第9章 专题探究02 用向量法研究三角形的性质-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

-前w行 量成L的投影向量为1了：高 B武 =1B成，故选C 21A4 5.B解析：设A与A店的夹角为0，则A市.A店=1A11A1cos日= 21A产1cos日，由平面向量数量积的几何意义，可知1AP1cos日表示 A在A店方向上的投影.由题图可知，当点P在A⑦中点处时， 1A1cos0有最小值，此时1A1=√2+1下=√2，A市·A店=A1· os9=2x2Xos-2;当点P在配中点处时，市cas0 有最大值，此时11=√32+1下=√10，A市.A=1A11A1os日= 0×2x3=6,所以市.店e[-2,6].故选B. √10 6石分解析：在四边形ABCD中，市=A武A0/BC ∠B=60°，.∠DAB=120°.又AB=3,BC=6,Ai.AB=6A· 3·c08120°=-7，As 6 如图，以B为原点建立平面直角坐标 41 系投觉院eo.1则c6 0(停9）(6，o),所以 C 5 )所以成-（仔）所以.( 名）子2r-221(）”7≥所以当 1 引时，成.爪敏得最小值分故答案为石： 6521 易错提醒 转化为函数问题后，要先写出函数的定义域，再讨论取值范围，否则 容易出错 专题探究02用向量法研究三角形的性质 1.C解析：如图，取线段BC的中点E,则A店+A心=2A正.动点P满足 O=0i+A(A+A花)，A>0,则O币-0i= B 2AA市，则A市=2A应，所以A∥A应又A 为两向量的公共起点，所以A,P,E三点 共线，所以直线AP一定通过△ABC的重 心.故选C. 2.A解析：因为AD为BC边上的中线，所以2A=A店+A花，所以 41A12=(A+Ad)2=1A12+1Ad12+21A1·1Ad1cosA,即12=4+ AC2+21Ad,1AC12+21AC1-8=0,所以1A花1=2.故选A. 3.B解析：设BC的中点为D,:点G是△ABC的重心，.A花= 子市-子×(+d=号（+衣，再令=，=6，则 店.花-b加m120=-3c=6,=号（(2+2.恋 2)=)(2+8-0)≥g(2c-6)=子花≥5，当且仅 当b=c=√6时取等号.故选B. 4.D解析：在△ABC中，： 店，A花）武=0，LA的平分 线AD与BC垂直，.△ABC为等腰三角形.又 B威B武 =1×1× Bi1B武 必修第二册·SJ ?,B≠写，△MBC为等腰非等边 三角形故选D. 5.B解析：因为店=A+AB,元=A+A花，所以aA+b+c元=aA+ b(A+AB)+c(A+AC=(a+b+c)A+bAB+cA元=0，所以(a+b+c）· i=-(6·应+c·衣)，所以i=(b+e·恋.-（春 a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c c A花)bc/AB,A花) 】Fa*（无)，所以i在∠Bc的平分线上，故 点I在∠BAC的平分线上，同理可得，点I在∠BCA的平分线上，故 点I为△ABC的内心.故选B. 6.C解析：因为A-A衣=(+A心)·(A成-A心)=(A成+A心)·C成= 2C克.A市，所以C克.(A+A元-2A)=C克.(P+P元)=0.设BC的 中点为D,则P+P元=2P币，则C.2P元=0，即C.P币=0，所以 C⊥Pi,所以点P在线段BC的中垂线上，故点P的轨迹过△ABC 的外心.故选C. 7.D解析：动.成=动.(+)=动.(+子武)=6. +子市.成=市.随+子衣.（花-）=市应+子衣 花子动应=号动破+号动.花x前+号× 子Md=。4+1=放选D 8.D解析：2+1B心12=112+1Ci12→112+(B+H成)2= 12+(C+2,得B.H成=C.→H成.B=0,即H成1 B威；i12+B武12=1成12+A12→112+(B+心)2=心2+ (A+)2,得丽.戒=A萌.成=B.A花=0，即B丽1A花： H12+1C2=H记12+1A12→H12+(Ci+H)2=1H元12+(Ai+ 成)2，C市.=A应.成→.C成=0，即1C克，所以点H为 △ABC的垂心.故选D. 9.C解析：因为H是△ABC的垂心，所以·（成-武）=0，即 .市=.戒同理可得，成.(-成)=0，即成·= 成.元，所以H.成=.H元=H成.H成设.H成=H.H元= 丽.武=x,因为3成+4丽+5武=0，所以3成·+4丽· +5成.=0，所以1丽1=√-2，x<0,同理可得1= .成 √-3x,所以cos∠AHB=- Hi1·1HB1√-2x×√-3x 选C. 10.A解析：0是△ABC的垂心，延长C0,B0,AO 分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,如图，则 CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,∠BOP=∠BAC ∠A0P=LABC,所以AOc= -OC·BP BP S△A01 AP 2 OC·AP OPanLBOP_am∠BAC,同理 SA4OBan乙ACB,所以tan LBAC: 3△Boc=tan LBAC OPtan∠40P tan∠ABC tanLABC:tan _ACB=S△Boc:S△Moc:S△MoB: BN SAANB SAONB O+20成+3O花=0，由图可知，VC5AANGSAONG a4m-Sao-8A40因为O=NCOi+50元，所以0= SAANC-S△ONG S△A0G BC BC Sa0c—0i+。Sso_Od,所以0N-SA0e.8a0c S△0AG+S△0AB S△0AC+S△OAB OASAAC0BS△A0C SAONB+SAONC= SA0eBG,所以ON=SAoc+9AoB SA0Bc—O,即 S△A0B+S△AOcS△A0ct+S△A0B 学霸014 SA4C5AONC+SAOAB S0860i=SA0mc+S△0 SAAOC+S△A0B SA0AB—O元，所以 SAB0c·Oi+SA4Oc·Oi+S AOB·O元=0，即SABc:SAOC:SAA0B= 1:2:3,所以tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.故 选A. 专题探究03平面向量中的 取值范围与最值问题 1.C解析：E在线段BD上，.A正=入A+(1-A)A花，A∈[0,1] :D为线段4C的-个三等分点，AD1=21DC1,市=子花， ÷应=子入花+(1-A)店=a花+b成由平面向量基本定理得，a 子6e1c号+1-a0号-2+1吕(- 名)广合当A名时w取得最个值音旅选C 139 2(（0,子）解析：依题意办：号应+号花且劢 A元.A+A.A元A记 ·破+， ·A花，所以 IACI+IABI A花1+A IACI+IABI IABI 2 +3'花+分，所以11=21花.设 A花 (应2花) 21At1=2x, A12（3A 3 8.8 |AC12 1AC12 F9+9 cos A,由于cosA 的取值范围是 A (o,)】 3.C解析：如图，建立平面直角坐标系，因为AD∥ BC,AB⊥BC,AB=1,AD=3,BC=4,所以B(1 0),C(1,4).设P(0,b)(0≤b≤3)，所以B= （-1,b),C=(-1,b-4),得B.C=1+b2-4b= (6-2)2-3.因为0≤b≤3，所以B.Ce[-3, A 1].故选C. 4.D解析：由题知，AC⊥BD,且AB=BC,故点E在四边形ABCD上 运动时，只需考虑点E在边BC,CD上的运动情况即可. 又AB=BC=2,AD=AC=CD=2/3,BD=√/12-3+4-3=4， 所以BC2+CD2=BD2,即BC⊥CD,则C.Ci=0. ①当点E在边BC上运动时，设E克=AC(0<A≤1)，则E式=(A 1).C,所以E.Ei=E.(E式+C)=AC·(入-1)C= 4λ(A-1)∈[-1,0]； ②当点E在边CD上运动时，设E动=kCi(0<k≤1)，则E武=(k- 1).Ci,所以Ei.E动=(E武+C)·E动=(k-1)Ci·kCi= 12k(k-1)e[-3,0]. 综上，E成.E的取值范围为[-3,0]故选D. 5.[-空，]解折亦-A应亦-(1-A+成=(1-， 入)，P克=A店-A=(1-A)A店=（入-1,1-），A=AA店=(-入，A). 0.A店≥Pi.Pi(1-A,A)·(-1,1)≥（入，-入）·(A-1,1- )22-4+1≤0，解得1-≤A≤1+ 2 点P是线段AB上的一个动点， 0≤A≤1，即满足条件的实数入的取直范用是[1-]】 参考答案 6.B解析：根据题意，b·e=Ib1·Iel· m60=之b1,1b-e1≥1b-e1,两边 a 平方得1b12+t21e12-2tb·e≥1b12+ 28 1e12-2b·e,整理得2-1bt-1+1b1≥ 0对任意实数t恒成立，则△=|b12- e 4(-1+1b1)≤0，得(1b1-2)2≤0，则1b1=2.由于1a=2,如图， 1 1 a*e国2a+2a则a*e+2a-b2a+2e 1 +2 1 V8+b·e=2,5,则1a+e+2a-b的最小值为2,5.当且仅 当-2，b,2口终点在同-直线上时取等号.故选B. 7.(停子）解轿：已知点D在边8c上，且成-=2励花- 2(市-应)，得市-子店+号衣根据11：市1：1- 3::1设前=3，动1=，花1=4(>0，由市=子+ 号花得亦-音亦+号应.花+)衣号9+号× 3r2·cosLBAC+ ，博得2子=LC0c∠C<, -1mLaC1多x子放客米为（气子）】 8.B解析：le1+te212=e好+2e1·e2+2e3=2+2cos0+1=(t+ m0j2+s20≥na因为e,+e,≥宁eR),所以血0≥子 1 又0e[0,],所以n9≥70e[后g]故选B 9.D解析：10i1=2,101=1,向量0与0的夹角为0， .可令0(0,0)，A(2,0),B(cos0,sin0), 则0A=(2,0),03=(cos0,sin0). :0=t0i=(2t,0),0d=(1-t)0i=(1-t)cos0,(1-t)sin0), .Pd=0d-0=(1-t)cos0-2,(1-t)sin), .1P1=√[(1-t)cos0-2t]2+[(1-t)sin0]7= √/(1-t)2-4t(1-t)cos0+42=√(5+4cos0)2-(2+4cos0)t+1. _1+2os8时，P戒1取得最小值，即05+40os0 当t=5+4c080 1+2cos 0 1 0c4<40 计4日解得子<m<,即cm0的取 1+2c0s0.1 值粒强为（分，）故选D 第9章真题演练 1.D解析：因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b= 0,即4+x2-4x=0,故x=2,故选D. 2.C解析：当a⊥b时，a·b=0,所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0 或-3，即必要性不成立，故A错误；当a∥b时，2(x+1)=x2,解得 x=1±3，即必要性不成立，故B错误；当x=0时，a=(1,0),b= (0,2),故a·b=0,所以a⊥b,即充分性成立，故C正确；当x=-1+ 3时，不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立，即充分性不立，故 D错误故选C. 3.B解析：因为点D在边AB上，BD=2DA,所以B励=2Di,即Ci- C克=2(Ci-Ci),所以C2=3Ci-2Ci=3n-2m=-2m+3n,故选B. 4.D解析：因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+入b=(1+入，1-入)，a+ b=(1+w,1-u),由(a+Ab)⊥(a+b)可得(a+Ab)·(a+b)=0, 即(1+)(1+μ)+(1-入)(1-)=0，整理得=-1.故选D. 学霸015专题探究02用向量法研究三角形的性质 题组日三角形的中线与重心 题组目三角形的外心 1.(2024·山东潍坊高一月考)0是平面上一定 6.(2024·福建泉州高一期中)在△ABC中，若 点，A,B,C是该平面上不共线的3个点，一动 动点P满足A官-A它=2C店·A正，则点P的轨 点P满足：OP=0A+入(A正+AC),A>0,则直 迹一定经过△ABC的 () 线AP一定通过△ABC的 ( A.重心B.垂心C.外心D.内心 A.外心B.内心C.重心 D.垂心 7.(2024·浙江绍兴高一期中)在△ABC中，已 知AB=2,AC=√7，若点0为△ABC的外心， 2.已知△4BC中，MB=2,A=7,BC边上的中 点M满足Bi=2MC,则A0·Ai=（) 线AD=√3，则AC= ( A. 13 B c号 D.3 A.2 B.4 C.6 D.8 题组四三角形的高线与垂心 3.(2024·广东广州高一期中)在△ABC中， 8.(2024·河南许昌高一月考)若H为△ABC ∠A=120°，AB.AC=-3,点G是△ABC的重 在平面内一点，且112+1BC12=1H店2+ 心，则IAG1的最小值是 ( 1C412=1HC12+1AB12,则，点H是△ABC的 B.6 C② 5 () 3 3 A.重心B.外心C.内心 D.垂心 题组口三角形的角平分线与内心 9.(2024·山东省实验中学高一期中)设H是 AC BA 4.在△ABC中 AB BC=0. △ABC的垂心，且3A+4HB+5HC=0,则 IAB IACI IBAI cos∠AHB的值为 BC 1 一 IBCI ,则△ABC的形状为 A.-30 10 B.⑤ 5 C.6 6 D.-⑦0 14 A.直角三角形 10.如图，已知0是△ABC的垂心，且0A+20B+ B.等边三角形 3O元=0，则tan∠BAC:tan∠ABC： C.三边均不相等的三角形 tan∠ACB等于 D.等腰非等边三角形 5.已知I为△ABC所在平面上的一点，且 AB=c,AC=b,BC=a.若ai+b店+c元=0，则 I是△ABC的 A.1:2:3 B.1:2:4 A.重心B.内心C.外心 D.垂心 C.2:3:4 D.2:3:6 第9章学霸023 专题探究03平面向量中的取值范围与最值问题 题组口系数问题 题组三向量模的问题 1.（2024·浙江杭州高一月考)在△ABC中，D 6.(2024·广东广州高一期末)已知平面向量a, 为线段AC的一个三等分点，IADI=21DC1.连 b,e,且1el=1,Ial=2.已知向量b与e所成的 接BD,在线段BD上任取一点E,连接AE,若 角为60°，且Ib-tel≥Ib-eI对任意实数t恒成 AE=aAC+bAB,则a2+b2的最小值为（) A经 c 立，则1a+e+2a-b的最小值为 () A.√3+1B.23 C.√3+√/5D.25 2.已知点D为△ABC平面内一点，Ad=}店+ 7.如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC= 子元，而-d·1花 则 2BD,若1AB1:IAD1:IAC1=3:k:1,则实 的 IACI+IABI IACI 数k的取值范围是 取值范围是 题组三数量积问题 3.(2024·山西吕梁高一期末)在梯形ABCD 中，AD∥BC,AB⊥BC,AB=1,AD=3,BC=4, 题组四夹角问题 点P为边AD上一动点，则BP·CP的取值范 8.(2024·福建龙岩高一月考)已知e1,e2是单 围为 位向量，且e1,e2的夹角为6，若1e1+te21≥ A.[√2-4，W5-4] B.[-2,1] 2(teR),则0的取值范围为 ()》 C.[-3,1] D.[1,5] 4.如图所示的四边形ABCD Ao】 g] 中，△ACD是等边三角形，B 是AC边的中线延长线上一 c. .肾] 点，AB=2,AC=2√3，点E在 9.(2024·重庆九龙坡区高一期末)已知向量0A 四边形ABCD的边上运动，则E·ED的取值 与0B的夹角为0,10A1=2,10B1=1,0P= 范围为 t0A,00=(1-t)0B,1P可1在。时取最小值， A.[-3,1] B.[-1,1] 当0<，<4时，cos0的取值范围为 ( C.[-1,0] D.[-3,0] 5.设0(0,0)，A(1,0),B(0,1),点P是线段AB A(2) 上的一个动点，AP=入AB,若OP.AB≥PA· PB,则实数入的取值范围是 c.(经1) D.(34) 必修第二册·SJ学霸024