第9章 平面向量 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

SA4C5AONC+SAOAB S0860i=SA0mc+S△0 SAAOC+S△A0B SA0AB—O元，所以 SAB0c·Oi+SA4Oc·Oi+S AOB·O元=0，即SABc:SAOC:SAA0B= 1:2:3,所以tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.故 选A. 专题探究03平面向量中的 取值范围与最值问题 1.C解析：E在线段BD上，.A正=入A+(1-A)A花，A∈[0,1] :D为线段4C的-个三等分点，AD1=21DC1,市=子花， ÷应=子入花+(1-A)店=a花+b成由平面向量基本定理得，a 子6e1c号+1-a0号-2+1吕(- 名)广合当A名时w取得最个值音旅选C 139 2(（0,子）解析：依题意办：号应+号花且劢 A元.A+A.A元A记 ·破+， ·A花，所以 IACI+IABI A花1+A IACI+IABI IABI 2 +3'花+分，所以11=21花.设 A花 (应2花) 21At1=2x, A12（3A 3 8.8 |AC12 1AC12 F9+9 cos A,由于cosA 的取值范围是 A (o,)】 3.C解析：如图，建立平面直角坐标系，因为AD∥ BC,AB⊥BC,AB=1,AD=3,BC=4,所以B(1 0),C(1,4).设P(0,b)(0≤b≤3)，所以B= （-1,b),C=(-1,b-4),得B.C=1+b2-4b= (6-2)2-3.因为0≤b≤3，所以B.Ce[-3, A 1].故选C. 4.D解析：由题知，AC⊥BD,且AB=BC,故点E在四边形ABCD上 运动时，只需考虑点E在边BC,CD上的运动情况即可. 又AB=BC=2,AD=AC=CD=2/3,BD=√/12-3+4-3=4， 所以BC2+CD2=BD2,即BC⊥CD,则C.Ci=0. ①当点E在边BC上运动时，设E克=AC(0<A≤1)，则E式=(A 1).C,所以E.Ei=E.(E式+C)=AC·(入-1)C= 4λ(A-1)∈[-1,0]； ②当点E在边CD上运动时，设E动=kCi(0<k≤1)，则E武=(k- 1).Ci,所以Ei.E动=(E武+C)·E动=(k-1)Ci·kCi= 12k(k-1)e[-3,0]. 综上，E成.E的取值范围为[-3,0]故选D. 5.[-空，]解折亦-A应亦-(1-A+成=(1-， 入)，P克=A店-A=(1-A)A店=（入-1,1-），A=AA店=(-入，A). 0.A店≥Pi.Pi(1-A,A)·(-1,1)≥（入，-入）·(A-1,1- )22-4+1≤0，解得1-≤A≤1+ 2 点P是线段AB上的一个动点， 0≤A≤1，即满足条件的实数入的取直范用是[1-]】 参考答案 6.B解析：根据题意，b·e=Ib1·Iel· m60=之b1,1b-e1≥1b-e1,两边 a 平方得1b12+t21e12-2tb·e≥1b12+ 28 1e12-2b·e,整理得2-1bt-1+1b1≥ 0对任意实数t恒成立，则△=|b12- e 4(-1+1b1)≤0，得(1b1-2)2≤0，则1b1=2.由于1a=2,如图， 1 1 a*e国2a+2a则a*e+2a-b2a+2e 1 +2 1 V8+b·e=2,5,则1a+e+2a-b的最小值为2,5.当且仅 当-2，b,2口终点在同-直线上时取等号.故选B. 7.(停子）解轿：已知点D在边8c上，且成-=2励花- 2(市-应)，得市-子店+号衣根据11：市1：1- 3::1设前=3，动1=，花1=4(>0，由市=子+ 号花得亦-音亦+号应.花+)衣号9+号× 3r2·cosLBAC+ ，博得2子=LC0c∠C<, -1mLaC1多x子放客米为（气子）】 8.B解析：le1+te212=e好+2e1·e2+2e3=2+2cos0+1=(t+ m0j2+s20≥na因为e,+e,≥宁eR),所以血0≥子 1 又0e[0,],所以n9≥70e[后g]故选B 9.D解析：10i1=2,101=1,向量0与0的夹角为0， .可令0(0,0)，A(2,0),B(cos0,sin0), 则0A=(2,0),03=(cos0,sin0). :0=t0i=(2t,0),0d=(1-t)0i=(1-t)cos0,(1-t)sin0), .Pd=0d-0=(1-t)cos0-2,(1-t)sin), .1P1=√[(1-t)cos0-2t]2+[(1-t)sin0]7= √/(1-t)2-4t(1-t)cos0+42=√(5+4cos0)2-(2+4cos0)t+1. _1+2os8时，P戒1取得最小值，即05+40os0 当t=5+4c080 1+2cos 0 1 0c4<40 计4日解得子<m<,即cm0的取 1+2c0s0.1 值粒强为（分，）故选D 第9章真题演练 1.D解析：因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b= 0,即4+x2-4x=0,故x=2,故选D. 2.C解析：当a⊥b时，a·b=0,所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0 或-3，即必要性不成立，故A错误；当a∥b时，2(x+1)=x2,解得 x=1±3，即必要性不成立，故B错误；当x=0时，a=(1,0),b= (0,2),故a·b=0,所以a⊥b,即充分性成立，故C正确；当x=-1+ 3时，不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立，即充分性不立，故 D错误故选C. 3.B解析：因为点D在边AB上，BD=2DA,所以B励=2Di,即Ci- C克=2(Ci-Ci),所以C2=3Ci-2Ci=3n-2m=-2m+3n,故选B. 4.D解析：因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+入b=(1+入，1-入)，a+ b=(1+w,1-u),由(a+Ab)⊥(a+b)可得(a+Ab)·(a+b)=0, 即(1+)(1+μ)+(1-入)(1-)=0，整理得=-1.故选D. 学霸015 5.C解析：.1a-2b12=|a|2-4a·b+41b12,又.1a|=1,|b1=√3， {a-2b1=3,∴.9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,.a·b=1.故选C. 6.B解析：因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b.又因 为1al=1,1a+2b1=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而1b1= 竖放法B 7.B解析：因为(a+b)·（a-b)=a2-b2=0,可得a2=b2,即1al= Ib1,可知(a+b)·(a-b)=0等价于Ial=Ib1, 若a=b或a=-b,可得1al=lbl,即(a+b)·(a-b)=0,可知必要性 成立； 若(a+b)·(a-b)=0,即Ia|=Ib1,无法得出a=b或a=-b,例如 a=(1,0),b=(0,1),满足1al=b1,但a≠b且a≠-b,可知充分性 不成立； 综上所述，“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的必要不充分 条件.故选B. 8.B解析：因为向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所以 Ia|2-|b12=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1,故选B. 9.A解析：AB的模为2，如图，根据正六边形的 D 特征，可以得到AP在A方向上的投影的取值 范围是(-1,3)，结合向量数量积的定义式， F 可知AP·AB等于AB的模与AP在AB方向上的 投影的乘积，所以A市.A店的取值范围是F”APBC (-2,6),故选A. 10.A解析：如图①，由PA与⊙0相切于点A,知PA⊥OA.又1P01= √2，半径为1，故PA=√P02-0A2=1,cos∠AP0=45°.因为D是 BC的中点，由垂径定理知PD⊥OD,所以点D在以OP为直径的 圆上运动记0P中点为，则D在以M为圆心，受为半径的圆上 运动，且在⊙0的内部.因为P·Pi=P.(P成+M)=Pi· pp,励之+p·励，故当P可.心最大时，成·p励取 到最大值 如图②，当M⑦与Pi同向共线，即D为过M作PA的平行线与⊙M 的交点时，成，市最大，成，动=1x竖，甲 .成1y故t ⑦ ② 11.√5解析：方法一：因为1a+b1=12a-b1,即(a+b)2=（2a-b)2,则 a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0.又因为1a b1=√3，即(a-b)2=3,则a2-2a·b+b2=b2=3,所以1b1=√3. 方法二：设c=a-b,则1cl=√3，a+b=c+2b,2a-b=2c+b,由题意可 得(c+2b)2=(2c+b)2,则c2+4c·b+4b2=4c2+4c·b+b2,整理得 c2=b2,即1b1=1cl=√5.故答案为5. 12号解析：由已知可得(a+b+e)2=a2+62+e+2(a~b+b: c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+c· 9 a=-2 13子解折：解法-因为cE=之D,即a应号威，则应 必修第二册·SJ 成+成-+}成，可得A=号=1，所以Au=号 由题意可知，B武=B=1,B成.B武=0，因为F为线段BE上的 动点，设亦=k眩=k成+k武，ke[0,1小，则市=店+成 t成(}1威成。 又因为6为4加中点，则成=耐+花-成+2亦-号（兮 1威+(21成可得.成-[（行1威成] [2(号-1)威+（分-1）成]=(}） (分-1）-号（)）°8，又因为ke0,,可知当 1时，市.应取到最小值 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标 系，如图所示，则A(-1,0),B(0,0),C(0,1), -1,),(号1，可得成=(-1,0) 成=0,1)，破=（子1）因为成 A威uB底-=(-A,）,则A=3'所以+ =1, 么=手因为点P在线段服上，设=：破-（子，）0≤：≤ 1),得（宁），且G为P的中点，则c(后，乞)），可得 亦（成=(）成 t 1时，市.成徽到最小值名放答案为子品 第9章章未检测 1.D解析：单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单位向 量不一定相等，故A错误；零向量与它的相反向量相等，故B错误； 平行向量一定是共线向量，故C错误；模为0的向量为零向量，零 向量与任意非零向量共线，故D正确故选D. 2.A解析：因为向量a,b为单位向量，所以1al=1,1b1=1,因为1a 2b1=√7，所以1a-2b12=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1a12-4a·b+ 41612=5-4ab=(万)2=7，所以a6=子故选A 3B解折：成-成+成子成+成子（就-）+（成+ 4 威子号子成子d名成 )=-子+花，故选B 4.B解析：因为a=(2,3),b=(-1,1),则1al=√22+32=√13，a· 6-2+31,所以b在a上的投影向量的坐标是（年）a 1 =23 a=（方方故选B 5.C解析：因为a与b不共线，且A店与A元共线，则A元=AA,即 (入=m,即km+1=0.故选C (Ak=-1, 学霸016第9章 考点平面向量 1.(2024·新课标全国I)已知向量a=(0,1), b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.（2024·全国甲理)设向量a=(x+1,x),b= (x,2),则 () A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+√3”是“a∥b”的充分条件 3.(2022·新高考全国I)在△ABC中，点D在 边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB= ) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 4.(2023·新课标全国I)已知向量a=(1,1), b=(1,-1),若(a+入b)⊥(a+b),则() A.入+u=1 B.入+w=-1 C.w=1 D.w=-1 5.(2022·全国乙理)已知向量a,b满足|a|= 1,Ib1=√3，la-2b1=3,则a·b=() A.-2 B.-1C.1 D.2 6.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a,b满足 1al=1,|a+2b1=2,且(b-2a)⊥b,则1b1= B.2 C. 2 D.1 7.(2024·北京)设a,b是向量，则“(a+b)· (a-b)=0”是“a=-b或a=b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第9言 真题演练 8.(2023·北京)已知向量a，b满足 a+b=(2， 3)，a-b=(-2，1)， ，则 $$| a | ^ { 2 } - | b | ^ { 2 } =$$ () A.-2 B.-1 C.0 D.1 9.(全国高考)已知P是边长为2的正六边 形 ABCDEF 内的一点，则 $$\overrightarrow { A P } \cdot \overrightarrow { A B }$$ 的取值范 围是 () A.(-2，6) B.(-6，2) C.(-2，4) D.(-4，6) 10.(2023·全国乙理)已知 ⊙O 的半径为1，直 线PA与 ⊙O 相切于点A，直线PB与 ⊙O 交 于B，C两点，D为BC的中点，若 $$P O = \sqrt 2 ，$$ ，则 $$\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D }$$ 的最大值为 $$A . \frac { 1 + \sqrt 2 } { 2 }$$ $$B . \frac { 1 + 2 \sqrt 2 } { 2 }$$ $$C . 1 + \sqrt 2$$ $$D . 2 + \sqrt 2$$ 11.(2023·新课标全国 已知向量a，b满足 $$| a - b | = \sqrt 3 ， | a + b | = | 2 a - b | ，$$ ，则 |b|= . 12.(全国高考)已知向量 a+b+c=0，|a|=1， |b|=|c|=2，a⋅b+b⋅c+c⋅a= . 13.(2024·天津)如图，在边长为1的正方 形ABCD中， 点E为线段CD的三等分点， $$C E = \frac { 1 } { 2 } D E ， \overrightarrow { B E } = \lambda \overrightarrow { B A } + \mu \overrightarrow { B C } ，$$ ，则 λ+\mu= = ； F 为线段BE上的动点，G为AF 中点，则 $$| \overrightarrow { A F } \cdot \overrightarrow { D G }$$ 的最小值为. D E A B |学霸025 第9章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 AC共线，则k,m应满足 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A.k+m=0 B.k-m=0 符合题目要求的 C.km+1=0 D.km-1=0 1.（2024·江苏南通高一期中)下列命题正确的是 6.(2024·江苏南通高一期中)在矩形ABCD ) 中，已知AB=4,AD=2,点P在CD边上，满足 A.单位向量都相等 AP·AB=6,则AP·BP= () B.任一向量与它的相反向量不相等 1 A.2 B.0 C.平行向量不一定是共线向量 3 D.模为0的向量与任意非零向量共线 0.2 2.（2024·江苏盐城高一期末)若向量a,b为单 7.(2024·江苏扬州高一月考)在△ABC中，点 位向量，且Ia-2b1=√7，则a·b=( D为AC边上的中点，点E满足E元=3B配，点 P是直线BD,AE的交点，过点P作一条直线 B.-1 交线段AC于点M,交线段BC于点N(其中 D.1 点M,N均不与端点重合)，设CM=mCA, CN=nCB,则m+n的最小值为 () 3.(2024·江苏南京高一期中)在△ABC中， A.4+3 B. 4+2√3 成-配，亦-正则酥- ( 5 7 B.-3+A元 C.5 16 0. 41 8.(2024·江苏常州高一月考)已知图中正六边 c. 3- D. 3 形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六 边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的 4.(2024·江苏镇江高一月考)若向量a=（2, 边上运动，MN为圆O的直径，则PM·P的 3),b=(-1,1),则b在a上的投影向量的坐 取值范围是 () 标是 B.(23 13'13 c() D() 5.(2024·江苏南京高一期末)向量a与b不共 A.[12,16] B.[11,15] 线，AB=a+b,A元=ma-b(k,m∈R),若AB与 C.[12,15] D.[8,12] 必修第二册·SJ学霸026