10.1 第1课时 两角和与差的余弦-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第10章 三角恒等变换 10.1两角和与差的三角函数 第1课时两角和与差的余弦 第1关练速度 10min为准，你的时间： 5.(2024·河南周口高一期末)已知π<&< 1.(2024·江苏镇江高一月考)cos57°c0s3° 3π sin57°sin3的值为 4,sin(a4)= 5,cos a= （) A.0 A.② B.、V② 10 10 e号 D.c0s54° 72 D.、72 10 2.(2024·广东广州高一期中)计算cos105°= C.0 () 6.（多选)若xe[0,π]，且sinx= 5,则2cosx A2-6 B.②-6 2 4 3m+2c0sx的值可以为 C.2+6 D.2+6 2 4 45-3 A. B.43*3 5 5 3.(2024·江苏盐城高-月考)设ae(0,), C.33+4 D.33-4 5 5 若ina=了，则2cs(a-牙)等于( 7.(2024·山东青岛高一月考)已知cosx .5 号则wo5s于（) 7 C.- 5 D.-5 2W3 A.- 4.（多选)(2024·江苏宿迁高一月考)下面各式 3 化简正确的是 () C.-1 D.1 A.cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos60° 8.(2024·江苏连云港高一月考)计算sin50°· B.cos45°c0s30°-sin45sin30°=cos15° cos10°+sin40°sin10°= C.sin (a+45)sin a+cos (a+45)cos a= c0s45° 9已知ma=写aea,2)m8=手 D.o (a 2 sin a Be(受，m),则es(a+8)= 必修第二册·SJ学霸030 10.如图，在平面直角坐标系中，锐角a,B的终14.（多选)(2024·山西朔州高一期末)已知 边分别与单位圆交于A,B两点，若点A的纵 cos (a+B)=-5 ,cos2a=-4 其中，B为 坐标为3，点B的技坐标为则cas(a 锐角，则 () B)= 3 A.sin 2a=5 y 1/B 2v5 B.cos (a-B)= J C.cos cB3 10 2cos B+cos A D.tan atan B=3 11.在△ABC中，已知 2sin B-sin A tan A, 15.（2024·广东广州高三月考)设α，B为锐角， 则cosC 且cos(aB)=0sg,则a与B的大小关系为 第2关练准确率 8题为准，你做对题 cos B' 12.(2024·江苏苏州高一月考)已知，B∈（0， A.a=B B.a>B .且am(a9y=3血a= 3 ，则cmsg= C.<β D.不确定 16.（2024·江苏南通海门中学高一月考)已 2 A.、⑤ R35 知cosa= 2mg=3ae(, 25 2号 D.115 Be(-20,则a-B= () 25 B.3m 4 13.(2024·广东广州高一期中)若0<a<7 D. 或3 41 4 17.（2024·江苏南通高一期中) 2sin35°-√3sin5° 的值为 2cos35+sin5° B.、3 18.(2024·江苏徐州高一月考)已知sina- 3 sin B=- 1 2,cos a-cos B=cos (a- D.、6 9 B)= 第10章学霸031 19.(2024·江苏南京高一期末)已知cosa= 第3关练思维宽度难度级别：女女☆女女 m(arg创=.Ho.pe.写引求： √5 21.(2024·江苏扬州中学高一期中)已知 c0s(0+20)=c0s(0+40)+c0s(0-40°)， (1)cos(2a-B)的值； 则tan0= (2)B的值. B.、3 3 视频讲解 C.3 D.-√3 22.（1)把向量0P=(x,y)绕原点顺时针方向旋 转角a,得到向量00=(x',y),用x,y及 角α的三角函数表示x. (2)利用(1)的结论解答下面的问题： 如图，已知点B(2,0),半圆上有一动 20.(2024·河南信阳高一月考)已知f(x)= 点A,求等边三角形ABC的顶点C的横 m(-a空xa(- 坐标的取值范围。 受 (1)若0是△ABC的一个内角，且f(0)= 求0的值， （2)已知号B<<7a-8)=1/(牙 (a48)）上-子，求2)的值 必修第二册·SJ学霸0322应)号（动，店=动+成-市+兮成=动+名应，所 以成-市-店+成，因此花萨=（市+应）： (}应）}++}应.应 因为A=2D元，A市1=1C1=1,AD1AB,所以1A1=2,A市.A店 0所以成成号 (2)由(1)知d成-店-花=店-应 因为B市=AB武，D成=(1-A)D元，所以A应=A市+D成=A+(1-A)· D戒=动+，诚，市-破+成-+成=应+（布-2应 +(1子)应侧成应-(a-动：应 因为A=2,1=1,4市.应=0，所以花.E=(-1)市+ 1=六应+-A2+2》市.成=-1+1-A=0,故向量应，的夹角 4 2 为90° (3)由(2)可知速=动+成=+(1-)元=办+)应，正= 应成+成-+（市应）=市(1分)应，则 应+（分）市()应 因为11=2，动1=1，市.应=0，所以花+2 (分)'迹(-)+))市 =(+分）广12+(1-)=子-5+5 名(a-)+。 由题意知，Ae[0,1,所以店+2产 的取值范围是[ 与]所以破产的取值袍照是[，5] 方法二：由题意知，AB1AD,1A1=1C1=1,A店=2D元，故 AB1=2, 以A为坐标原点，AB,AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标 系，则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(1,1),则B元=(-1,1)，D元= (1,0), 由B=AB武，D成=(1-A)D元，得B=(-A,A),D成=(1-A,0),故 F(2-入，入)，E(1-入，1) 当A=号时，（子子）（兮）则成-(1，兮) 又d=(1,,所以a.或-1}-号 第10章三 10.1两角和与差的三角函数 第1课时两角和与差的余弦 第1关（练速度） 1.B解析：cos57°c0s3o-sin57°sin3°=cos(57°+3°)=cos60°= 1 2 故选B. 2.B解析：cos105°=co3(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°= 巨x12x52-6故选B, 22224 必修第二册·SJ (2)A应=(1-入，1)，E=(1,A-1),则A2.E=1-A+A-1=0,故 A应与E的夹角为90° (3=(1-A),=(2-A,A),则应+亦=(2子，1+ 宁)故应”=()-（ (+7）=-5A+5=A-102月又Ae[0,,所以 正[5]，所以应正的取值花图为 [s] 19.解：()由0到弦B的距离是分，可得乙AB0=∠BA0=30,故 ∠A0B=120°. (1)由圆的几何性质得∠ACB=120°，1A花1=C1=1,故A元， Ci=-CA.C克=-1Ci1Ci1 cosLACB=-1×1×cos120°= (ⅱ)如图，记劣弧B的中点为D,且 0.0成=子，设0成，0劢的夹角为e .0元.0i=λ0+u0i.0i=A 2①. 0成.0i=AOi.0i+40= -jAt@ ①+2得0成.(@成+0)=a+p),进-步得A+n=2成. (Oi+0)=20元.0i=2cosa,其中0°≤a≤60°，故入+w的取值 范围为[1,2]. (2②)记∠40B=B,由130-成≤两边平方，得9亦+0亦 60d.0is空10-6omB≤5又-1m<1mBe [g,1(2oio.(oio=3+3osB,故12oi+0i- √5+4cosB,10i+0i1=√2+2cosB. 又向量20i+0成和向量0i+0的夹角为0， [(20A+0)·(0i+0)12 .c0s20= (3+3c0sB)2 L120i+0110i+0i1 (5+4c0sβ)(2+2cosB) 1 记e=号(5）显然e)关于=w®e[停)单 9 调递增，所以当mB=名时，(om0)一（各）沿 角恒等变换 3B解折：因为ae(0,受），血a=号所以sa=子，所以原 437 cos a+sin a=- 选B. 4.AC解析：cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos(80°-20)= c0s60°，A正确；cos45°cos30°-sin45°sin30°=cos(45°+30°)= cos75°≠cos15°，B错误；sin(a+45)sina+cos(a+45)cosa= cos(a+45)cosa+sin(ax+45)sina=cos[(a+45°）-a]=cos45°， 学霸018 6 sin c, D错误；故选AC. 5.B解：因为<a所以0ca-受又血(-牙） 于所以o(a牙)√1m2(a牙)=子，所以sa w[(a)+好]-m(a-)w-m(a-好）： 6AB解：若[=]，血=-子 5 2 2osx=2(2cosx+2inx）+2csx=v月sinx+eosx-45 1√3. 345-3 5 4 3 2 c0s +2 sin ,故 3 3 2 sin= -sin x= 2 5解析：s如50°cas10°+sn40°sin10°=血(90°-40）· 8. cos10°+sin40°sin10°=cos40°cos10°+sin40°sim10°=cos(40°- 10)=cs300= 2放答案为3 g823得折：因为血a=行ee(,)）所以ma: 15 -个a29又cwB=子ae(受）所以mA V个万-号i所以as(a9】=p--如mA=-29x ()(5)小 10.6解析：由已知条件及三角函数的定义可得，血a=了， 3 65 5 4 .12 cco5sin Bc(B)=cos acosB+ .45.312_56 sin asin B=5×3+5*1365 解新：由 11.2 =ianA,可得osB+cosA-imA,即 2sin B-sin A cos A' 2cos Bcos A+cos2A 2sin Bsin A-sin2A,2cos(B+A)=-1, 即cm(B+A)=-分又在△ABC中，A+B+C=,所以csC= -om(B+A)=分放答案为宁 第2关（练准确率） 12.C解析：因为a,Be(0,受），所以a+8e(0,m),因此s(a+ :V1-cm(a0=号，owa=V1a-25 4 ,于是有 参考答案 B=m[(a+B）-a]=o(a*+psa+sn(a+8)sa=3× 2点行-25故瑞C m(任)分m(任)停可得m(任+a) 2g(任g)-5期-(+）-[（年a (任)门-m(a)-(任号）血（任+小 m(任号）兮得29-做选c 方法总结 在三角恒等变换给值求值、给值求角题中，一般采取整体代换的解 法，把给定的角看作整体，通过配凑得到所求的角，从而利用三角恒 等变换公式求出答案. 14.ABD解析：因为a,B为锐角，所以0a<号，0B<号，所以0<a+ g<,0c2am又因为om(a+p)=5<0,所以号<a+8<,所 以sin(a+8)=V个-os(a+p-25, 51 因为cs2a=号<0，所以受<2<，则n2a=V个-m2a- 号，故A选项正确，om(ar9)=0=[2a-(a49】=os2as（a+ ®m2a(a8=(g）(g）+225-25放B 选项正确；因为cos(a-B)=cos acos B+sin asin B= 2 5,cos(a+ B)=cos acos B-sin a sin B=- ，两式相加并化简得ocB= √5 ,故C选项错误；由C选项知，两式相减并化简得sin in 3V5 10,所以tan an B=sin csin_10 35 cos acos B√5 =3,故D选项正确.故 10 选ABD. 15,A解折：由aB为模角，得0,em>0,由a(ap)=8 可得cosa=cos(a-B)cosB.又由cosa=cos(a-B+B)=cos(a B)cosB-sin(a-B)sinB,所以sin(a-B)sinB=0.由B为锐角可 得如>0，则dn(a-8)=0又由a,B为能角可得-号<ac受， 故a-B=0,即a=B.故选A. 16.C解折：因为ae(分，），所以s血a=V个a -(2-5因为g(受0）所以mA v=(2-放oone=mamt 血(25)(2）-因为 号=血y=血在（行）小上单调减所以a (停因为w月空-()ym在 学霸019 (0上单递增，所以Be(，-)，所以a-8e (e,）,所以ag=平放选c 17.V3解析.2sin35-3sin5°-2cos55°-√3sin5° 2cos35°+sin5° 2cos35°+sin5° 2cos(60°-5°)-√3sin5 2c0s(30°+5°)+sin5° 2cos60°cos5°+2sin60°sin5°-√3sin59 2cos30°cos5°-2sin30°sin5°+sin5o g得米 3 18子解折：由题如一咖B=子①，maw月=子②，将 3 0②两式两边同时平方得，na+s血p-2ncs血月=③， -2=号 ④，③+④得，(sin2a+cos2a）+ (2p)-2 B+n血BA)-7,即2-2as(e-g到= 子，解得m(a-9)=子故答案为 3 19,解(aaee(0号)a-e(受号）wa 5,sin(a-B)=. 10sin a=1-cos a=2/5 √10 5,cos(a-B)= ((-B)[( 3√105√102w52 cos(a-B)cos a-sin(a-B)sin a=105105-10 (2)由(1)得，cosB=cos[a-(&-B)]=coscos(a-B)+ 血m(a=2酒，20-号xgeo号） ()sm(+）小m( 20.解：(1)由题可得f(x) 。-tanx·（(-cosx)·cosx sin x sinx os,所以儿)=o五因为f0)=cs0=-子，且0是△ABc的 一个内角，所以0=2知 3 (2②)因为fe-g)=吕所以om(a-B)=吕则(a-B) 12 ±1-co32(a-)=±i3 5 a<所以-牙，所以0a-<, 因为” 所以sin(a-B)=3 5 因为/（(e)-子.所以(是-(a+p)）m(at =子所以(a9=±m(a*9=±号 因为<0a,所以<a<,所以c(e)= 所以f代2a)=cos2a=cos[(a-B)+(a+B)]=cos(a-B)cos(a+ 必修第二册·SJ 第3关（练思维宽度） 21.D解析：因为c0s(0+20°)=cos(0+40°)+cos(0-40°)，所以 cos 0cos20°-sin0sin20°=cos 0cos40°-sin0sin40°+cos0. cos40°+sin0sin40°，所以cos0cos20°-2cos0cos40°=sin0sin20° 所以tm0=os20°-2e0s40°_-0s(30°-109)-2c0s(30+10°) sin20° sin20° √ 2c0s10°+ 2sin10°-2 2os10°-2in10° sin20° -√3c0s(60°+10°) sin20° sin20° -√3c0870° c0s70° =-万故选D. 22.解：(1)设101=T,0在角0的终边上，则x=rcos8,y=rsin0,由 题意可得0d在角0-α的终边上，且10d1=r,由三角函数的定义 可得x'=rcos(0-a)=rcos0cosa+rsin0sina=xcos+ysin a.即x'= xcos a+ysin a. (2)设点C(x1,y1),因为动点A在半圆上，所以设点 A(cos9,sin0),0°≤6≤180°，则向量Bi的坐标为(cos日-2， sin),向量BC的坐标为(x1-2,y), 由已知可得向量Bi绕点B顺时针方向旋转60°得到向量B武， 所以由(1)的结论得x1-2=(cos0-2)cos60°+sin0sin60°= 1 2c0sa+2sin0-1=cos(0-60e)-1 所以x1=1+cos(0-60). 因为0°≤0≤180°，所以-60°≤0-60°≤120°， 所以 cms0-60)≤1，所以7≤1+o(0-60）≤2， 1 2 所以顶点C的横坐标的取值范围 [22] 第2课时两角和与差的正弦 第1关（练速度） 1.B解析：sin40°cos160°-cos40°sin20°=sin40°cos160°- cos40°sin160°=sin(40°-160）=sin(-120)=-sin120°= -sin60°=-3 放选B. 2.A解折：ue(0,牙）ma=}血a=V个-oma 1 4-35故选A 10 3.A解析：因为a是第二象限角，且血a=吕所以sa -√1169 “=。又因为B是第四象限角，sB 5,所以sinB= √小：号所以m(a=血=景号 （音)×（子）8.5碧故选 -6565 4.A解析：？a的终边按逆时针方向旋转了后得到的角为a+ 牙由三角函数的定义，可得(+号)3 -3 4 号）m(a+号)m号-=(+号)m号gx 学霸020