第10章 三角恒等变换 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

Vio,令sim0=y0cm 10:co=-300 0sin (a-)=10 a0=号+2,6eZ,解得a=0+受+2k,keZ,ma (er7+2如）-os03则w9=2ara-1号 放答案为3而4 105 9D得折：图为e)-1g,如"-号m(m子}水o心 2 k+4 0),所以当x)=0时，即血(x-年)=0，所以x= (s,2e)e2,所以we(g)u(停)u(公 号)u…=(g,4)u(尽+w）所以@e(o,g]U [分]故选D 10.2解析x)=sin-5cosx=2sn(x写)，当xe[0,m]时，x 号e【号号]，当了号时，即=g时(2故 答案为2. 1.7(答案不唯一）解析：因为f(x)=c0 psin+(sinp+1)sx= √cos2p+(sinp+1)了sin（x+0)(0为辅助角)，所以 Ve+(me+1=2,解得血p=1,放可取e=受（答案不 唯一) 121万解折：f(行）-0，A=1,水)=血 5ms=2m(-号)f(臣)=2m(B号) -2sin 4=-2.故答案为1；-2. 1.分解折：因为)=m2=之(1-os4)=子s4+分，所 以fx)的最小正周期T=2红=年 4=2 14.4解折)=血(2x+受)-30ek=0m2x-3a= 3217 -2eas2x-3cosx+1=-2(eosx+4)+g,-1≤osx≤1， 当cosx=1时，f(x)mm=-4,故函数f(x)的最小值为-4. 第10章章末检测 1C解折安m15+号m159=如45m1545n15 si血(450+15)=i血60=5故选C 2 2c解折：ma=1-2)(+号）子故选C 3.B解折：令1石-9，故n4=,0=名，故血(g+20） 血（任-2z）m2=1-21=1-2x(行）广号故选B 4.C解析：f(x)=2 sin xcos+2cos2x=sin2x+cos2x+1-=√2sin2x+ 年）1≤2+1，且存在=日时，有八)-2+1，也就是说函数 必修第二册·SJ f(x)=2 sin xcos+2cos2x的最大值是2+1.故选C. 5.B解折：因为0e(0,）,所以0<血<。 2’2<cosf<1, 所以cw0叶sn0>0,s0-如0>0因为m(任-0）- aa(子0），所以经(（o0r血=竖(m0-血0，所 以m>0,上述等式两边平方可得1+2 cos Osin6=m2(1-2 cos Osin0). 因为n29=子，所以2如cs0=手所以1+子=m(1-子）， 解得m=3.故选B. 6-B折：图为ae(0,)品合0，所u0ac受营 π或0<B<π，T」 6号号a<m若0<a号牙<8，则-m<a-6c0,此 时m(a<0(舍)：若0<B<牙，7a<m,则0<a-B<m,此时 m(a)>0(符合题念)，所以0<8号，号<a,所以u+8e (7,3）因为血(a-B)=5目 2’2 品g子所以如mg cos a sin B=- 品员-解#血w石we 1 6 sin B=- 2 ,所以im(a+p)=sinB+inB=-2 又a+B∈ (侣贺），所以ag及故选取 61 7.D解析：原式-sim20(im50+y3c0s50）_ c0s50° 2sin20°sin(50°+60°)2sin20°sin(90°+20°) c0s50° sin(90°-50°) 2sin20°cos20°_sin40° sin40° sim40。=1放选D. 8.B解析：由3cos(140°-)·co%a+sin(100°+a)=sin(a-20°)，可 得3cos(180°-40°-a)·cos+sin(180°-80°+a)=sin(a-20°），可 得-3cos(40°+a)·cosa+sin(80°-a)=sin(a-20),所以 -3cos(40°+a)·cosa+cos(10°+a）=sin(a-20°)，可得 -3cos(40°+a)·cos+cos[30°-(20°-a)]=sin(a-20),即 -as(40ra）sa+om(20r-+7血(20r-a=m(e- 20rj,可得-3(0+a）·osa=号n(a-209)-月m(a 20)=√3sin(a-20°-30°)=-√3sin(50°-a)=-3cos(40°+a),所 以=a号所以m2a=2ma-12x(得)）’-1号故 选B. 9.AC解析：A接项，血15°os15°=号血30=，A正确： B选项，2in22.59-1=-cs450=-2,B错误；C选项 1+an71°am26=tam(71°-26)=am450=1,C正确；D选项， tan71°-tan26o sn26°cos340+e0s26°sin340=sin(26°+34°)=sin600=￥ 2,D错 误故选AC. 10.ABD解析：f(x)=V5sin2x+2sin2x=V3sin2x-cos2x+1= 2如(2：石）1，对于A,)的最小正周期为7=，放A正 确：对于Be(,号)小时，令1=2日(石号)此时 关于：单调透增因为y=如：在（石，号）上单调递增，所以 学霸030 =2s(2x石)+1在(0，号）上单调递增，故B正确；对 于c,图为f(）=2如（石）小+1=1，=侣对应的函数值 不是最值，所以：受不是八)的对称轴，故C错误：对于D, 0,2m)时=2x（626 T23π 6 ,此时关于x单调递增，即 :与：是-一对应的，当)=0时，即2如+1=0,1=子因 为关于：的三角函数方程血号在：e(g,爱)时，恰好 有三个根石g1又：与：是一对应的所以在区间 (0,2m)上有3个零点，故D正确.故选ABD. 11.AC解析：对于A,因为sinB=sin(a+B-a)=sin(a+B)cosa- cos(a+B)sina,又sinB=2cos(a+B)sina,所以sin(a+B)cosa= 3cos(a+B)sina,所以tan(a+B)=3tana,故A正确：对于BCD,令 ma=,则m(a+p)=3ama=3,因为a,Be(0,受），所以 ana>0,即>0，所以mB=ian[(a+p)-a]=tan()-tana l+tan(a+β)tana 3t+T 停当且仅等片即停 i2√/3t· t tan a=- ，m(aB)=5,即a=B=石时取等号，所以amB有最 3 大值，故C正确，BD错误放选AC 121舞折：am(a石)=血(g-2a）=m[受-2(a 8)]=s2(a）=2m2(a-g）1,解得m(c 又因为ae(0,受），所以a石e（石号）所以a(a ）少>0，所以(a石）=1故答案为1 T 13.-1解析：因为tana,tanB是方程x2+4x-3=0的两根，所以 tan nB=-4,tan an=-3,所以amn(a+B)=ama+anB 1-tan otan B 1-(-3)-1.故答案为-1 -4 14.2+5 解析：因为O=(cosa,sina),Od=(cosB,sinB),所以 6 cos(P,Q)=- cos acos B+sin asin B cos acos B+ Icos a+sin2a II cos"B+sin2BI s如anB=6s(a-),所以1-m(a-p)=号，同理可得cas(Q, R)=6m(a+p),所以1-m(e*+BA)=子解得cs(a+B)=子 (c-p）=子因为0capc7,所以0a+8<m,a-B<0,所 T 以(an9=m(a-9j=-5所以wM=m(ag-a 23 =cos(a+B)cos(a-B)-sin(a+B)sin(a-B)=2X-3 -X (5）4放辉案为+酒 6 6 15展(0：ma-5om2a1-2ana-号 参考答案 (2)a是钝角，sia= 5osa=-1-in'a=25 s血2a=2 in o=-子4om(2a-石）=os2am石 4 0,血(2a 16.解：(1)因为a=(1,5),b=(sina,cosa)且a∥b,所以cosa= 厅n&,即uma=.所以m2a=2 3 =√3 1-(停 (2)因为a=(1,月)，b=(面，w@)且ab=号，所以a bma5ma=号电2(}na+月a）-2m(er 子）g,所以m(a+号)=子，所以m[(-) ]号所以m(君）号 又ae(行小所以a8e(各g)所以m(e君) ():分，所以m(+名）= m[(ag)号](a-)=号m(e-） π-3v14v3_3-43 im3=525*210 7据.(1n到=2m(m号m血号）5血w 3in2x-31 2=2咖2x+v3×1-cos23.1 2 2 =2 sin 2*- 气2=血（么号），所以T空，所以e的最小正周 期为π 2)因为e[分]所以2了e号]当2号 ,即：时m=-1,故到有最小值1，此时 3因为/()酒所以血（子）0又 因为e[子]所以2，∈[子贺]所以2， 子e,]由s(2牙）+(2）=1，可得 (a）3所以w20【(） ]wa)血(w)-5 18.解：(1)由∠ABC=∠PCB=8,在Rt△ABC中，AC=sinB,BC=cos0; 在Rt△PBC中，PC=BC·cos0=cos0·cos0=cos20,PB= BC·sin0=sin0·cos0=sin0cosa. AC+CP sin 0+cos20=sin +1-sin20=-sin20+sin 1 -(由6）广-所以当血6=号6=0时4c:GP取是 大值子，即0=30时，工艺礼品达到最佳观赏效果 (2②)在△MBc中，由Sax=之CA·CB=AB.CH,可得CH= 学霸031 sin0·cos0=sin0cos6. 1 在Rt△PBC中，PC=BC·sin(60°-0)=cos0·(in60°cos0- cos60°sin8), 5 f以CH+CP=sin0cos0+cos0:2c0s久7 2sin9,0<0<60°， 2c0s2-1 所以cH+CP=2sm28k 2 sin Ocos 0=1 4 sin 20+ 4c0s2041 42im(20+60)+5 ,所以当sin(20+60)=1, 即0=15时，CH4CP取得最大值，且最大值为，5_2+W5 24 4 19.解：(1)因为fx)=x,且a,Be(0,牙），所以(@)+fa+ sin a+ 2 2,所以」 T3T 4<a+4<4 第11章 11.1余弦定理 第1关（练速度） 1.C解析：由余弦定理得csC=+6-C_52+42-(2)2.1 2ab 2×5×4 2 因为0°<C<180°，所以C=60°.故选C. 2.D解析：c2=a2+b2-2 abeos C=25+4-2x5×2×2=19,所以c= √19.故选D. 方法总结 用余弦定理解三角形的适用条件：已知三边、已知两边及其夹角.已 知两边及其中一边的对角时也可以选用余弦定理，但是可能会出现 多解 25+49-3619 3.D解析：由于AB=7,BC=5,CA=6,则c0sB= 2x5x735,则 19 店，Bd=·B成·co(m-B)=7x5×（35)-19.故选D, 4.C解析：在△ABC中，由(a+b)2-c2=ab,得a2+b2-c2=-ab,由余 弦定理得co8C=a+6-c=-】因为0<C<180,所以C=120° 2ab 故选C. 5.ACD解析：依题可得m2A=6+e2- -=cosA,即2sinA· 2bc casA=csA,则csA=0或inA=子因为A∈(0，)，所以A=石 6 或或放选ACD. 6.ACD解析：因为b2+c2-a2=√2bc,b=√2a,将b=√2a代入b2+c2- a2=√2bc,得a2-2ac+c2=0,所以a=c,故b=√2c,a2+c2=2c2=b2 故选ACD. 7.D解析：由题意及图形可设三角形的直角边为3，则斜边为3√2： 又因为E,F为边AB的三等分点，所以AE=EF=BF=√2，△ACE≌ △BCF.在△ACE中，由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC· AEcos45°，所以CE=W5=CF.在△CEF中，由余弦定理得 coLECF=CF+CE-E-5+5-2=4在△BCF中，利用同角 2CF·CE25×w5 51 1- 42 5 3 间的三角函数关系可知tan∠ECF=- 4 4·放选D, 5 8.0解析：由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A=16+c2-4c=6, 必修第二册·SJ 故当a=时，a)(a+分）取得最大值2 (2)f(a)+fa+)fB),证明如下： 由题意可知，fa)+f(a+β)=sina+sin(a+B)>0,f(B)=sinB>0, 因为aBe(0,受）， 所以1+eosB>sinB>0,所以1+os巳L,所以a)a+B_ sin B f代B) sin inineo sinB) ->cos a+sin a= sin B sin B V2sin at 4又由(1)知2nae+4)>1,所以fa)+f八a+ B)>f(B). (3)f(a),f(B),f(a+B)能作为△ABC的三边长，证明如下： 由(2)知，f(a)+fa+B)>f(β)，同理fβ)+fa+B)>f(a). 又f(a)+f(B)=sina+sinB>sin acos B+sin Bcos a=f(a+B),即任 意两边之和大于第三边，f(a),f(B),f(α+B)能作为△ABC的三 边长 解三角形 即c2-4c+10=0,则△=16-40=-24<0，所以方程无实数根，即满足 条件的三角形有0个.故答案为0. 9.7解析：由条件知o0sA=AB+1C2-BC2.92+82-7_2 2·AB·AC 2x9x8=3,设中线 长为x,由余弦定理知x2= ,·ABco9A=42+ 2 92-2×4×9× 号=49，所以=7，所以4C边上的中线长为7放答案 为7. 10.（1,3)解析：，a+2>a+1>a,∴.a+2所对的角为三角形中最大的 内角.由三角形三边关系得a+(a+1)>a+2,解得a>1.设边a+2所 对的内角为0，则c0s0=2+(a*1)2-（a+2)2<0,即a2-2a-3<0, 2a(a+1) 解得-1<a<3.综上所述，a的取值范围为(1,3). 故答案为(1,3). 11.267解析：设该扇形的半径为r米，连接C0.由题意，得CD=5× 60=300(米)，DA=3×60=180(米)，∠CD0=60°.在△CD0中， CD2+0D2-2CD·0D·c0s60°=0C2,即3002+(r-180)2-2×300× （(-180)×号=，解得1=290261.故答案为267. 11 第2关（练准确率） 12.A解析：由a2+c2+ac=b2,得a2+c2-b2=-ac,由余弦定理得 Ba+e--仁分因为BE(0,),所以BET,丽 2ac2ac 以A+C=号，cos(A-C)=cAcosC+sin Asin C=oAcosC- sin Asin C+2sin Asin C(+C)+2in Asin C=1 +2x-1 4 故菇人 13.D解析：设三条高的长度分别 111 2522,7,所对的三边分别为 ,6,则由三角形面积公式可知名名号，故可设a=25,6: 22x,c=7x,则a>b>c,故A>B>C,则最大角为A,由余弦定理 得cosA= _62+c2-a2_（7x)2+(2x)2-(25x)2- 2 2bc 2×7x×22x 7<0,则4为钝 角，故此三角形为钝角三角形故选D. 14.ABD解析：对于A选项，由acos A=bcos B和余弦定理，得a· b2+c2-a2 =6.a2+c2-62 即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),整理 2bc 2ac 得a2c2-a4-b2c2+b4=0,即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,故得a=b 或c2=a2+b2,故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A选项错 学霸032第10章 （时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.(24,江苏南京师大附中商一潮未)m154 √ 2sin150= () A.2 1 B.3 2 D.1 2.(2024·江苏南通海门中学高一期中)已 知cos2a=2,则sin2a= () AB 1 c. n 3.(2024·江苏苏州高一月考)已知m(石 9)=4,则sm(石20)小归 7 D.-1 4.（2024·江苏扬州中学高一期中)函数 f(x)=2 sin xcos x+2cos2x的最大值是（ A.1 B.√2 C.√2+1D.22 5.（2024·江苏南京高一期末)已知sin20= 手0eo.g),若as(任-0）-=m=(经+o): 则实数m的值为 () A.-3 B.3 C.2 D.-2 6.(2024·江苏常州前黄高级中学高一月考)已 5 tan a 1 知&，B∈(0，T）,sin(a-B)= 6'tanB4’ 则a+B= () A. B. 6 第10章 章末检测 总分：150分) G 1或6 D.69 11T 7.(2024·江苏宿迁高一月考)sin20°（√3+ tan 50)= () 1 .2 B.2 C.√3 D.1 8.（2024·江苏镇江高一月考)已知锐角α（α≠ 50)满足3cos(140°-ax)·cosa+sin(100°+ )=sin(a-20),则cos2a= 1 A.3 c. 3 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9.（2024·江苏淮安高一期中)下列等式中正确 的是 () A.sin15cos15°=1 4 B.2sin222.5°-1= √2 2 tan71°-tan26° c.1+an710tan26。=l sin 26cos 34+cos 26sin 34 10.(2024·江苏连云港高一期中)已知函数 f(x)=√3sin2x+2sin2x,则 A.f(x)的最小正周期为T B.x)在(0，写)上单调递增 C)的图象关于直线x=侣对称 D.f代x)在区间(0,2π)上有3个零点 学霸045 11.(2024·江苏镇江高一月考)已知a,B∈(0， ),且mB=2as(a+8)sim&,则以下结 论正确的是 A.tan (a+B)=3tan a B.tanB有最大值√3 CmB有最大值号 D.anB有最小值气 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.(2024·江苏连云港高一期中)已知a为锐 角，且cas(c石）=sng-2a),则cas(a- 13.(2024·江苏淮安高一月考)已知tan, tanB是方程x2+4x-3=0的两根，且a,B∈ (0,π)，则tan（+B)的值为 14.(2024·江苏常州高一月考)我国人脸识别 技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就 是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦 距离是检测相似度的常用方法.假设二维空 间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),0为坐 标原点，余弦相似度为向量0A,OB夹角的余 弦值，记作cos（A,B),余弦距离为1 cos(A,B).已知P(cosa,sina),Q(cosB, sinB),R(cosa,-sin a),若P,Q的余弦距 离为}，0，R的余弦距离为2，且0<aB<2 则c0s2a= 必修第二册·SJ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)(2024·江苏扬州高一期中)设a是 钝角，sina=) (1)求cos2a的值； (2)求cos(2a-石)和sin(2a-)的值 16.（15分)(2024·江苏徐州高一期末)已知向 a=(1,3),b=(sin a,cos a). (1)若a∥b,求tan2a; (2)若a:b=9且ae(m,求as(a+g)月 学霸046 17.(15分)(2024·江苏南京高一期中)已知函 数划=2如s(号）eR (1)求f(x)的最小正周期； (2)求x)在区间[受，π]上的最小值并指 出此时x的取值； )若/+)e1。 求cos2x。的值 18.(17分)(2024·江苏苏州高一月考)某公司 欲生产一款迎春工艺礼品回馈消费者，工艺 礼品的平面设计如图所示，该工艺礼品由 Rt△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成， 点P为半圆上一点（异于B,C),点H在线 段AB上，且满足CH⊥AB.已知∠ACB= 90°，AB=1,设∠ABC=0. (1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需 满足∠ABC=∠PCB,且CA+CP达到最 大，当0为何值时，工艺礼品达到最佳观 赏效果； 第10章学 (2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收 藏，需满足∠PBA=60°，且CH+CP达到 最大.当0为何值时，CH+CP取得最大 值，并求该最大值 9.（17分)(2024·江苏扬州高一月考)已知函 数x)=sinx,且a,B∈(o,7）) (1)求(a)+f(a+2)的最大值 (2)写出f(ax)+f(x+B)与f(B)的大小关系， 并给出证明。 (3)试问f(a),f(B),f(a+B)能否作为 △ABC的三边长？若能，给出证明；若 不能，请说明理由 霸047