10.1.1两角和与差的余弦同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从公式直接应用到综合拓展，适配新授课基础巩固与能力提升，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|两角和差余弦公式直接应用、基础计算|选择填空为主，如第1题直接套用公式，夯实概念理解| |B级|公式逆用、向量与三角结合、三角形内角问题|含多选题（11题）及综合解答（16题），提升推理能力| |C级|三角函数图像性质与三角综合|函数与三角融合（17题），培养数学思维与创新意识|

10.1.1　两角和与差的余弦 A级 基础达标练 1.cos(x+27°)cos(18°-x)-sin(18°-x)sin(x+27°)等于(　　) A.0 B. C. D. 2.(2025宿迁月考)若x∈[0,π],sin sin =cos cos ,则x的值是(　　) A. B. C. D. 3.已知sin α=,α∈0,,则cos+α等于(　　) A. B. C.- D.- 4.函数f(x)=cos-cos是(　　) A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数 5.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=　　　　　.  6.(2025新海月考)已知向量a=(cos 75°,sin 75°),b=(cos 15°,sin 15°),则|a-b|=　　　　.  7.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,π,α+β∈,2π,求角β的值. B级 能力提升练 8.(2025泰州月考)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β的值为(　　) A. B. C. D. 9.(2025泰兴期中)已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)=(　　) A. B.- C. D.- 10.(2025厦门期末)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B)且a·b=1,则△ABC一定是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 11.(多选题)下列满足sin αsin β=cos αcos β的有(　　) A.α=β=90° B.α=18°,β=72° C.α=130°,β=-40° D.α=140°,β=40° 12.(多选题)已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是(　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=- C.β-α= D.β-α=- 13.(2025如东月考)若cos(α-β)=,cos 2α=,且α,β均为锐角,α<β,则α+β=　　　. 14.化简:=　　　　　.  15.已知sin α+sin β=,则cos α+cos β的取值范围为　　　　.  16.已知向量a=(sin α,cos α-sin α),b=(cos β-sin β,cos β),且a·b=2. (1)求cos(α+β)的值; (2)若0<α<,0<β<,且sin α=,求2α+β的值. C级 拓展探究练 17.设函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的图象的一个对称中心为,且图象上最高点与相邻最低点的距离为.若f,则cos的值为　　　　.  18.已知函数f(x)=Asinx+(x∈R),且f(0)=1. (1)求A的值; (2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos α的值. 参考答案 1.C　原式=cos(x+27°+18°-x)=cos 45°=. 2.D　∵cos cos -sin sin =0, ∴cos=0,∴cos x=0.∵x∈[0,π],∴x=. 3.B　由题意可知cos α=,cos+α=cos2π-+α=cosα-=cos αcos +sin αsin . 4.D　因为f(x)=cos-cos=-sin x,所以函数f(x)的最小正周期为=2π. 又f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),x∈R,所以函数f(x)为奇函数.故选D. 5.0　由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,两式相加,得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0. 6.1　由题知,|a|=1,|b|=1,a·b=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=. ∴|a-b|==1. 7.解 由α-β∈,π,且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=.由α+β∈,2π,且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-. ∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =×-+-×=-1. 又α+β∈,2π,α-β∈,π, ∴2β∈. ∴2β=π,则β=. 8.C　∵ 即 解得∴tan αtan β=. 9.B　由题意知sin α+sin β=-sin γ,　① cos α+cos β=-cos γ.　② ①2+②2,得2+2cos(α-β)=1,所以cos(α-β)=-. 10.B　因为a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的三个内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形. 11.BC　由sin αsin β=cos αcos β,可得cos(α+β)=0,因此α+β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合. 12.AC　由已知得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β. 两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1, ∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,∴A正确,B错误. ∵α,β,γ∈,∴sin γ=sin β-sin α>0,∴β>α, ∴β-α=,∴C正确,D错误. 故选AC. 13.　因为0<α<,0<β<,α<β, 所以-<α-β<0. 又cos(α-β)=, 所以sin(α-β)=-=-. 又因为0<2α<π,cos 2α=, 所以sin 2α=, 所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)] =cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β) = =-. 又0<α+β<π,故α+β=. 14.　原式= = =. 15.　由sin α+sin β=,平方可得sin2α+2sin αsin β+sin2β=,　① 设cos α+cos β=m,平方可得cos2α+2cos αcos β+cos2β=m2,　② ①+②得2+2cos αcos β+2sin αsin β=+m2,即m2=+2cos(α-β). ∵cos(α-β)∈[-1,1],∴m2∈,∴0≤m2≤,∴-≤m≤, 故cos α+cos β的取值范围为. 16.解 (1)由题意得a·b=sin α(cos β-sin β)+(cos α-sin α)cos β=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),因为a·b=2,所以cos(α+β)=2,即cos(α+β)=. (2)因为0<α<,sin α=,所以cos α=. 因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π. 因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=, 所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=.因为0<α<,0<β<, 所以0<2α+β<,所以2α+β=. 17.　由图象上最高点与相邻最低点之间的距离为,得+12=12+,∴ω=2. ∵函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象的一个对称中心为,∴2×+φ=kπ,k∈Z. ∵-<φ<,∴φ=-,故f(x)=sin, ∴fsinsin α=, ∴sin α=. ∵0<α<,∴cos α=, ∴cos(cos α-sin α)=. 18.解 (1)依题意得f(0)=AsinA=1,故A=. (2)由(1)得f(x)=sinx+, 由f(α)=-,可得f(α)=sinα+=-, 则sinα+=-. ∵α是第二象限角, ∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z), ∴2kπ+<α+<2kπ+(k∈Z). 又sinα+=-<0, ∴α+是第三象限角, ∴cosα+=-=-, ∴cos α=cos =cosα+cos+sinα+sin =-=-. 学科网（北京）股份有限公司 $