湖北武汉高一月考)如图是某人设计 的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶 点A,B,C在某圆上，且AD∥BC,AD⊥ CD,AD=4,BC=3,CD=1,则该圆的面积为 17 5 A.πB. 2 C.9π D.4W (第1题) (第3题) 2.(2024·云南大理高一月考)在△ABC中， 角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A= 3 a=2.sin A-sin B)(asin A+bsin B)-(a- b)·sin2C=0,则△ABC的面积为() A.√3 B2 c D.1或2 3.(2024·福建泉州高一期中)如图，在四边 形ABCD中，∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB= 126,∠ADC=120°，记AD与CD的长度和为 L,则L的最大值为 A.162B.163C.182 D.183 4.(2024·陕西宝鸡高一月考) D 随着生活水平的不断提高，人 们更加关注健康，重视锻炼 通过“小步道”，走出“大健 康”，健康步道成为引领健康 生活的一道亮丽风景线.如图，A-B-C-D-E 为某区的一条健康步道，其中AB,CD,DE,AE 第11章 理、正弦定理的应用 为线段，B,C,D三点共线，BC是以BC为直 径的半圆，AB1BD,AB=多CD=6km, cw∠BD-子，AE=DE,∠E=2LBAD,则该键 康步道的长度为 5.(2024·江苏徐州高一月考)已知在钝角三角 形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,sinA-sinB=2 sin Beos C,则实数at9的取 值范围为 6.(2024·浙江湖州高二月考)如图所示，某公 路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3km, 0B=3√3km,∠A=60°，∠A0B=90°，当地政 府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中 点M,N都在边AB上（点M,N不与点A,B重 合，点M在点A,N之间)，且∠MON=30°. (1)若点M在距离A点2km处，求点M,N之 间的距离； (2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积 要尽可能小，设∠A0M=0,0<0<T,试确 定当0为多大时△OMN的面积最小，并 求出最小面积值， 学霸059 第11章真题演练 1.（2023·全国乙文)在△ABC中，内角A,B,C5.(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A, 的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且 B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ G则8 ( √3c0sA=2. (1)求A; A.o C.3m D.2m 10 5 (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的 2.（2024·全国甲理)在△ABC中，内角A,B,C 周长 所对的边分别为a,6,c,若B=60,62=9。 则sinA+sinC= A B.√2 .分 2 2 3.（2023·全国甲理)在△ABC中， 6.（2024·北京)在△ABC中，内角A,B,C的对 ∠BAC=60°，AB=2,BC=√6，∠BAC 视频讲解 边分别为a,b,c,A为钝角，a=7,sin2B= 的平分线交BC于点D,则AD= √ 7bcos B. 4.(2024·新课标全国I)记△ABC的内角A, (1)求A; B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2cosB, (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中 a2+b2-c2=√2ab. 选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 (1)求B; △ABC的面积， (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 条件①：6=7方条件②：mB-是：条件 ③，s04a 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分。 频讲解 必修第二册·SJ学霸060120°，∠SB0=45°+90°=135°，在△SAB中，有AB=R,∠SAB= 120°-60°=60°，∠SBA=135°-60°=75°，∠ASB=180°-60°- 75=45°，i血LS8A=in75°=sim(45+30)=6W2由正弦定 sm2i0n2a即R:1 理，得BSM √2w6+√21 M=3+1 2 24 在AS0中，有SM=,0A=R,∠sM0=120,由余孩定里，得 w=4+0-2s·0m∠80=()）°+R- R·(）-(+5),则os√令R 卫星S到地面的商度为（√？+厅-1）R故答案为 (√i-i 22.解：(1)在△AB0中，由正弦定理得0A:AB sin 6 6 0A=43sin0: 同理由正弦定理可得inLOAB B=AD,则OB=4V5sin∠0AB sin- 6 4(ag） 2)AB=23,LM8=∠MB1=石AM=BM=2 在△OMB中，由余弦定理得OM2=OB2+BMP-20B· Bm(rg)=48s2(o+石）+4-i65m(e+石） m(e+石）=24x[1-os(子+20）]+4-85m(g+20） -8x[m（号+2n）+3m(号+20)]+28= -165sm(2+2）+28 0=(0,g）29+e(2）m(29*） [,)月 当血(20）-1，即9=晋时，0取最大值x+16万： 4+23,此时0A=43sin T m）-6+3点，08=45（+）=45m( ）-4-6+3点，即当0=-0=6+3时，0取最 大值 专题探究05余弦定理、正弦定理的应用 1.B解析：如图，连接AC,在△ACD中，AD=4,CD=1, AD1CD,则AC=√AD2+CD=√7，所以 sin∠CAD=CD、1 AC√17 为AD∥BC,所以LACB=LCAD,所以 cos ZACB=c0s L CAD=4 ,sin∠ACB=sinL CAD= ，所以 1 √17 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos LACB=17+9-2V7×3x4 =2, 7 必修第二册·SJ AB=5=√34，所 所以AB=2.设该圆的半径为R,则2R=sinZACB工 √17 1341217 以该圆的面积为mR=(2)=2m故选B. 2.B解析：由(sinA-sinB)(asin A+bsin B)-(a-b)sin2C=0及正弦 定理得，(a-b)(a2+b2)-(a-b)c2=0,得a=b或a2+b2=c2.当a=b 时，因为A=π 32*2x2x 3,a=2,所以b=c=2,S△A8c=2 bcsin T=1 =5,当a+2=c2时，则三角形ABC为直角三角形，C=7因 2 号a=2,所以B=看6=3 为A= 2w3 1 1 3 2w5 .2√5 3 综上所述，△ABC的面积为5或3故选B. 3.B解析：在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=126, 由正弦定理得，inLACB"sinZ ABC,所以4C=n∠MC AB AC sin∠ACB 126x② 2 =24.在△ADC中，∠ADC=120°，AC=24,设∠DAC=6,则 3 ∠ACD=60-9,且0∈(0,60P),由正弦定理得，m0 CD AD AC in(60°-0)sin120°√5 -24=165,所以CD=165sin0,AD= 2 163sin(60°-0)，L=CD+AD=163·[sin0+sin(60°-0)]= 165.(sin0+sin60°cos0-cos60°sin0)=165. 1 2 sin 0+ 2c0s0-163sin(0+60)≤165.因为0°<0<60°，所以当0= √3 30°时，L取得最大值163.故选B. 4.（22.5+2m)km解析：如图，连接AD,BC,因 为AB= 号CD=6,所以AB=6,C0=4,在△AB0 中，ABLBD,e∠B0=子，所以m∠AD=子 由直角三角形三角函数的定义知，BD=AB· am乙BAD=6xg=8,所以BC=BD-CD=8-4=4, 所以半圆BC的弧长为】×4T=2m.在Rt△ABD中，AB=6,BD=8, 2 所以AD=√AB2+BD=√62+82=10，在△ADE中，设AE=DE= t(t>0),由余弦定理可得，AD2=AE2+DE2-2AE·DEcos E,即50= 9 t2(1-cosE).因为∠E=2∠BAD,所以cosE=cos2∠BAD=2× 25 125所以50=P(1+名），解得1=药，所以锭康步道的长度 7 71 为2x25 +6+4+2m=(22.5+2m)(km).放答案为(2.5+2m)km 5.(1,√2+1)U(2+√3,5)解析：由sinA-sinB=2 sin Bcos C得 sin(B+C)-sin B=2sin Bcos C,sin Bcos C+cos Bsin C-sin B= 2 sin Bcos C,所以-sin Bcos C+cos Bsin C=sinB,得sin(C-B)= sinB,则有C-B=B或C-B+B=T,则有C=2B或C=T(不合题意， 舍去)，所以A=T-B-C=T-3B, c=sin A+sin C_sin(3B)+sin 2B_sin 3B+sin 2B b sin B sin B sin B sin(B+2B)+sin 2B sin Bcos 2B+cos Bsin 2B+sin 2B sin B sin B sin Bcos 2B+2cos Bsin Bcos B+2sin Bcos B=2csB-1+2c0B+ sin B 学霸038 2sB=4sB2B-14(msB+）△Mc为能角三角 形，①当C为鲍角时，{行<2B<,0cm-3B<号-<B<号 则m(分竖)4（合）广-营4（停）尸 -1kg21 ②当A为钝角时， -0<B<8则cBe(1）, (2<m-3B<m 1+125 综上，实数的取值范围为(1，万+1)U(2+5,5).故答案为(1， √2+1)U(2+√3,5)： 6.解：(1)由题意得，AM=2km,在△AM0中，由余弦定理得，OM2= 02+h-204:ABco A=-94-23x2x号-7，则0M=7km 所以cs∠AOM=0M2+0M2-AM_9+7-427 20A·0M2x3x√77 在△OAW中，sin∠AN0=sin(∠A+∠AOW)=sin(∠A+∠NOM+ ∠10W)=n(LA0M+90)=cs∠A0M=27,所以在△OMN中， 由正弦定理得，30n4NO,得MW=0,咖30 MN OM = sin∠ANO 27-4（m),即点M,N之间的距离为7km 4 7 (2)因为LA0M=0,0<8<3,所以在△AM0中，由正弦定理得， OM OA 33 sn∠OAMi2Oa,所以0M=2sn60+9在△A0中，由正 ON OA 3W3 弦定理得，n∠0Awn∠ON所以0N=2 2OMN- 20M.0Nsim30°= 35 ,35127 2×2sin60°+0×2co99×2=16× 1 27 1 3.1 +4cs2016g1, .因为0<0< 4t4in24 42in(204m 牙.所以号<29：<，所以当20+号受.即0= T时，△OMN 的面积最小，最小值为54-275km2 4 第11章真题演练 1.C解析：由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sinC, 即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,整理可 得sin Bcos A=0,由于Be(0,T),故sinB>0,据此可得cosA= 0A受则8=-Ce年号号行放这C 2C解析：因为B=60,62=?e,则由正弦定理得如A如C 由余弦定理可得62=a2+c2-ac= 4ac,即a2+c2=13 4 ac. 根据正弦定理得6im2A+in2C=3 sin Asin C= 13 4 2 7 所以(sinA+sinC)2=in2A+sin2C+2 sin Asin C=4 参考答案 因为A,C为三角形内角，则sinA+si血C>0,则imA+imC= .故 选C. 3.2解析：如图所示，记AB=c,AC=b,BC=a. 方法一：由余弦定理可得22+b2-2×2×b× cos60°=6.因为b>0,解得b=1+√3.由 SAMc=SAARD+-SCD可得)X2 xbxsin60°= 2 1 2×2×AD×sin30°+2×AD×b×sin300 解得AD=5625(1+3)-2故答案为2 3+√5 方法二：由余弦定理可得22+b2-2×2×b×c0s60°=6.因为b>0,所以 b=1+√5. 由正弦定理可得6-6.2 m60BnC解得血B=6+2 4 因为1+√3>√6>2，所以C=45°，B=180°-60°-45°=75°. 又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，所以AD=AB=2.故答案为2. 4.解：(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abc0sC,对比已知a2+b2-c2= V2a6,可得cosC=2+2-c2=2ab2 2ab-2ab-2’ 因为C∈(0，T),所以sinC>0,从而sinC=√1-cos2C= 因为sinC=√2cosB,即cosB= ,又因为B∈(0，m),所以B= 1 3 (2)由(1)可得B=”,c 3,cos C= ，Ce(0,m),从面G=牙4=m √2 34-12' 5π 而inA=gin 4 、由正弦定理有“5元= =6:c,从而a=6+5.2e: T 4 sin 12 sin 3 sin 4 2 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABc= mc=.6.53w5, 22c2·2=89 由已知△ABG的面积为3+3，可得3+3=3+3，所以。=22 5.解：1)由inA+3cosA=2可得2sin4+3 2c0sA=1, 即血(4+)）1， 由于Ae0,m)A+号e(于智)放4号子解得4=石 (2)由题设条件和正弦定理得√∑bsin C=csin2B√万sin Bsin C= 2sin Csin Bcos B, 又B,C6(0,),则血Bc40,进而sB=号得到8=不，于 2 7π 是C=T-A-B=2,simC=sim(m-A-B)=i血(A+B)=s血AosB+ 26,由正孩定塞可得总品日点c即 sin Bcos A= -=c,解得b=22,c=6+2,故△ABC的周长 7π1 sin 6 sin 4 sin 12 学霸039