第15章 专题探究14 概率与统计的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

专题探究14概率与统计的综合应用 1.（2024·江苏无锡高一期末)为了解某市区高2.(2024·四川达州高一期末)为提高国民法律 中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了 意识，某地开通了网上学法考试平台，方便广 800名学生进行调查，得到了这800名学生一 大群众网上学习法律知识，并且可以通过考 周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数 试检测自己学习情况.为了解广大群众学习法 据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直 律知识的情况，在参与考试的男性参考者和 方图， 女性参考者中各随机抽取10名参考者的考 +频率 试成绩（满分100分），得分如下： 组距 0.15--------- 男性参考者考试成绩：70,74,85,84,82,81， 92,89,98,95. 女性参考者考试成绩：69,71,82,84,75,88， 0.05 89,87,95,97. 0.04 0.02 (1)求抽取的男性参考者考试成绩的平均数、 0.01 0 24681012141618周平均阅读时间/小时 极差和方差； (1)求a的值. (2)若规定得分在90分及以上的为成绩优 (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均 秀，从上述成绩优秀的人员中任取2人， 超过9小时，则认为该市区高中生阅读量 求这2人性别相同的概率， 达标.以样本估计总体试判断该市区高中 生阅读量是否达标？ (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的 分配情况，从周平均阅读时间在（12， 14],（14,16],(16,18]三组内的学生中， 采用分层抽样的方法抽取了10人，现从 这10人中随机抽取两人，求这两人周平 均阅读时间均在(14,161内的概率， 必修第二册·SJ学霸174 3.(2024·河南南阳高一期末)某学校开设了街4.(2024·河南开封高一期末)有一种鱼的身体 舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人 吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重 数如表厅示： 的1.00×106的鱼被人食用后，就会对人体产 社团 街舞 围棋 武术 生危害.在一批该鱼中随机抽取30条作为样 本，检测其汞含量（乘以百万分之一）如下： 人数 48 42 30 0.070.240.950.981.020.981.37 为调查社团活动开展情况，学校社团管理部 1.400.39 1.021.441.580.541.08 采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样 0.610.721.201.141.621.681.85 本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社 1.200.810.820.841.291.262.10 团抽取的同学少1人. 1.65 1.31 (1)求三个社团分别抽取了多少名同学； (1)依据样本数据，补充完成下列频率分布直 (2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女 方图，并分析这30条鱼的汞含量的分布 同学，若从围棋社团被抽取的同学中随机 特点 选出2人担任该社团活动监督的职务，求 频率 至少有1名女同学担任监督职务的概率. 组距 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.51.01.52.02.5汞含量/106 (2)分别依据样本数据和(1)中频率分布直 方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位 数，得到的结果完全一致吗？为什么？ (3)将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入 相互连通的A,B水池，若这两条鱼的游动 相互独立，均有4的概率游入另一个水池 且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池 的概率。 第15章学霸175答案为7 19.解：(1)设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则 P(A)= 号子，P(=员号在读一谊灯建，拾有-个人 猜对的概*为P代AB+B)=P(A)P(B)+P(团P(B=号×(1- 号（号）号号 (2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P(AB)=P(A)· P=(-号)（号） 20.解：(1)甲租车时间超过三小时且不超过四小时的概率为1-4 子子，乙租车时间超过三小时且不超过因小时的概率为1一 111 244 (2)甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为0元、 2元、4元三种情况. 都付0元的概率为P=子×号日都付2元的概率为B,=之× 48;都付4元的概率为P,=x1=↓ 11 4×4=16 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率P=P+P2+P=16 5 (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为专元，则专=4表示两人 的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别 为①0元，4元，②2元，2元，③4元，0元所以可得P(5=4)=× 上，上x1,L×1=5即甲、乙两人所付的租车费用之和为 4244216 4元的隔率为。 第3关（练思维宽度） 21.1解析：由题意可得，甲、乙的比分为10：10后，甲、乙又进行了 6 4场比赛，每场比赛结果相互独立，前2场甲一胜一负，最后2场 甲连胜.则甲以13：1赢得比赛的概率为2×1×2x 1 2326故答案为 1.2.11 6 22.解：(1)设事件A=“游戏一获胜”，B=“游戏二获胜”，C=“游戏三 获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为21={1,2,3,4,5}，则 a45,因为4=45到，所以4)=2，P4)号所 以游戏一获胜的概率为号 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间2={(x,y)x, y∈{1,2,3,4,5}，则n(22)=25,因为B={(4,4),(4,5),(5, 4),(5,5)1,所以n(B)=4,所以P(B)=n(B-4 n(2,)25,所以游戏二 获胜的概率为名 (2)设M=“先玩游戏二，获得书券”，N=“先玩游戏三，获得书 券”，则M=ABCUABCUABC,且ABC,ABC,ABC互斥，A,B,C相 互独立，所以P(M)=P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+ P(ABC)=P(A)P(B)(1-P(C))+(1-P(A))P(B)P(C)+P(A)· s品ro. 必修第二册·SJ 又N=ACBUACBUACB,.且ACB,ACB,ACB互斥，所以P(N)= P(ACBUACBUACB)=P(ACB)+P(ACB)+P(ACB)=P(A). P(C)(1-P(B))+(1-P(A))P(C)P(B)+P(A)P(C)P(B)= 号pcxr(c0x若号p(G×若品o 42 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则 62 8.12 4 P(M>P(M),所以2P(C)>15+12P(G),即P(C)>25 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 2 3 1 + (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) + (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) 当m=3,4,8,9时，P(C)= 1025,舍去，当m=5,67时，P(C)= 了方满足感意，因此m的所有可能取值为5,6.7 14 专题探究14概率与统计的综合应用 1.解：(1)由题意可知，每组的频率依次为0.04,0.06,0.10,0.10,0.30， 2a,0.10,0.08,0.02,则0.04+0.06+0.10+0.10+0.30+2a+0.10+0.08+ 0.02=1,解得a=0.10,所以a的值为0.10. (2)周平均阅读时间的平均数的估计值为x=0.04×1+0.06×3+ 0.10x5+0.10×7+0.30×9+0.20×11+0.10×13+0.08×15+0.02×17= 9.16(小时)， 且0.04+0.06+0.10+0.10=0.3<0.5,0.04+0.06+0.10+0.10+0.30= 0.6>0.5,可知周平均阅读时间的中位数的估计值m∈(8,10]，则 0.3+0.15×(m-8)=0.5,解得m=3, 28 因为x=9.16>9,m= >9，所以该市区高中生阅读量达标 28 0.10 (3)在(12,14]抽取学生人数为0.10+008+0.02×10=5，设为1,2， 3,4,5; 0.08 在(14,16]中抽取学生人数为010+0.08+0.2×10=4，设为A,B, C,D; 0.02 在(16,18]中抽取学生人数为0.10+0.08+0.02×10=1，设为6. 设样本空间为2，这两人周平均阅读时间均在(14,16]内为事 件M,列表可得： 2 3 4 D 学霸104 可知n(D)=45,n(M)=6,所以P(M)=n(M-6-2 n(2)45-15 2.解：(1)平均数为70+74+85+84+82+81+92+89+98+95 =85:极差为 10 98-70=28:方差2-0×灯(70-85)24(74-5)24(85-85)2+(84 85)2+(82-85)2+(81-85)2+(92-85)2+(89-85)2+(98-85)2+ (95-85)2]=70.6. (2)男性参考者考试成绩优秀的有3人，女性参考者考试成绩优秀 的有2人，共5人，现将3名男性成绩优秀者编号为A,B,C,2名女 性成绩优秀者编号为D,E. 从中任取2人的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B, C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个，其中2人性 别相同的基本事件有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),共4个，记事 件M=“2人性别相同”，则P(M)= 42 105 3.解：(1)设抽样比为x,则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术 三个社团抽取的人数分别为48x,42x,30x. 由题意得48x-42x=1,解得x=6 故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48×石=8,42× 7,0x65 1 (2)由(1)知，从围棋社团抽取了7名同学，其中2名女同学记 为A,B,5名男同学记为C,D,E,F,G. 从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有(A,B),(A,C), (A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),（B,E),（B,F), (B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G), (E,F),(E,G),(F,G),共21种不同的结果.至少有1名女同学担 任监督职务，有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G), (B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),共11种不同的结果， 所以至少有1名女同学担任监督职务的概率P一21 11 4.解：(1)汞含量在0-0.5的样本数为3，故频率为 30=0.1,在频率 分布直方图中对应的高为0=0.2，汞含量在1.0~1.5的样本数为 12,故频率为2 0.4 的30=0.4，在频率分布直方图中对应的高为0.50.8， 补充频率分布直方图如图所示： 频率 ↑组距 0.8--- 0.6 0.4 -。 0.2 0 0.51.01.52.02.5汞含量/106 汞含量分布偏向于大于1.00×106的方向，即多数鱼的汞含量分布 在大于1.00×10-6的区域. (2)依据样本数据：由60%×30=18，样本数据的第60百分位数为 第18,19项数据的平均数，即2+1.26-1.23， 2 所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为1.23×10-6： 依据频率分布直方图：由1.0+0,5×06-04 08-0.41.25, 所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为1.25×10-6 两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，因为在频率分布直 方图中已经损失了一些样本信息，我们无法知道每个组内的数据 是如何分布的，所以通常假设数据在组内均匀分布！ (3)记“两条鱼最终均在A水池”为事件A,则P(A)=子×(1 子）=名记“两条鱼最终均在B水池“为事件B,则P(B)= 1 -X 4 参考答案 (1-）G因为事件4与事件B互斥，所以这两条盒最终在 同一水池的概率P(AUB)=P(A)+P(B)= 3,33 16168 第15章真题演练 1.B解析：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则 P(AUB)=P(A)+P(B)+P(AB)=1. P(A)=0.45,P(AB)=0.15,.P(B)=0.4,故选B. 2.C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游 泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AUB,“该 中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB, 则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(AUB)=0.96, .P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.6+0.82-0.96=0.46, .该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例 为46%.故选C. 3.D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有6+5+ 4+3+2+1=21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2， 4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故所求概 率为27号放法D 4.C解析：从6张卡片中无放回随机抽取2张，共有(1,2)，（1,3)， (1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3 5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种情况，其中数字之积为 4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种情 况，放概率为6=2 155故选C 5.A解析：如图，从0，A,B,C,D,5个点中任取 3点有{0，A,B},{0,A,C},{0,4,D},0 B,C},{O,B,D},{0,C,D,{A,B,C},{A, B,D,{A,C,D},{B,C,D},共10种不同取 0 法，3点共线只有{A,0,C}与{B,0,D2种情 况，由古典概型的概率计算公式知，取到的 3点关锁的微串为品兮放透人 6.C解析：四人由随机抽签的方式确定出场次序，基本事件共有 24个：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙， 丁，乙)，（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙， 甲，丁，丙)，（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙）， (乙，丁，丙，甲)，（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丙，甲，乙， 丁)，（丙，甲，丁，乙），（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，乙 丙，甲)，（丁，乙，甲，丙），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙)，（丁， 甲，乙，丙)，（丁，甲，丙，乙），其中事件“丙不是第一个出场，且甲 或乙最后出场”包含的基本事件有8个：（甲，丙，丁，乙），（甲，丁， 丙，乙)，（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲），（丁，乙，丙，甲)，（丁 丙，乙，甲)，（丁，丙，甲，乙），（丁，甲，丙，乙），所以丙不是第一个 出场，且甲或乙最后出场的概率为了放选℃ 7.A解析：用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个 主题的所有结果如下表： 乙 1 甲 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2)(3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1) (6,2)(6,3) (6,4)(6,5) (6,6) 共有36个不同结果，它们发生的可能性相同，其中甲、乙抽到相同 主题的结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共 学霸105