第9章 专题探究03 平面向量中的取值范围与最值问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

SA4C5AONC+SAOAB S0860i=SA0mc+S△0 SAAOC+S△A0B SA0AB—O元，所以 SAB0c·Oi+SA4Oc·Oi+S AOB·O元=0，即SABc:SAOC:SAA0B= 1:2:3,所以tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.故 选A. 专题探究03平面向量中的 取值范围与最值问题 1.C解析：E在线段BD上，.A正=入A+(1-A)A花，A∈[0,1] :D为线段4C的-个三等分点，AD1=21DC1,市=子花， ÷应=子入花+(1-A)店=a花+b成由平面向量基本定理得，a 子6e1c号+1-a0号-2+1吕(- 名)广合当A名时w取得最个值音旅选C 139 2(（0,子）解析：依题意办：号应+号花且劢 A元.A+A.A元A记 ·破+， ·A花，所以 IACI+IABI A花1+A IACI+IABI IABI 2 +3'花+分，所以11=21花.设 A花 (应2花) 21At1=2x, A12（3A 3 8.8 |AC12 1AC12 F9+9 cos A,由于cosA 的取值范围是 A (o,)】 3.C解析：如图，建立平面直角坐标系，因为AD∥ BC,AB⊥BC,AB=1,AD=3,BC=4,所以B(1 0),C(1,4).设P(0,b)(0≤b≤3)，所以B= （-1,b),C=(-1,b-4),得B.C=1+b2-4b= (6-2)2-3.因为0≤b≤3，所以B.Ce[-3, A 1].故选C. 4.D解析：由题知，AC⊥BD,且AB=BC,故点E在四边形ABCD上 运动时，只需考虑点E在边BC,CD上的运动情况即可. 又AB=BC=2,AD=AC=CD=2/3,BD=√/12-3+4-3=4， 所以BC2+CD2=BD2,即BC⊥CD,则C.Ci=0. ①当点E在边BC上运动时，设E克=AC(0<A≤1)，则E式=(A 1).C,所以E.Ei=E.(E式+C)=AC·(入-1)C= 4λ(A-1)∈[-1,0]； ②当点E在边CD上运动时，设E动=kCi(0<k≤1)，则E武=(k- 1).Ci,所以Ei.E动=(E武+C)·E动=(k-1)Ci·kCi= 12k(k-1)e[-3,0]. 综上，E成.E的取值范围为[-3,0]故选D. 5.[-空，]解折亦-A应亦-(1-A+成=(1-， 入)，P克=A店-A=(1-A)A店=（入-1,1-），A=AA店=(-入，A). 0.A店≥Pi.Pi(1-A,A)·(-1,1)≥（入，-入）·(A-1,1- )22-4+1≤0，解得1-≤A≤1+ 2 点P是线段AB上的一个动点， 0≤A≤1，即满足条件的实数入的取直范用是[1-]】 参考答案 6.B解析：根据题意，b·e=Ib1·Iel· m60=之b1,1b-e1≥1b-e1,两边 a 平方得1b12+t21e12-2tb·e≥1b12+ 28 1e12-2b·e,整理得2-1bt-1+1b1≥ 0对任意实数t恒成立，则△=|b12- e 4(-1+1b1)≤0，得(1b1-2)2≤0，则1b1=2.由于1a=2,如图， 1 1 a*e国2a+2a则a*e+2a-b2a+2e 1 +2 1 V8+b·e=2,5,则1a+e+2a-b的最小值为2,5.当且仅 当-2，b,2口终点在同-直线上时取等号.故选B. 7.(停子）解轿：已知点D在边8c上，且成-=2励花- 2(市-应)，得市-子店+号衣根据11：市1：1- 3::1设前=3，动1=，花1=4(>0，由市=子+ 号花得亦-音亦+号应.花+)衣号9+号× 3r2·cosLBAC+ ，博得2子=LC0c∠C<, -1mLaC1多x子放客米为（气子）】 8.B解析：le1+te212=e好+2e1·e2+2e3=2+2cos0+1=(t+ m0j2+s20≥na因为e,+e,≥宁eR),所以血0≥子 1 又0e[0,],所以n9≥70e[后g]故选B 9.D解析：10i1=2,101=1,向量0与0的夹角为0， .可令0(0,0)，A(2,0),B(cos0,sin0), 则0A=(2,0),03=(cos0,sin0). :0=t0i=(2t,0),0d=(1-t)0i=(1-t)cos0,(1-t)sin0), .Pd=0d-0=(1-t)cos0-2,(1-t)sin), .1P1=√[(1-t)cos0-2t]2+[(1-t)sin0]7= √/(1-t)2-4t(1-t)cos0+42=√(5+4cos0)2-(2+4cos0)t+1. _1+2os8时，P戒1取得最小值，即05+40os0 当t=5+4c080 1+2cos 0 1 0c4<40 计4日解得子<m<,即cm0的取 1+2c0s0.1 值粒强为（分，）故选D 第9章真题演练 1.D解析：因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b= 0,即4+x2-4x=0,故x=2,故选D. 2.C解析：当a⊥b时，a·b=0,所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0 或-3，即必要性不成立，故A错误；当a∥b时，2(x+1)=x2,解得 x=1±3，即必要性不成立，故B错误；当x=0时，a=(1,0),b= (0,2),故a·b=0,所以a⊥b,即充分性成立，故C正确；当x=-1+ 3时，不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立，即充分性不立，故 D错误故选C. 3.B解析：因为点D在边AB上，BD=2DA,所以B励=2Di,即Ci- C克=2(Ci-Ci),所以C2=3Ci-2Ci=3n-2m=-2m+3n,故选B. 4.D解析：因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+入b=(1+入，1-入)，a+ b=(1+w,1-u),由(a+Ab)⊥(a+b)可得(a+Ab)·(a+b)=0, 即(1+)(1+μ)+(1-入)(1-)=0，整理得=-1.故选D. 学霸015专题探究03平面向量中的取值范围与最值问题 题组口系数问题 题组三向量模的问题 1.（2024·浙江杭州高一月考)在△ABC中，D 6.(2024·广东广州高一期末)已知平面向量a, 为线段AC的一个三等分点，IADI=21DC1.连 b,e,且1el=1,Ial=2.已知向量b与e所成的 接BD,在线段BD上任取一点E,连接AE,若 角为60°，且Ib-tel≥Ib-eI对任意实数t恒成 AE=aAC+bAB,则a2+b2的最小值为（) A经 c 立，则1a+e+2a-b的最小值为 () A.√3+1B.23 C.√3+√/5D.25 2.已知点D为△ABC平面内一点，Ad=}店+ 7.如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC= 子元，而-d·1花 则 2BD,若1AB1:IAD1:IAC1=3:k:1,则实 的 IACI+IABI IACI 数k的取值范围是 取值范围是 题组三数量积问题 3.(2024·山西吕梁高一期末)在梯形ABCD 中，AD∥BC,AB⊥BC,AB=1,AD=3,BC=4, 题组四夹角问题 点P为边AD上一动点，则BP·CP的取值范 8.(2024·福建龙岩高一月考)已知e1,e2是单 围为 位向量，且e1,e2的夹角为6，若1e1+te21≥ A.[√2-4，W5-4] B.[-2,1] 2(teR),则0的取值范围为 ()》 C.[-3,1] D.[1,5] 4.如图所示的四边形ABCD Ao】 g] 中，△ACD是等边三角形，B 是AC边的中线延长线上一 c. .肾] 点，AB=2,AC=2√3，点E在 9.(2024·重庆九龙坡区高一期末)已知向量0A 四边形ABCD的边上运动，则E·ED的取值 与0B的夹角为0,10A1=2,10B1=1,0P= 范围为 t0A,00=(1-t)0B,1P可1在。时取最小值， A.[-3,1] B.[-1,1] 当0<，<4时，cos0的取值范围为 ( C.[-1,0] D.[-3,0] 5.设0(0,0)，A(1,0),B(0,1),点P是线段AB A(2) 上的一个动点，AP=入AB,若OP.AB≥PA· PB,则实数入的取值范围是 c.(经1) D.(34) 必修第二册·SJ学霸024 第9章 真题演练 考点平面向量 8.(2023·北京)已知向量a,b满足a+b=(2, 1.(2024·新课标全国I)已知向量a=(0,1), 3),a-b=(-2,1),则1a12-1b12=（) b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( A.-2B.-1 C.0 D.1 A.-2B.-1 C.1 D.2 9.(全国高考)已知P是边长为2的正六边 2.（2024·全国甲理)设向量a=(x+1,x),b= 形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范 (x,2),则 围是 () A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 A.(-2,6) B.(-6,2) C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 C.(-2,4) D.（-4,6) D.“x=-1+√3”是“a∥b”的充分条件 10.（2023·全国乙理)已知⊙0的半径为1，直 3.(2022·新高考全国I)在△ABC中，点D在 线PA与⊙O相切于点A,直线PB与⊙0交 边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB= 于B,C两点，D为BC的中点，若PO=√2，则 ( PA·PD的最大值为 A.3m-2n B.-2m+3n 1+√2 1+2√2 A. B. C.3m+2n D.2m+3n 2 2 4.(2023·新课标全国I)已知向量a=(1,1), C.1+√2 D.2+√2 b=(1,-1),若(a+入b)⊥(a+b),则() 11.(2023·新课标全国)已知向量a,b满足 A.入+u=1 B.入+w=-1 la-b1=√3，|a+b|=|2a-bl,则Ib1= C.w=1 D.w=-1 5.(2022·全国乙理)已知向量a,b满足|a|= 1,Ib1=√3，la-2bl=3,则a·b=( 12.（全国高考)已知向量a+b+c=0,|al=1, A.-2B.-1 C.1 D.2 1bl=lcl=2,a·b+b·c+c·a= 6.（2024·新课标全国Ⅱ)已知向量4，b满足 13.(2024·天津)如图，在边长为1的正方 Ial=1,|a+2b1=2,且(b-2a)⊥b,则1b1= 形ABCD中，点E为线段CD的三等分点， ( CE=2DE,B配=ABA+uBC,则A+u= A B② D.1 ;F为线段BE上的动点，G为AF 7.(2024·北京)设a,b是向量，则“(a+b)· 中点，则A·DG的最小值为 (a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第9章学霸025