7.4 第1课时 二项式定理-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

7.4二 第1课时 第1关练速度5mn为准，你的时间： 1.在(x-2)5的展开式中，x4的系数为（) A.5 B.-5 C.10 D.-10 2.(2024·浙江嘉兴高二月考)二项式(x1) 的展开式中，第2项的系数为 A.4 B.-4 C.6 D.-6 10 3.(2024,广东广州中学高二期中)在（层+ 的二项展开式中，常数项是 ( A.132 B.160 C.180 D.196 4.（多选)(2023·山西晋中高二月考)(x+)》 的展开式中，以下为有理项的是 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 5.(2024·河北石家庄高二期中)（日-2）· (x+2)5的展开式中，x4项的系数为() A.-75B.-79 C.-39 D.-35 6.(2023·河北衡水中学高三月考)(x+1 1）°的展开式中，x的系数为 () A.5 B.-5 C.15 D.-15 7.(2024·陕西西安铁一中学高二月考)若对 Hx∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+ 10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立， 其中a,beR,则a-b= A.3 B.2 C.0 D.-1 选择性必修第二册·S、 项式定理 二项式定理 8.(2024·浙江丽水高二期中)(x+2y)5的展开 式中x3y2的系数为 9.(2024·江苏盐城高三月考)已知(x+m)）的 二项展开式中，x项的系数是18，则m的 值为 10已划n是正整数，化简：1-CcCc+ 1 *()八c= 11.(2024·广东深圳高二月考)已知(2x-3)8= ao+a1(2-x)+a2(2-x)2+…+ag(2-x)8,则 a3= 第2关练准确率 8题为准，你做对题 12.（2024·山东泰安高二期中)在（1-x)4+ (1-x)3+(1-x)6+(1-x)7的展开式中，含x3 的项的系数是 A.-69B.-70 C.69 D.70 13.（多选)(2024·江苏宿迁高二月考)对于二项 式(+x）广(neN),以下判断正确的有 () A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意neN",展开式中没有常数项 C.对任意n∈N,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 14.(2023·山西晋中高二月考)(2-】)(1+ ay)6展开式中x2y3项的系数为160，则a= A.2 B.4 C.-2 D.-22 学霸048 15.已知(+a号)(a>0)展开式的务数项为 76,则a= ( A.1 B.61 C.2 D.61 16.(2024·浙江嘉兴高二期中)已知f(x)= (1+x)5+(1+2x)"(n∈N*)的展开式中x的 系数为11，则f(x)的展开式中x的偶次幂项 的系数之和为 A.29 B.30 C.58 D.60 17.（2024·山西晋城高二期末)将(1+x)” (n∈N)的展开式中第m项的系数记作Am,n, 则A1.2+A2.3+A3.4++Ag,10= .(用数字 作答) 18.已知(x-)°的展开式中第3项、第4项、 第5项之和大于25，则(x-)° 的取值范 围是 19.(2024·山东聊城高二月考)已知二项式 (2-√x)”的展开式中共有10项. (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含x4的项. 第7章 20.(2024·天津大学附中高二月考)已知二项 式（宁+）八(neN)的展开式中，第7项为 常数项 (1)求n的值； (2)求展开式中所有有理项. 第3关练思维宽度 难度级别：女女☆☆女 21.(2024·湖北武汉高二期中)已 知当11时，有2 =1-2x+ 视频讲解 4x2-…+(-2x)”+…,根据以上信息，若对任 意11<2都有(1-)(1+2 =do+a+ a2x2+…+anx”+…,则a11= 22.（2023·山西运城高二月考)证明：3”> (n+2)2"-1(neN",n>2). 学霸049或3，下面分三种情况讨论： ①1x11+x2+lx31+x4+1x51+lx6|=1,此时1x1l,x21,31, 1x4l,lx5l,x6中有一项为1，其余均为0，且1，x2,x3,x4,x5,x6 的情况为一个1，或一个-1，故此时集合B中元素的个数为2× C6=12; ②1x1l+lx2l+lx31+1x4|+15|+1x61=2,此时1x1l,x21,1x31, x4l,1x51,1x6中有两项为1，其余均为0，且x1,x2,x3,x4,5,6 的情况为两个1，或两个-1，或一个1和一个-1，故此时集合B中 元素的个数为C%+C6+A6=15+15+30=60; ③lx11+x21+x31+lx4+1x51+lx6|=3,此时1x11,x21,1x31, 1x4l,lx5,x6中有三项为1，其余均为0，且1,2，x3,x4,x5,x6 的情况为三个1，或者两个1和一个-1，或者一个1和两个-1，或 者三个-1，故此时集合B中元素的个数为C6+CC4+C6C号+C6 20+60+60+20=160. 综上可得集合B中的元素的个数为12+60+160=232.故选A 22.解：(1)点的横、纵坐标均有4种可能，则n=4×4=16,所以所求线 段的条数为C16=120. (2)如图，在这n个点中，仅有4点共线的直线有9条，仅有3点 共线的直线有6条，所以这n个点能确定的直线的条数为C6 9C2-6C3+9+6=63. (3)从这n个点中选出3个点，共有C36=560(种)选法在同一条 直线上的3个点不能构成三角形，所以三角形的个数为C6 9C3-6C3=518. 7.4二项式定理 第1课时二项式定理 第1关（练速度） 1.D解析：在(x-2)5的展开式中，x4的项为C}·x4×(-2)1= -10x4,x4的系数为-10，故选D. 4 2B懈析：根据二项式定理：71=C()广 ,第二项即r=1, =C:(）广=-42，第二项的系数为-4，放选 3.C 解有：三项式（侣G）”展开式的通项为 c(2)”.(=G×2m·女2，其中0≤，≤10且 reN,令-20+之=0，解得r=8,所以展开式中常数项为， C8×22=180.故选C. 方法总结 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第 一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定 指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n,r均为非 负整数，且≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步 是根据所求的指数，再求所求解的项， 4.AC解析：x+ 的展开式的二项式通项为T1=Cgx8· √x 在'=C5r=01,2,34,5,6,7,8,令8-27为整数，求 r=0,2,4,6,8,所以对应第1,3,5,7,9项为有理项，故选AC. 5.B解析：因为(x+2)5的展开式的通项公式为T+1=C5x5r×2= 选择性必修第二册·SJ 2C5,所以当r=0时，×2C=,当=3时，(~2)× 23C3x2=-80x4,所以x4项的系数为1-80=-79，故选B. 重难点拨 二项式定理某一项的系数求法，由于表达式是由两个因式构成，所 以解题时应该对前面因式中每一项进行拆分，采用分类讨论法，可 简化运算难度 6.C解折：(+1)广可看作5个(2+士1）相乘，展开式中 x3可由2种情况获得：一种是从5个式子中取2个式子提供x3,余 下3个试子提供则阿得到c2.c(仁）广-0， 另一种是从5个式子中取1个式子提供x3,另外4个式子提供-1， 则可得到C(x3)1·C(-1)=5x3, 所以(2+士1)）'的展开式中2的系数为10+5=15放选C 7.C解析：由(x+2)3-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)- 1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,所以 a-b=0.故选C. 8.40解析：(x+2y)5展开式的通项公式为T+1=C5x-(2y)'=C5· 2x5y,令5-r=3,则r=2,所以x3y2的系数为C·22=40.故答案 为40. 9.3解析：(+）°展开式的通项为1=c4.( m*C哈x62h,令6-2k=4,得k=1,所以x4项的系数为mCg=6m=18, 所以m=3.故答案为3. 0() 72 (1号)”（气）广故答案为(9)月 11.-448解析：令2-x=t,即x=2-t,因此原等式为(1-2t)8=ao+ a1t+a22+…+agt8,项为Cg(-2)3=-8×56t3=-448影3，所以 a3=-448.故答案为-448. 第2关（练准确率） 12.A解析：(1-x)4+(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7的展开式中，含x3 的项为C(-x)3+C3（-x)3+C(-x)3+C号(-x)3=-69x3,所以 含x3的项的系数是-69.故选A. 13.AD解斩：设二项式（名+：）广(aeN~)展开式的通项公式为 则心（任）广(r=心不纺令4，则， 时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令n=3,则 r=1时，展开式中有x的一次项，故答案C错误，答案D正确.故 选AD. 方法总结 通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求 第k项；②求含x(或y)的项；③求常数项；④求有理项其中求 有理项时，一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数 恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解.另 外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数暴，以减少计算中 的错误 14.C解析：二项式(1+ay)6展开式的通项公式为T+1=C6×16 (ay)'=C%a'y,令r=3,可得二项式(1+ay)6展开式中y3的系数 为co(（2草)水1展开式中y商系数为-C 160,可得a3=-8,解得a=-2,故选C. 学霸36 15A解折：因为(a+曰)广-[(*草）]'，所以(a 广°-e(+)）°+c(+）广a*e(+)八a c(）广wc(+)‘xa+c(+八xa+cw, c(x+）广的展开式的通项为cc()广 C8Cx6-3,k=0,1,2,3,4,5,6,当k=2时为常数项，常数项 为CgC2; c心(）广xa的展开式的通项为cc4(仔）广xa CgCx5-3×a,k=0,1,2,3,4,5,展开式没有常数项； c(+子）广x好的展开式尚通项为gC一 4 C2Cx4-3×a2,k=0,1,2,3,4,展开式没有常数项： 1）3 c(+)）广x的展开式的通项为c()）广x CCx3×a3,k=0,1,2,3,当k=1时为常数项，常数项为 c2Cg×a3; c(e+子)广x心的展开式的通项为cc()）xa CgC吃x2-3×a,k=0,1,2,展开式没有常数项； c(+子)x的展开式设有常数项： 又C6×a5为常数，所以常数项为C%·C2+C8·C×a3+C6×a6= 15+60a3+a5=76,所以(a3+61)(a3-1)=0.又a>0,解得a=1.故 选A. 16.A解析：因为(1+x)5的展开式的通项公式为T,+1=C5x(0≤r≤ 5,reN),(1+2x)”的展开式的通项公式为T#1=C%(2x)'(0≤ t≤n,t∈N*),所以Cg+2C.=11,得到5+2n=11,解得n=3,得到 f(x)=(1+x)5+(1+2x)3,故f(x)的展开式中x的偶次幂项的系 数之和为Cg+C?+C+C9+C号·22=29，故选A. 17.165解析：由题意可得Am,n=C1,则A1,2+A2,3+A3,4++Ag,10= C9+C3+C2+…+Cio0=C9+C3+C2+…+C0=C4+C2+…+C8o=C3+ C3+…+C10=…=C10+C0=C8,=C品=165.故答案为165， 18.(1,+∞） 帮新：因为(）的展开式中第3项第4项，第 5项之和大于25，所以c()+(）广+c2· (）八=15(e）-20>25,即+>，所以( 19.解：(1)因为二项式的展开式中共有10项，所以n=9,所以第5项 的二项式系数为C4=126. (2)由(1)知n=9,记含x的项为第(r+1)项，所以T+1= C29(-)'=C2(-1)后，取7=4，解得=8，所以)= C821(-1)8x7=18x4,故展开式中含x4的项为18x4. 易错提醒 一个二项展开式的第(k+1)项的二项式系数是C,所有的二项式系 数是一组仅与二项式的次数n有关的(n+1)个组合数，与a,b的取 值无关，且是正数；而第(k+1)项的系数则是二项式系数C与数字 系数的积，可能为负数，只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就 是项的系数 参考答案 20解：(nm=(任)=c(日）广号，=0， 1.2,=c(）x=c·(3） 第7项为常数项，n-9=0,.n=9 ②(0海=G(日广产号02要使 T1为有理项，只需183为整数，且0≤k≤9，当k=0,24,68 时，为有理现，=·(）品5=c ,=(广=g·(）八 x9 第3关（练思维宽度） 21.90解桥：当1<时，有1 -=1-2x+4x2-…+(-2x)n+…①， 当1宁时，有=1++@.又对任 意1k分都有1-129“12- 1 1 …+anx+…,a1即为x1的系数，可取①中的(-2x)10,②中的 1;或①中(-2x)7,②中的x3;或①中的(-2x)4,②中的x6;或①中 的(-2x),②中的x°，a1=(-2)10+(-2)7+(-2)4+(-2)=910, 故答案为910. 22.证明：因为neN,n>2, 所以3”=(2+1)”展开式中至少有四项， 而(2+1)n=C82+C以2-1+C22m-2+…+C%>2+n·2m-1=(n+2)· 2-1,所以3>(n+2)2-1 第2课时 二项式系数的性质及应用 第1关（练速度） 1.B解析：因为(3 1】 的展开式中第6项与第8项的二项式系 数相等，所以C=C?,由组合数的性质可知C=Cg5,所以n-5=7, 即=12,因此二项式()） 12 展开式的第r+1项为T+1=C2· (号广=a(号广，令12-2=10，则 =1所u合：项的系数是·（号）广-4故选B 2日舞折：二项式个板)广的展开式共有7项，则二项式系数最 大的是第4项故选B. 3c第折：二项式系数和为=则a6,所以（公）广的通项 =C%·(-1)'·x6守，其中reN,r≤6，则 展开式中的有理项满足 (6)eZ,故r=0,=3,=6,共3项 故选C. 4.D解析：(2x) 的展开式中各项的二项式系数之和M=2 学霸37