7.4.1 二项式定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

第7章　计数原理 7.4　二项式定理 7.4.1　二项式定理 基础过关练 题组一　二项式定理的正用与逆用 1.(2025上海浦东期中)已知(a1+a2)(b1+b2+b3)·(c1+c2+c3+…+cn)(n∈N+,n≥1)展开后共有60项,则n的值为(　　) A.5　　　B.7　　　C.10　　　D.12 2.(2025河南南阳完全学校调研)若(1+b(a,b均为有理数),则a+b=(　　) A.33　　　B.29　　　C.23　　　D.19 3.(2024江苏宿迁沭阳高级中学月考)+…+22 024的值是(　　) A.-1　　　B.1　　　C.0　　　D.2 024 4.(2025河北沧州部分学校联考)若∀x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a+b=(　　) A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 题组二　展开式中的特定项及特定项的系数 5.(2025江苏扬州高邮联考)在的展开式中,含x的项的系数为(　　) A.-10　　　B.5　　　C.10　　　D.40 6.(2025江苏盐城期中)(x-y)4的展开式中xy3的系数为(　　) A.6　　　B.-6　　　C.4　　　D.-4 7.(2025江苏南京大学附属中学模拟)若(1+x)n的展开式中x2的系数为15,则n=(　　) A.7　　　B.6　　　C.5　　　D.4 8.(2025江苏宿迁期中)若(2+x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a10(1+x)10,则a2=(　　) A.30　　　B.45　　　C.60　　　D.90 9.(易错题)(2025江苏镇江扬中第二高级中学期初)在(1+x)8的展开式中,系数为有理数的项数是(　　) A.9　　　B.4　　　C.3　　　D.2 10.(2025陕西咸阳武功普集高级中学月考)已知的展开式中的第2项的系数与第2项的二项式系数之和为198,则展开式中的常数项为　　　　.  11.(2025江苏苏州九校联考)已知(1+2x)5+(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a3=　　　　.  12.(2024江苏泰州期末)在的展开式中,第3项与倒数第3项的系数之比为4∶9. (1)求n的值; (2)求展开式中所有的有理项. 能力提升练 题组　展开式中的特定项及特定项的系数 1.(2025江西上饶广丰新实中学月考)已知(其中a>0)的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项的系数之和为(　　) A.43　　　B.-43　　　C.27　　　D.-27 2.(2025江苏镇江期中)在(2+a+b)5的展开式中,a2b的系数为(　　) A.30　　　B.60　　　C.90　　　D.120 3.(2025江苏新高考基地学校联考)已知(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,若ak≥ai,i=0,1,2,…,9,则k=(　　) A.4　　　B.5　　　 C.4或5　　　D.5或6 4.(2025江苏无锡天一中学期中)(x2+2)的展开式中的常数项为(　　) A.3　　　B.-3　　　C.7　　　D.-7 5.(2025江苏苏州期中)(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为a,(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为b,则a+b=(　　) A.-15　　　B.75　　　C.135　　　D.165 6.(2024山东济南模拟)在的展开式中,常数项为(　　) A.28　　　B.-28　　　C.-56　　　D.56 7.若(2x-5)5=a0(x-2)5+a1(x-2)4+a2(x-2)3+…+a5,则a1=(　　) A.80　　　B.50　　　C.-40　　　D.-80 8.(2025江苏泰州兴化联考)已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m∈N*,n∈N*),其展开式中含x2的项的系数为15,则展开式中含x的项的系数是(　　) A.6或7　　　B.6 C.8或9　　　D.9 9.(2025江苏连云港东海高级中学月考)(x2+3x+2)2(x+1)5的展开式中含x2的项的系数为　　　　.  10.(2025江苏盐城射阳中学月考)已知(1+x)·的展开式中的常数项为280,则n=　　　　.  11.(2025江苏无锡天一中学期末)已知函数f(x)=(2x+3)4,f'(x)为其导函数,则f'(x)的展开式中的常数项为　　　　.(用数字作答)  12.(2024江苏南京五校期中)已知(a>0,n∈N*)的展开式中,前3项的二项式系数之和等于56. (1)求n的值; (2)若展开式中的常数项为. ①求a的值; ②第(k+1)项的系数是第k项的系数的6倍,求k的值. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 1.C　易知(a1+a2)(b1+b2+b3)的展开式中共有6项, 则(a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+…+cn)(n∈N+,n≥1)展开后共有6n项,因此6n=60,解得n=10. 2.B　∵(1+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29. 3.B　原式=×12 024×(-2)0+×12 023×(-2)1+×12 022×(-2)2+…+×10×(-2)2 024=(1-2)2 024=1. 方法总结 二项式定理的正用与逆用 　　(1)正用:将(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开,对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开. (2)逆用:将展开式合并成(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 4.D　∵(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=[(x+2)-1]5=(x+1)5, ∴(ax+b)5=(x+1)5,∴a=b=1,∴a+b=2. 5.D　展开式的通项为Tk+1=·x5-k··(-2)k·x5-2k(k≤5,k∈N),令5-2k=1,得k=2,所以展开式中含x的项的系数为×(-2)2=40. 6.D　展开式的通项为Tr+1=x4-r(-y)r,r=0,1,2,3,4. 令r=3,得T4=x1(-y)3=-4xy3,所以xy3的系数为-4. 7.B　展开式的通项为Tr+1=xr(r=0,1,2,3,…,n),则=15,解得n=6. 8.B　(2+x)10=[1+(1+x)]10,其展开式的通项为Tr+1=·110-r·(1+x)r=(1+x)r,r=0,1,2,…,10. 令r=2,则a2==45. 9.C　展开式的通项为Tk+1=xk,k=0,1,2,3,4,5,6,7,8. 当∈Z时,k=0,3,6,所以系数为有理数的项数是3. 易错警示 　　解决二项展开式中的特定项问题时,要注意问题的形式,分清项、项的系数和二项式系数,如本题是求“系数为有理数的项数”,而不是求“有理项的项数”,系数是有理数的项是指系数中的指数为整数的项,有理项是该项字母的指数为整数的项. 10.答案　60 解析　展开式的通项为Tr+1==a6-r·,r=0,1,2,…,6,所以展开式中的第2项的系数为a5=6a5,二项式系数为=6,所以6a5+6=198,解得a=2. 令6-=0,得r=4,所以展开式中的常数项为a2=4×15=60. 11.答案　-80 解析　易知a3为(1+2x)5+(2-x)6的展开式中x3的系数,(1+2x)5的展开式中x3的系数为×23=80,(2-x)6的展开式中x3的系数为(-1)3××23=-160,所以a3=80-160=-80. 12.解析　(1)展开式的通项为Tr+1=2n-r·3rxn-r,r=0,1,2,…,n,所以第3项的系数为2n-2×32,倒数第3项的系数为22×3n-2,所以,所以n-4=2,所以n=6. (2)由(1)得的展开式的通项为Tr+1=26-r·3r,r=0,1,2,…,6. 令6-∈Z,得r=0或r=3或r=6,T1=×23×33×x2=4 320x2,T7=×20×36×x-2=729x-2. 故展开式中的有理项为64x6,4 320x2,729x-2. 能力提升练 1.D 2.D 3.A 4.D 5.D 6.A 7.D 8.C 1.D　易得展开式中的第7项为T7=x2n-14,则2n-14=0且(-a)6=7(a>0),所以n=7,a=1,所以展开式的通项为Tk+1=,k=0,1,2,…,7. 令∈Z,则k可取0,3,6,所以展开式中的有理项的系数之和为 (-1)0=1-35+7=-27. 2.D　(2+a+b)5=[2+(a+b)]5,其展开式的通项为Tr+1=·25-r(a+b)r(0≤r≤5,r∈N), 又(a+b)r的展开式的通项为Tk+1=ar-kbk(0≤k≤r,r,k∈N), 所以(2+a+b)5的展开式的通项为Tr+1,k+1=·25-rar-k·bk(0≤k≤r≤5,r,k∈N). 令得r=3,所以展开式中a2b的系数为×22=120. 方法总结 　　解决(a+b+c)n的展开式的问题的方法通常有两种:一是两次运用二项式定理,二是直接利用组合知识求解通项. 3.A　易得an=+…++…++…+=…=,n≥2.根据组合数的性质知,当n+1=5,即n=4时,an取得最大值,所以k=4. 4.D　的展开式的通项为Tr+1=,r=0,1,2,3,4,5. 令-=-2点拨:x2与的展开式中含x-2的项 相乘,得r=1,此时T2=(-1)1x-2=-5x-2. 令-=0点拨:2与的展开式中的常数项相 乘,得r=5,此时T6=(-1)5=-1. 故(x2+2)的展开式中的常数项为x2·(-5x-2)+2×(-1)=-7. 5.D　(1-x)10的展开式的通项为Tr+1=·xr,r∈N,r≤10, 所以a=1×(-1)4=210-120+45=135. (x2+x+y)5的展开式中含x5y2的项为(x2)2·x·y2=30x5y2,所以b=30. 故a+b=165. 6.A　因为x3-2x+,所以.因为(x2-1)8的展开式的通项为Tr+1=·(x2)8-r·(-1)r=(-1)rx16-2r,所以(x2-1)8的展开式中,x4的系数为×(-1)6=28,所以所求常数项为28. 7.D　设x-2=t,则x=t+2,所以(2t-1)5=a0t5+a1t4+a2t3+…+a5,易得(2t-1)5的展开式的通项为Tr+1=(2t)5-r·(-1)r=(-1)r·25-r··t5-r,r=0,1,2,3,4,5, 令5-r=4,得r=1,所以a1=(-1)1×24×=-80. 8.C　易知(1+x)m的展开式的通项为Tr+1=xr(0≤r≤m且r∈N), (1+2x)n的展开式的通项为Tk+1=(2x)k(0≤k≤n且k∈N). 若m≥2,n≥2且m∈N*,n∈N*,则展开式中含x2的项为x2,所以+2n(n-1)=15. 若则n(n-1)=7,不存在正整数n(n>3),使得方程成立,故舍去. 若则m(m-1)=22,不存在正整数m(m>3),使得方程成立,故舍去. 若则f(x)=(1+x)3+(1+2x)3,此时展开式中含x的项的系数为×2=9. 若则2n(n-1)≥24,≥6,所以+2n(n-1)=15无解,故舍去. 若n=1,m≥2,则展开式中含x2的项的系数为,所以=15,解得m=6(负值舍去),此时f(x)=(1+x)6+1+2x,所以展开式中含x的项的系数为+2=8. 若m=1,n≥2,则展开式中含x2的项的系数为2n(n-1),所以2n(n-1)=15,此时不存在正整数n(n≥2),使得方程成立,故舍去. 综上,展开式中含x的项的系数是8或9. 9.答案　113 解析　(x2+3x+2)2(x+1)5=(x+2)2(x+1)7=(x2+4x+4)·(x+1)7. 易得(x+1)7的展开式中的常数项为=1,含x的项的系数为=7,含x2的项的系数为=21, 所以(x2+3x+2)2(x+1)5的展开式中含x2的项的系数为1+4×7+4×21=113. 10.答案　7 解析　的展开式的通项为Tr+1=(2x)n-r··2n-r·xn-2r,0≤r≤n,r∈N. ①当n为偶数时,n-2r为偶数,令n=2r,得(1+x)··2r=280,此时方程无解; ②当n为奇数时,n-2r为奇数,令n=2r-1,得(1+x)··2r-1=280,解得r=4,则n=7. 综上所述,n=7. 11.答案　-135 解析　易得f'(x)=8(2x+3)3. 易知(2x+3)3的展开式的通项为Tr+1=(2x)3-r·3r=23-r·3r·x3-r,r=0,1,2,3, 所以8(2x+3)3的展开式中的常数项为8×= -432. 易知(2x+3)4的展开式的通项为Tk+1=(2x)4-k·3k=24-k·3k·x4-k,k=0,1,2,3,4, 所以(2x+3)4=297. 故f'(x)的展开式中的常数项为-432+297=-135. 12.解析　(1)依题意得=56,即1+n+=56,整理得n2+n-110=0, 又n∈N*,所以n=10. (2)①的展开式的通项为Tr+1=·(,r∈N,r≤10, 令r-20=0,得r=8,因此a2,即45a2=, 又a>0,所以a=. ②由①知,Tr+1=5r-10,r∈N,r≤10, 依题意,得5k-10, 即5×, 化简,得5(11-k)=6k,解得k=5. 13 学科网（北京）股份有限公司 $