8.2 第1课时 随机变量及其分布列-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

8.2离散型随机变量及其分布列 第1课时 随机变量及其分布列 第1关练速度 15min为准，你的时间： C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 1.(2024·江苏盐城高二月考)下列叙述中，是 6.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球， 离散型随机变量的是 ) A.某电子元件的寿命 5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入 B.某人早晨在车站等出租车的时间 袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X, C.某高速公路收费站一小时内经过的车辆数 则表示“放回4个球”的事件为 () D.测量某零件的长度产生的测量误差 A.X=4B.X=5C.X=6 D.X≤4 2.袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2， 7.（多选)(2024·淅江台州高二期中)随机变量 3,4,5五个号码，现在在有放回的条件下依次 X的概率分布如下表： 取出两个球，设两个球的号码之和为随机变 量专，则专所有可能取值的个数是( a b A.25 B.10 C.15 D.9 3.（2024·福建南平高二期中)已知离散型随机 其中a,b,c成等差数列，则P(X=1)可以为 变量X的分布列服从两点分布，且P(X= () 0)=3-4P(X=1)=a,则a= ( ) A号 B.7 8.在某考试中需回答三个问题，考试规定：每题回 4.(多选)已知随机变量X的概率分布如下表： 答正确得100分，回答不正确或不答得-100分， 0 1 2 设某名同学回答这三个问题的总得分为随机 变量专，则5的取值集合是 m 6 12 9.(2024·山西吕梁高二月考)设随机变量专的 若P(1X11)=2,则 分布列为P(5=i)=a )(=1,2,3)，则 1 A.m3 1 1 a的值为 B.m=6 D.n= 3 10.（2024·江苏无锡高二期中)若随机变量X 5.（2024·安徽蚌埠高二期中)甲、乙两人下象 的概率分布为 棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共 X -2 -1 0 2 3 下三局.用表示甲的得分，则{5=3}表示 0.10.20.20.30.10.1 A.甲赢三局 则当P(x<a)=0.5时，实数a的取值范 B.甲赢一局输两局 围是 第8章学霸065 11.（2024·福建泉州高二月考)某旅游品生产15.（多选)(2024·重庆长寿区高二期中)设随 厂家要对生产的产品进行检测，后续进行产 机变量专的概率分布如下： 品质量优化.产品分为优秀、良好、合格、不 2 345 789 10 合格四个等级，设其级别为随机变量专，且优 秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应专 p a1 az a3 as as as a7 as ag a10 的值为1,2,3,4，其中优秀产品的数量是良 则下列说法正确的是 好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良 1 好产品的数量的一半，不合格产品的数量与 A.当{an}为等差数列时，a5+a6=5 合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽 B.数列{an}的通项公式可以为an= 取一个检验质量，则P(>1)= 10 9n(n+1) 第2关练准确率 8题为准，你做对 题 1 12.(2024·江苏南京高二月考)已知离散型随 C.当数列fa,满足a.=2(n=1,2,…,9) 机变量X的概率分布如表，离散型随机变量 1 Y满足Y=2X-1,则P(Y≥3)= ) 时，41029 X 0 1 2 3 D.当数列{an}满足P(5≤k)=2a(k=1, 11 P 5a 2,…,10)时，a.=10n(n+1) 3 16.(2024·吉林长春高二期中)泊松分布是统 B 3 D. 4 计学里常见的离散型概率分布，由法国数学 12 家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为 13.(2023·河北衡水二中高三期末)甲、乙两队 在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比 PX°2(k=0,1,2,…）其中e为自 赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍 然对数的底数，入是泊松分布的均值.已知某 得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到 线路每个公交车站台的乘客候车相互独立， 题但回答错误的扣1分（即得-1分）.若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者 且每个站台候车人数X服从参数为入（入> 胜)，则X的所有可能取值之和是( 0)的泊松分布，若该线路某站台的候车人数 A.3 B.4 C.5 D.6 为2和3的概率相等，则该线路公交车两个 14.已知集合A={1,2,3,4},B={1,2,3,4,5}, 站台各有1个乘客候车的概率为() 从集合A中任取3个不同的元素，其中最小 R c&n 的元素用a表示，从集合B中任取3个不同 的元素，其中最大的元素用b表示，记X=b 17.(2024·天津滨海新区高二月考)现有7张 a,则P(X=3)为 ( 卡片，分别写上数字1,2,3,4,5,5,6，从这 9 7张卡片中随机抽取3张，记所取卡片上数 0 8 D.4 字的最大值为X,则P(X=5)= 选择性必修第二册·SJ学霸066 18.一个盒子里有1个红、1个绿、2个黄共4个 第3关练思维宽度 ）难度级别：☆☆☆☆☆ 相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即 21.（多选)(2024·陕西渭南高二期末)围棋起 停，设拿出黄球的个数为专，则P(= 源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围 0)= 棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史， 19.写出下列随机变量可能的取值，并说明这些 在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入决赛决 值所表示的随机试验的结果 赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得 (1)一个袋中装有大小相同的2个白球和 冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概 5个黑球，从中任取3个，其中所含白球 率都为p(0≤p<1),且每局比赛的胜负互不 的个数X; 影响，记决赛中的比赛局数为X,则（) (2)抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出 A.乙连胜三场的概率是(1-p)3 的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的 B.P(X=4)=3p3(1-p)+3p(1-p)9 绝对值Y. C.P(X=5)=12p2(1-p)2 视频讲解 D.P(X=5)的最大值是3 22.（2024·淅江温州高二月考)如图九宫格上 有16个定点分别为A1,A2,A3,A4,…,D1, D2,D3,D4,先从A1出发只能向上或者向右， 走到D,为止，每走向上一步得1分，向右不 得分，若连续向上两步则得分翻倍（例如路 线：A1-B1-C1-C2-C3-C4-D4,得分为(1+ 20.(2024·河北秦皇岛高二月考)设离散型随 1)×2+1=5(分))，记得分为随机变量X. 机变量X的概率分布为 (1)求X=3的概率； 0 1 2 (2)求X的分布列. 0.20.10.10.3 D.D:D.D. m C (1)求η=1X-11的分布列； B B2 B3 B (2)求P(1<2X+1<9): A A2 A3 A 第8章学霸067P(SoB)=P(So)P(BISo)=- P(S]B)=P(S1)P(BIS1)=- 1 P(S2B)=P(S2)P(B1S2)= P(S3B)=P(S3)P(BIS3)=- 所以P(B)=P(SB)+P(S,B)+P(S2B)+P(SB)=128 9 Ps0=rc,=g(合宁）a Prs0=sC=子(2） Pr8,0=PsrC×(合宁）-s Prs,0=(分宁）s 所以P(C)=P(SC)+P(S,C)+P(S,C)+P(S,C)=128 7 所以P代的=P()+P(C)=品高日即甲风以2：1取鞋的 概率为8 8.2 离散型随机变量及其分布列 第1课时随机变量及其分布列 第1关（练速度） 1.C解析：A选项，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出 来，不是离散型随机变量，A错误：B选项，等出租车的时间是随机 变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；C选项，高速 公路上某收费站在一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是 离散型随机变量，C正确；D选项，测量误差不能一一列出，不是离 散型随机变量，D错误故选C 方法总结 随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量 的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，且 这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这 便是“随机”的本源 2.D解析：由题意得，两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9， 10,共9个.故选D. 3.C解析：因为X的分布列服从两点分布，所以P(X=0)+P(X= 1)=1.因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1- P(X=01,所以P(X=0)=号，所以a=号放选C 11 1 m+n+ 6+12=1, m3' 4.AC解析：依题意得 解得 故选AC 11 5 n+122' n-12 选择性必修第二册·SJ 方法总结 分布列性质的两个作用： (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列 的正确性 (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一 点可以求随机变量在某个范围内的概率 5.D解析：由题意知，甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分， 输了得0分，其中甲得3分，有两种情况：甲赢一局输两局，甲得分 为3分：甲、乙平局三次，甲得分为3分，所以{=3表示甲赢一局 输两局或甲、乙平局三次.故选D. 6.B解析：根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回袋中，然后继 续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次取 到的都是黑球，第5次取到了红球，故X=5.故选B. 7.ABC解析：随机变量X的概率分布如下： x-101 P a b c .a+b+c=1,且a,b,ce[0,1]①.a,b,c成等差数列，∴.2b=a+ c②，联立①②得，b= 3,a+c= 30≤cs2 P(X= 11,3故选AC 1)=c,P(x=1)可以为32,5 8.{-300,-100,100,300}解析：若答对0个问题得分-300：若答对 1个问题得分-100；若答对2个问题得分100：若3个问题全答对 得分300.故答案为{-300，-100,100,300. 9. 8 7 +子片女=1，解得a=,所以a的 解折：依题意，得2+4+8=8 8 值为号故答案为7 8 方法总结 离散型随机变量分布列的求解步骤： 明取值 明确随机变量的可能取值有哪些，且每 一个取值所表示的意义 求概率 要弄清楚随机变量的概率类型，利用相 关公式求出变量所对应的概率 画表格 按规范要求形式写出分布列 做检验 利用分布列的性质检验分布列是否正确 10.(0,1]解析：由题知，P(x<0)=P(X=-2)+P(X=-1)=0.3< 0.5,P(x<1)=P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)=0.5,而P(x<a)= 0.5,所以0<a≤1.故答案为(0,1]. 11.0.5解析：根据题意可知，优秀产品的数量是良好产品数量的两 倍，即P(=1)=2P(=2),合格产品的数量是良好产品数量的 一半，即P(=3)=0.5P(5=2),不合格产品的数量等于合格产品 数量，即P(传=4)=P(传=3).因为所有产品的总数量是固定的，可 以根据以上条件计算各个等级产品的概率：P(专=2)=A,P(专= 1)=2A,P(=3)=0.5A,P(=4)=0.5A,其中A表示良好产品的 占比，因此应该满足以下条件：2A+A+0.5A+0.5A=1,解得A 0.25,因此P(5=2)=0.25,P(5=1)=0.5,P(5=3)=0.125,P(5= 学霸46 4)=0.125.P(>1)就是专取到2,3或4的概率之和，P(5>1)= P(=2)+P(5=3)+P(5=4)=0.25+0.125+0.125=0.5.故答案为 0.5. 第2关（练准确率） 12.A解析：由题意可知a+子+5a+气 。=1,解得a=所以离散型 1 随机变量Y的概率分布为： Y-1135 1 1 51 123126 7 所以P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=5)= 5,1 262故选A 13.C解析：若甲队抢到一题但答错，乙队抢到两题都答错，则X= -1:若甲队没抢到题，乙队抢到三题但答错两题或全错、甲队抢到 两题，一对一错，乙队抢到一题但答错，则X=0;若甲队抢到一题 并答对，乙队抢到两题一对一错或全错、甲队抢到三题，两对 一错，则X=1;若甲队抢到两题且答对，则X=2;若甲队抢到三题 且答对，则X=3.综上，X的所有可能取值之和为-1+0+1+2+3= 5.故选C. 14.C解析：根据题意，从集合A中任取3个不同的元素有4种：{1， 2,3,{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},其中最小的元素a的取值分 别为1,2.从集合B中任取3个不同的元素有10种：{1,2,3}，{1， 2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},11,4,5},12,3,4},{2,3,5}, {2,4,5},{3,4,5},其中最大的元素b的取值分别为3,4,5.由 X=b-a,随机变量X的取值为1,2,3,4，故X=3对应{(a,b)1(1, 4.21r=3)=-号妆选c 15.ACD解析：由题可知a1+a2+…+a10=1.对于选项A,若{an}为 等差数列，则1+a2+…+a1o=5(a5+a6)=1,所以a5+a6= 因 此透项A正确：对打选项a9(行)。 a2+…ta10= x[(）+(分)+(0)] 100 99 ≠1，因此选项B不正确；对于选项C,由an= a12 11 2210 9),则a1+a2+…+ag= 分，所以a0分，因此选项 1- C正确；对于选项D,方法一：P(专≤k)=k2a,则P(≤10)= 100a10=1,所以a0-10010x10x1 1 11 满足题意，当k≥2时，ak= P(专≤)-P(专≤k-1)=2as-(k-1)2ak-1,则(k-1)2as-1=(2- k+1 1111.111 1)·as,所以a1-04,ag=900=9×10010x9x10满足题 意，当2≤n≤9时，an-1= n+1n+1n+2n+1n+2 -i4=n-ina1n-in ….11 10×11111 ,9a1o-(n-1)n`10010(n-1)n 参考答案 11 则当1≤n≤8时，“n10(n-1)n ，因此选项D正确 方法二：令S4=P(5≤k)=2a(k=1,2,3,…,10),则a+1= 1-=(+@1a4,即=牛2k=1,2,9),于是有 0=414.9.. 1.2. a1 a2 an-1 n+1n(n+1)）·a1 (a=1,2.,10).s0=a+…ta0=a+2a(}1）1,解 得e10所以a,10nt因此选项D正确 11 故选ACD, 16.D解析：由题意可知P(X=2)=P(X=3),即e 31e,解 3 得入=3，所以P(X=k)=e-3(k=0,12,…),从而P(X=1)= ：号，放谈线路公交车丙个站台各有1个乘影侯车的质幸 31 17.16 35 解析：从这7张卡片中随机抽取3张的试验有C=35个基 本事件，其中X=5的事件所含基本事件数为C!+C2C?=16,所以 P(X=5)= 故答案为 35 解析：随机变量专=0,1,2,5=0对应事件为第一次拿红球或 8.3 第一-次拿绿球，第=次拿红球所以P5=0)=子+了行 故答案为了 1 19.解：(1)X的所有可能取值为0,1,2.X=0表示所取的3个球是 3个黑球：X=1表示所取的3个球是1个白球、2个黑球：X=2表 示所取的3个球是2个白球、1个黑球 (2)依题意，用(a,b)表示一个样本点，其中a为第一枚骰子掷出 的点数，a=1,2,3,4,5,6,b为第二枚骰子掷出的点数，b=1,2,3, 4,5,6,则Y=1a-b1,故Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. Y=0表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的样本点有 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)； Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的样本点有 (1,2),(2,1),(2,3),（3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4), (5,6),(6,5); Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的样本点有 (1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)； Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的样本点有 (1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3); Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的样本点有 (1,5),(5,1),(2,6),(6,2)； Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的样本点有 (1,6),(6,1) 20.解：(1)由题可知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,故m=0.3,则m的可能 学霸47 取值为0,1,2,3，P(7=0)=P(X=1)=0.1,P(7=1)=P(X=0)+ P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(7=2)=P(X=3)=0.3,P(7=3)= P(X=4)=0.3,故其分布列为 0123 P0.10.30.30.3 (2)由1<2X+1<9,可得0<X<4,故P(1<2X+1<9)=P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.1+0.3=0.5. 第3关（练思维宽度） 21.BD解析：乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5.若比赛局数为 3,乙连胜三场的概率是(1-P)3;若比赛局数为4，乙连胜三场的 概率是p(1-p)3:若比赛局数为5，乙连胜三场的概率是 p2（1-P)3,故选项A错误；由题意可知，决赛中的比赛局数X的 可能取值为3,4,5，则P(X=3)=p3+(1-p)3=1-3p+3p2;P(X= 4)=3(1-p)p3+3p(1-p)3=12p3-6p4-9p2+3p,故选项B正确； P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=6p4-12p3+6p2,故选项C错 误；令f(p)=6p4-12p3+6p2,则f'(p)=24p3-36p2+12p=12p(2p 1)(p-1).因为0≤p<1,所以当0≤p<2时f(p)≥0，当2<p<1 时(p)<0则函数p)在[0，子)上单调递增，在（行，1）上 单调递减，则当P=子时，函数人p)取最大伯，所以P(X=5)的 最大值是？，故选项D正确故选BD, 2解。1)从到D的路线共有-20条，其中使=3的路线 41 有C2=4条，因此P(X=3)=20=5 (2)由题意可知，x的取值可以为3,5,6，所以P(X=3)=20 4 A43 41 5P(X=5)=203P(X=6) 20了，因此X的分布列为 X35 6 1 3 1 P 555 第2课时离散型随机变量的数字特征 第1关（练速度） 1.C解析：由离散型随机变量的数学期望与方差的定义可知，C正 确.故选C. 2.ABC解析：对于A,由g+0.2+0.1+0.4+0.1=1,解得g=0.2,所以 E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.1=2,故A正确：对于B, D(X)=(0-2)2×0.2+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.4+ (4-2)2×0.1=1.8,故B正确：对于C,E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+ 1=5,故C正确：对于D,D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=7.2,故D错 误.故选ABC. 3.B解析：由题意得0.1+a+b+0.1=1,0×0.1+a+2b+3×0.1=1.6,解 得a=0.3,b=0.5,故a-b=0.3-0.5=-0.2.故选B. 选择性必修第二册·SJ 4.C解折：P(传=)=，k=1,23,410e=1,解得c=0 以=102品3x品+4高3D=1-3P 3 .4 （2-3)x品+(3-3)(4-32合1散选C 5.ABD解斩：对于A,因为)m+号=1，所以ma号，放A正 确，对于B,P心K2)=1PX=2=1号号，故BE确对千C, 因为m=g所以a=号，所以(X)=-2x寸(-1)xg1x了 5 2=?,故C错误；对于D,P(2=1)=P(X=-I)+P(X= 2× 9=3 2 1)=mtn=子，P氏=4)=P(X=-2)+P(X=2)=了，则的藏 率分布如下： 4 D 3 3 所以E(X2)=1× 2 1 3 -+4× -=2,则D(X2)= 3 3×(1-2)2+ 3 (4-2)2=2,故D正确.故选ABD 6.A解析：XY的概率分布为 2 4 Pp(1-p)p2+(1-p)2p(1-p) E(XY)=1xp(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2, E(X)=2-p,E(Y)=p+1,Cov(X,Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.故 选A. 7.D解析：X的所有可能取值为0,1,2,3，记三次得到的数组成数组 (a,b,c),满足X=0的数组有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，(4,4， 4),共4个，所以P(X=0)=年6 41 满足X=1的数组有(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)，(2,2,3)，(2,3， 2),(3,2,2),(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3),(2,2,1),(2,1,2),(1, 2,2),(3,3,2),(3,2,3),(2,3,3),(4,4,3),(4,3,4),(3,4,4), 共18个，所以P(X=1)=18-9； Γ4332 满足X=2的数组有(1,1,3)，(1,3,1)，(3,1,1)，(2,2,4)，(2,4， 2),(4,2,2),(3,3,1),(3,1,3),(1,3,3),(4,4,2),(4,2,4),(2, 4,4),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1), (4,2,3),(4,3,2),(2,4,3),(2,3,4),(3,4,2),(3,2,4),共 24个，所以P心2名 满足X=3的数组有(1,2,4)，(1,3,4)，(1,4,4)，(1,4,1)，(1,4， 2),(1,4,3),(1,1,4),(2,1,4),(3,1,4),(4,1,1),(4,2,1),(4, 3,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,1,4),(2,4,1),(3,4,1),(4,4,1), 共8个，所议以=号品 学霸48