10.2 二倍角的三角函数-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

10.2二倍角的三角函数 第1关练速度 10min为准，你的时间： 6.(2024·江苏宿迁高一期中)函数f(x)= 1.(2024·广东佛山高一期末)已知tan=2,则 cos2x+6sinx+1的值域是 () tan 2a= ( ) A.(] B【-6,] .4 3 4 c6,] D.[-6,6] c 7.(2024·江苏南通高一月考)sin20°cos20°- 2.(2024·湖北孝感高一月考)已知sin(π- c0s225°= () 侧)-号则s2a ( A.1 7 7 N.5 B. 25 C.-1 号 c D. 8.(2024·河南驻马店高一期末)函数f(x)= cos2(2024Tx)的最小正周期为 3.(2024·广东潮州高一月考)已知α为第二象 8 限角，sina=5 则os2a+7) :( 9.已知a满足s咖a=sm受，则asa的 值为 A.5 4 4 5 10.(2024·湖南那阳商一期木)若sin(a+写） 0.5 4.(多选)(2023·江苏泰州中学高一期中)下列 则n2） 含武，位为号的有 11.(2024·湖南长沙长郡中学高一月考)若 ) B.cos215°-sin215° ae0,）,am2a=2ea,则ama- A.2sin 15cos 15 2-sin a' C.1-2sin215° D. 3tan15° 1-tan215 第2关练准确率 )8题为准，你做对题 5.(2024·山东济宁高一月考)已知 12.（2024·江苏淮安淮阴中学高一月考)已知 cos20=√2 则sin20= 2 an元2，则tan2= 1 3 tan x-- 1 4 A. B.3 A. B. 2 3 3 4 D. 2 C. 2 2 3 D. 3 必修第二册·SJ学霸038 13.已知实数a=cos224°-sin24°，b=1-18.(2024·江苏南通海安高级中学高一期中) 2sin225°，c= -m230则a,6,c的大小关 2tan 23 计算： tan12°-√3 4cos212°-2)sin12° 系为 ( 19.(2024·江苏常州高一期中)已知为钝角， A.b>a>c B.c>a>b a C.a>b>c D.c>b>a an2-2 14.(2024·吉林长春高一期中)已知a≠ , (1)求am(x年)的值； k∈Z,集合A={sina,sin2a},B={cosa, (2)若锐角B满足7tanB-7=2tanB,求 cos2ax},若A=B,则tana= ( a+2B的值. A.1 B.±1 c号 n 15.（多选)(2024·江苏徐州高一月考)使等式 sin a cosa_=2成立的a的值可 cos(a+6】 以为 A. B. 5 8 C.g D.8 3 16.(多选)(2024·江苏宿迁高一月考)函数 f(x)=sinx+√3 sin xcos x,则 A八)的一条对称轴方程为x写 B.x)的一个对称中心为(20】 C儿=)的报小值是对 D.f(x)的最大值是 2 17.(2023·江苏镇江高一月考)已知- 2 << ,2mB=n2a,am(B-a)-g则sina的 值为 第10章学霸039 20.（2024·江苏镇江高一月考)在校园美化、改 5-1 ≈0.618，现给出三倍角公式c0s3a= 造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩 2 形的观赛场地， 4cos3a-3cos,则t与sin18°的关系式正确 (1)甲校决定在半径为30m的半圆形空地 的为 () 的内部修建一矩形观赛场地ABCD.如图 A.2t=3sin 18 B.t=2sin18° 所示，求出观赛场地的最大面积； C.t=3sin18° D.t=4sin18° 22.（2024·江苏扬州高一月考)定义：= (2)乙校决定在半径为30m、圆心角为号π 2 [sim2(6,-6）+sin2(62-9,）+…+ 的扇形空地的内部修建一矩形观赛场 地ABCD,如图所示，设CD中点为M,连 sin(0n-0。)]为实数01,02，…，0n对0。的 接OM交AB于点N,记∠COM=0,请你 “正弦方差” 确定B点的位置，使观赛场地的面积最 ()若8=，4=，8=m,则实数 大，并求出最大面积 01,02,03对0。的“正弦方差”u的值是 否是与0。无关的定值，并证明你的 结论； 乙校 (2)若0=开，6=a,8=B,a∈（受，n),Be (π，2π)，若实数01,02,03对0。的“正弦 方差”u的值是与0。无关的定值，求α， B值. 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 21.（2024·河北保定高一期中)著名数学家华 罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡 导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得 到了非常广泛的应用.黄金分割比t= 必修第二册·SJ学霸04021 tan∠BAF-tan∠BAE 33 3 ∠BAE)= 1+tan∠BAFtan∠BAE +2x1=ii,tan∠FAC= 1+3× 3 2 an45°-tm∠BMF1-3.1 tan(45°-∠BAF)= 1+tan45tan∠BAF 2=5 1+ 3 (2)若a=3,则an∠BAE= ,m∠BF=名，所以nLBM 1 211 tan∠BAF-tan∠BAE cc c tan(∠BAF-∠BAE)= = 1+tan∠BAFtan∠BAE 1+2x工1+ 2 CC c2 1 √2 2$ c+ c 2/63 号，当且仅当c=子，即c=2时取等号，所以 tan∠BAF的最大值为三 4 第3关（练思维宽度） 21.1解析：因为A+B+C=m,所以B+C-TA 222 所以m=m(）月 T A A tan- A B.. C B C 所以原式=am2（am2+an+aman A an B+C (1-tan 2tan 2) -tan B C B C 2tan-2 +tan 2 tan 2 A B =tan- 1 B C 2 A tan 2 （1-am2am)+an2tamz B tanC=1. =1-iam2tan+an- tan 2 2 22.证明：因为an28=am[(a+p)-(a-B)]=1+am(a+B)1an(a-p)1 tan(a+B)-tan(a-B) 所以tan2β[1+tan(a+B)tan(ag-B)]=tan(a+β)-tan(a-B), tan 28+tan(a+B)tan(a-B)tan 28=tan(a+B)-tan(a-B), 所以tan2B=tan(a+B)-tan(a-B)-tan(a+B)tan(a-B)tan2β， 所以原式左边=tan(a+B)-tan(a-B)-tan2B=tan(+B)-tan(a- B)-tan(a+B)+tan(a-B)+tan(a+B)tan(a-B)tan 2B=tan(a+B). tan(a-B)tan2B=原式右边，所以原等式成立. 10.2 二倍角的三角函数 第1关（练速度） 1.D解析：tan2a= 名子放选n 1-tan2a 2.A解析：因为sin(m-a)=sina=5,所以cos2a=1-2sin2a=1 3.B 解折：因为a为第二象限角且如a=行所以则& in 2n 2in acm 4.BCD解析：A.2sin15°cos15°=sin30°= 2 B.cos2150-sin2150=0630°= 2； C.1-2sim2150=0s30°=3j 2 必修第二册·SJ 3tan15°2 -×2tan15° 3 3√3√3 -tam215o-1-tan2150=2Xtan30= D. 23-2 故选BCD. 5.B解析：因为 c0s20V ,所以 cos20-sin20 cos Ocos- tsin 0sin 4 4 所以os0血0(cw0sn0). √2 ② 2,所以cos0-sim0= 1 2 (cos0+sin 0) 所以(cos0-sin0)2 =子即eo20-2n6as0+m20=子，所以 1-sin20=,解得sin20=4故选B. 6.D解析：由函数f(x)=cos2x+6sinx+1=-2sin2x+6sinx+2= -2n女子+2，因为mxe【-1,1],当i血x=1时，可得 f(x)mx=6;当sinx=-1时，可得f(x)min=-6,所以函数f代x)的值 域为[-6,6].故选D. 7D解折：血20ew20-aw25=弓如40.150。 2 2sim40-2n40°士故选D 22 82024解折f)=cm2(2024nx)=1+as（4048,故周期为 1 2 3放案为 2π 2024 9.1或名解析：因为如《=号如分，所以2如分w分 n受若血号=0，符合题意，此时ma=1-2号=1： 8 若血分0，则os号号sa=22号-1乃综上所 a 4 述，ma=1或oa=石放答案为1皮行 0.名解析m(2a)如[(a写)受] w[2.(a+号)]=2(+号）-12x()-1 号故答案为 7 11. 15 15 解析：因为tan2a= 2ea所以an2a三sn20 c032a 2 scs=cosa,因为a∈（0,2 ,所以cosa≠0，所以 1-2sin2a 2-sin a 1-2sin2a2-ima解得sina= 2sina」 1 4,所以cosa=√1-in2a5 4,所以tana √15 osa15故答案为v压 sina√15 15 第2关（练准确率） 12.A解析：由已知可得，tanx tan x tan x n年2，所以 .1=an2x-l1=3 tan2x-1 tan x 2 =所以an2x==一2×，2x-1=一3放选A. 1-tan2x 13.B解析：a=cos224°-sin224°=cos48°<1,6=1-2sin225°= cos50<1.c0s480>cos50°，a>h.c=21an230 =tan46°> 1-tan223 tan45o=1,.c>a>b.故选B. 14.C解析：因为集合A=B,所以sina=cos,sin2a=cos2a或 sina=cos2a,sin2a=cosa,分两种情况进行讨论： ①当sina=cosa,sin2a=cos2a时，且sina≠sin2a,cosa≠ cos2a,所以sin2a=2 sin acos=2cos2a,cos2a=2cos2a-1,所 学霸024 以sin2a≠cos2a,排除此情况. ②当sina=cos2a,$in2x=cosa时，且sina≠sin2a,cosa≠ cos2a,因此sin2a=2 sin0sa=cosa,则sina=2,cosa= ±√1-ina=士7，同时也满足条件sina=cos2a,sin≠sin2a 和cosa≠cos2a,所以tana sina.√3/ cos a 3 综上可得，ma=±5故选C 3 sin a cos a 15.ABD解析：. 血(a+g）(a+g） ）sm(2a+) m(-(g】 (2a+号) 2(2*g）=(2a+）…2a*子+2a+g=(2+ 6 π(k∈Z),解得α= 4晋e, 对于A,当=0时，a=号故A正确；对于B,当及=1时，a=, 故B正确；对于C,当=号时，a=8,又6eZ,故C错误 对于D,当=-1时，a=行，故D正确故选ABD 16.AD解析：f(x)=sin2x+v月in0sx=1-os2+3 2 2 sin2= m(26)+3 对于A,令2点石子m,eZ,所以=子空eZ,令6=0， 所以)的一条对称轴方程为=号，故A正确： 对于B,令2石=m,6eZ,则=日+经keZ令=0，所以 T )的-个对称中心为（侣）放B错误： 对于C,当血(2石)-1时到的最小值是-1+ 22 故C错误； 对于D,当血(2a石）=1时)的最大值是1+ 13 22,故 D正确.故选AD. 17 tan(B-a)+tan a 5 解析：因为2anB=2anB-a+a=2· -tan(B-a)·tana 1+8tan a 2tan a 1+8tan a 2.8-tan c ,tan 2a= 1-tan2a 2tanB=tan2a,所以2· 8-tan o 22朝得ma=子又因为受 1-tan2o < 受，所以0a<受所 以sina= 故答案为汽 √5 sin12° 、c0s1203 sin12°-√3cos12° 18.-4解析：原式=2c0924°sin122os24°sin12cos12° 2sin(12°-60）_-2sin48 c0s24°sin24°1 =-4.故答案为-4. 2sin 480 19.解：(1)：tana= 2tan24-4, 2 参考答案 4 7 -1 tan a-1 3 1+tan a 1 41 1- 3 3 (2)由7am2B-7=2amB可得21ag=-7,即m28=-7,所以 1-tan2B tan(a+28)=tan atan 28-37 1-tan atan 28 1因为0<8号，所以0< 29<m又m29<0,所以7<20<m又7<a<m,所以m<a+2g<2m 又am(a+2p)=1,所以a+2g=5开 4 20.解：(1)如图所示，设∠C0D=01,则 9,∈(o,）,且0n=30s8,cn= 30sin891.因为0为AD的中点，所 以S矩形ABGD=2·OD·CD=2× 30cos01×30sin01=900sin201, 当20，=7，即6，=年时，Sx=90.放观赛场地的最大面积为 900m2. (2)由s意可知∠c0M=0,则9e(0,号)，且0M=30em9, CM=30sin0,所以BN=CM=30sinA,0N=BN=30sin0 tan3 =10W3sin0, 所以S矩形ABcm=2·BN·BC=2×30sin6x(30cos日-103sin0)= 1800sin0cos0-600v3sin20=900sin20-300V5(1-cos20)= 6m6(停n2a3s29）-3w5=oa,5m(2a+君） 300w5, 当20+6=2，即0=6时，sm=306,此时0B=20N- 20,5in石-10,5故当0B=105m时，矩形ABCD的面积最 大，最大值为3003m2. 重难点拨 三角函数与三角恒等变换综合问题的常见处理方法：利用二倍角公 式降幂升角，再根据辅助角公式变换为只有一个整体角的三角函数 式，从而转化为正弦型函数进行讨论 第3关（练思维宽度） 21.B解析：由三倍角公式有cos54°=4cos318°-3cos18°=sin36°= 2sin18°cos18°，化简得4cos218°-3=2sin18°，.4sin218°+ 2m180-1=0,解得血18=5（负值参去)=2如18放 选B. 22.解：(1)实数61,02,83对0的“正弦方差”4的值是与0。无关的 定值2 证明：若8，=子0-4=，则u=兮[m2(号-） r(a）ie-4,)】{[-w(4)月 2[-m(暂-2%)]+21-a(2m-24,}-号{2 2[=(号-24）+m(暂-24）+em(2m-24,)]} 26[m(2-2a）+m(3+a)+am4]=2 学霸025 (2)若8，=4，=a,=B.ae(Ξm）Be(m,2m), 根据题意=号[m(牙-）n2(a-9)+in2(B-)]月 号{2[l-=(7-2m)]+1-a(2a-2A)]+分1 m(g-21}=号{[(-24）+m(2a 11 20,)+cos(2g-20,）]}26（sm28,+cos2acos28,+sim2a· 11 sin 20+cos 2Bcos 20+sin 2Bsin 20)=6 -sin 200(1+sin 2a+ sin 2B)+cos 200(cos 2a+cos 2B)], 因为么的值是与，无关的定值，所以{血2a+si血29，因为 (co82x+c0s2B=0. ae(Ξ）pe(,2m),所以2ae(,2m),29e(2,4n) 由m2x+ms29=0可知，2a+28=5m或20-2a=,即a4B= 或B-u=受， 若B-a=号，则28-2a=m,血2a+sm28=n2a+如(T+2a)- 0≠-1，故舍去； 当a+B=)”时，对in2a+sin29=-1,cos2a+cos29=0两边平方 后相加可得，2+2cs(28-2a)=1,即cas(26-2a)=-2 1 因为28-2a(0,3m),故28-2-2安智或，即B-a=号或 31 5 13π +B= 2 a= 综上所述，当 12 解得 不满足题意： T 17π B-a=3’ B=12' QtB-S [11π a= 2 12 。 解得 19π 满足题意： 3, B 12, 5mπ +B-2' 7n = 当 12’ 解得 满足题意 4 -a=3' 23π ® 12 故 19m 或 、23m B=12 12 10.3几个三角恒等式 第1关（练速度） 1.C解折：ae0,)∈(（0，受)w受>0 .cos a 2= /1+o9a.√30放选C 2 6 2A解析：因为a为第三象限角，且如a=子，所以sa= sin- sin2 a 所以an2 2 2 1-c0s0= =-3. aa sin a 3 cos 2 sin 2 cos2 5 必修第二册·SJ 故选A 3.B解析：因为sin)三±√2 √，且<g<受，所以m 1-co4 1-22-互故选B. 2=√2 2 1 4.A解析：sin(aB)sin(a-B)=2(os2a-cs29)=-2[(2cos2a- 1)-(2c0s2B-1)]=c0s2B-c0s2a=-m.故选A. 5.B解析：，sin100°=a,∴.cos190°=cos(90°+100°)=-sin100°= /1-c0s190° -a,∴.sin95o= N 2 √空枚选B /1-cos 2a /2sin2a 6.ABC 解析：√1+cos2a 2cos2a tan2a=Itan al sin o 2sin a sin a sin a 1 1+c03a 2w2号 an 21-cos 2a2sin a 2sim a 1-cos2a」 2sin2a =tana.故选ABC sin 2a 2sin acos a 7.C解析：因为cos2A+cos2B=2c0s2C,所以2cos(A+B)c0s(A-B)= 2cos2C.又A+B+C=T,所以cos(A+B)=cos(T-C)=-cosC,所以 2cos(A+B)cos(A-B)=-2cos Ccos(A-B),-2cos Ccos(A-B)= 2cos2C,即cosC[cos(A-B)+cosC]=0,所以cosC[cos(A-B) cos(A+B)]=0,所以cosC·2 sin Asin B=0.又A,B,C∈(0，T),所 以sinA≠0，sinB≠0，所以cosC=0,即C= 2,所以△ABC为直角 三角形.故选C. 310 10 10 期指<0号e(三)）， ih日0，cos号<0，tan2<0,.tan9= .'sin- 2an2-3 1-an24,即 2 3tan20 +8tan 2 an63=0,解得am)=3（舍去)或an7=-3.由 sin- 2 03√10 tan- 2 =-3, sin- 0 cos 解得 10故答案为3 2 0√/10 10 2 +cos20 =1, 2 10 √10 10 9.-2√2c0s 2 解析：y0<a<π，tan /1-cos a 2=W√tosa 1+cos a 2-1a。1+sa)m子=nz又：m(7 √1-cos2 x sin a a=-sin a,1-cos a=2sin2 a ,原式=na-血a V2sin2 a 2 2sin a 。a -2sin a 2c0s2 sin 2 a sin 2 0a<0c号如受>0原武e-22m受 故答案为-25cos2 10.0 解析：因为△ABC为等腰三角形，顶角为A,所以B= 10 ,B=血 T-A） 2 A =0s冬，由半角公式得s 学霸026