第9章 专题探究01 平面向量的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

专题探究01平面向量的综合应用 题组一平面向量基本定理的应用 B.直角（非等腰）三角形 1.（2024·四川成都高一月考)如图，在△ABC C.等边三角形 中，点E为AB边上的点且3AE=2EB,点F D.等腰直角三角形 在AC边上，且CF=3FA,BF交CE于点M,且 4.(2024·安徽马鞍山高一期中)已知△ABC的 AM=入AE+μAF,则（入，）为 ( 外接圆圆心为0，且0A·0C+0A·0B=0A2+ 0.0元，10元1=1AB1,则向量AB在向量BC上 的投影向量为 () B) D.3a 4 5.（2023·河北石家庄高三月考)剪纸是中国古 2.(多选)(2024·江苏南京高一月考)如图所 老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸 示，在△01B中，0d-40i,0i-,40与 的某条对称轴对折.如图，将一张纸片先左右 BC交于点M.过M点的直线l与OA,OB分 折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪， 别交于点E,F,设0E=入OA,OF=4OB,则 展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边 长为2，点P在四段圆弧上运动，则AP·AB的 A.0M=)0i+30i 取值范围为 C.+u可能的取值为4+3 A.[-1,3] B.[-2,6] 应.0正的最小值为 C.[-3,9] D.[-3,6] D. 0A.0B 9 6.在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC=6, 题组二平面向量的数量积问题 且而=A配，而，店=子，则实数A的值为 3.已知A,A元是非零向量，且满足(A店-2AC)1 ,若M是线段BC上的动点，N是线 AB,(AC-2AB)⊥AC,则△ABC的形状为 段心上的动点，月满起秘-C奥圆·示 A.等腰（非等边、非直角）三角形 的最小值为 必修第二册·SJ学霸022 专题探究02用向量法研究三角形的性质 题组日三角形的中线与重心 题组目三角形的外心 1.(2024·山东潍坊高一月考)0是平面上一定 6.(2024·福建泉州高一期中)在△ABC中，若 点，A,B,C是该平面上不共线的3个点，一动 动点P满足A官-A它=2C店·A正，则点P的轨 点P满足：OP=0A+入(A正+AC),A>0,则直 迹一定经过△ABC的 () 线AP一定通过△ABC的 ( A.重心B.垂心C.外心D.内心 A.外心B.内心C.重心 D.垂心 7.(2024·浙江绍兴高一期中)在△ABC中，已 知AB=2,AC=√7，若点0为△ABC的外心， 2.已知△4BC中，MB=2,A=7,BC边上的中 点M满足Bi=2MC,则A0·Ai=（) 线AD=√3，则AC= ( A. 13 B c号 D.3 A.2 B.4 C.6 D.8 题组四三角形的高线与垂心 3.(2024·广东广州高一期中)在△ABC中， 8.(2024·河南许昌高一月考)若H为△ABC ∠A=120°，AB.AC=-3,点G是△ABC的重 在平面内一点，且112+1BC12=1H店2+ 心，则IAG1的最小值是 ( 1C412=1HC12+1AB12,则，点H是△ABC的 B.6 C② 5 () 3 3 A.重心B.外心C.内心 D.垂心 题组口三角形的角平分线与内心 9.(2024·山东省实验中学高一期中)设H是 AC BA 4.在△ABC中 AB BC=0. △ABC的垂心，且3A+4HB+5HC=0,则 IAB IACI IBAI cos∠AHB的值为 BC 1 一 IBCI ,则△ABC的形状为 A.-30 10 B.⑤ 5 C.6 6 D.-⑦0 14 A.直角三角形 10.如图，已知0是△ABC的垂心，且0A+20B+ B.等边三角形 3O元=0，则tan∠BAC:tan∠ABC： C.三边均不相等的三角形 tan∠ACB等于 D.等腰非等边三角形 5.已知I为△ABC所在平面上的一点，且 AB=c,AC=b,BC=a.若ai+b店+c元=0，则 I是△ABC的 A.1:2:3 B.1:2:4 A.重心B.内心C.外心 D.垂心 C.2:3:4 D.2:3:6 第9章学霸023(2)当0=60°，I1I=10km/h时，设到达北岸B点所用时间为 th,作出向量加法示意图如图②所示， AB2=|tw2=2(1+y2)2=2(102+42+2×10×4×c0860°)=1562， 则AB=2√39：，在Rt△A4'C中，tly11cos30°=1，从而t= h, 5√3 此AB=后×2√39=213 2,故游铅的实际航程为2km 20.证明：因为M是BC的中点，所以成=(+4心.又因为E成 亦-花，所以成亦=)（应+花·（亦-恋）=（店.+ 花.亦-，成-花.)=之(0+戒亦-.店-0) 之（花.市-店.应）=分[花1·s(90+∠C)- 1A·IA应1cos(90°+∠BAC)]=0,所以AM⊥E京，即AM1EF 第3关（练思维宽度） 1 BD·h 21.12解析：设△ABC在BC边上的高为h,AM0.? S△ACD 1cD·h 2 AD是∠BAC的平分线，D在线段BC上，如图①，过D作 BD DM LAB于点M,作DN⊥AC于点N,则有DM=DN,六SAD S△ABD AB DM 光又04，ac6心”8子+ 励恋+成-迹号（成-）=+戒 5 如图②，过点O作垂线分别交AB,AC于E,F,由外心性质得E,F 分别为，AC的中点…材.市=动.(+号花) 动.+号市.花成动（亦+动成 }症动破号.花+戒.配的2， 55 牧答案为12. ①D ② 22.证明：(1)方法一：如图①，连接对角线MP,NQ交于点O,连接 0G,则cM=0M-0d,c=0-0t,c=0-0t,c=0d-0d, GM2+GP2=1Gi12+1G12=(0M-0d)2+(O-0)2=10i12+ 102+210d2,Gw2+GQ2=1c12+1c12=(0成-0)2+ (0d-0i)2=1012+1012+210t2, 因为在矩形MNPQ中，1OM1=1O1=1O1=1Od1,所以GMP+ GP2=GN2+GO2 ① (② 方法二：如图②，以N点为原点建立平面直角坐标系 记N(0,0),P(a,0),Q(a,b),M(0,b),设G(x,y),则G=(-x, 6-y),C=(-x,-y）,C=(a-x,-y）,ci=(a-x,b-y), 参考答案 则GW2+GQ2=1G12+1c12=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2=2x2+2y2- 2ax-2by+a2+b2, GM2+GP2=1GM12+1G12=x2+(y-b)2+(x-a)2+y2=2x2+2y2- 2ax-2by+a2+b2」 故GM2+Gp2=GW2+CQ2. (2)设C(x,y),由(1)得0p2+0C2=042+0B2,得1+x2+y2=4+4, 则x2+y2=7,即C的轨迹为以0为圆心，√7为半径的圆. 专题探究01平面向量的综合应用 1.A解析：由题意知，点E为AB边上的点且3AE=2EB,点F在AC 边上，且CF=3FA, 因为B,M,F三点共线，所以存在实数m使得A=mA店+(1- m)A市=5 之m应+(1-m) 又因为C,M,E三点共线，所以存在实数n使得AM=nA应+(1- n)A元=nA正+4(1-n)A应， 5 可得2m=n, 解得a=弓a=名即成=名应子衣 (1-m=4(1-n), 因为成-A正红，所以A=名=子放选A 2.ABD解析：对于A,由AD与BC交于点M,得A,M,D共线，而 A市≠0，令4M=tA,则0成-0i=(0i-Oi),即有0M=(1-t)0i+ 0成，而0成=40成，0市=)成，于是0成=4(1-)0成+)10店，由 B,M,C共线，所以存在实数x使得0成=x0心+(1-x)0店，得4(1- )+=1,解得4=号因此0：)可成+成A正确， 7 对于B,由成：成+号成，成=A成，亦=成，得诚。 成+成，面EM,P共线，所以存在实数y使得成=y 7 1列成，于是7名1，用片27,8正确： 对于C很题宽d0则A=(仔2)A0)=宁(a, 片公）≥“，当且仅当货公即时聚等号，面 “名，，因民A不能取c误， 7 对于D O.O求u0i.0 0i.0i0i.0i 加≥号当且仅当=认时取等号，因店： 的最小值为 0i.0i 号.D正晚放选A即 3.C解析：(A店-2AC)⊥A店，.(A-2A亡)·A=0,即A市.A 2Ad.AB=0.(A元-2AB)1A元，.(A元-2A)·A元=0，即A元. A花-2A店.A花=0.A店.店=A花.A花=2A店.A花，即1A1=A花1. :sA=店.花、1 衣2A=60,△ABC为等边三角形故 选C. 4.C解析：由0.0t+0i.0成=0+0成.0元→0i.0元-0+ 0i.0i-0i.0元=0→0A.(0元-0i)-0i.(0元-0A)=0→ (Oi-O)·(O成-0)=0，即B.A花=0，所以B1A花，作图如图： 由上可知△ABC的外接圆圆心O是BC的 中点. 又因为10元1=AB1,所以1B武1=21A1,即 ∠AC8=石，则∠ABC=号，所以向量在向 学霸013 -前w行 量成L的投影向量为1了：高 B武 =1B成，故选C 21A4 5.B解析：设A与A店的夹角为0，则A市.A店=1A11A1cos日= 21A产1cos日，由平面向量数量积的几何意义，可知1AP1cos日表示 A在A店方向上的投影.由题图可知，当点P在A⑦中点处时， 1A1cos0有最小值，此时1A1=√2+1下=√2，A市·A店=A1· os9=2x2Xos-2;当点P在配中点处时，市cas0 有最大值，此时11=√32+1下=√10，A市.A=1A11A1os日= 0×2x3=6,所以市.店e[-2,6].故选B. √10 6石分解析：在四边形ABCD中，市=A武A0/BC ∠B=60°，.∠DAB=120°.又AB=3,BC=6,Ai.AB=6A· 3·c08120°=-7，As 6 如图，以B为原点建立平面直角坐标 41 系投觉院eo.1则c6 0(停9）(6，o),所以 C 5 )所以成-（仔）所以.( 名）子2r-221(）”7≥所以当 1 引时，成.爪敏得最小值分故答案为石： 6521 易错提醒 转化为函数问题后，要先写出函数的定义域，再讨论取值范围，否则 容易出错 专题探究02用向量法研究三角形的性质 1.C解析：如图，取线段BC的中点E,则A店+A心=2A正.动点P满足 O=0i+A(A+A花)，A>0,则O币-0i= B 2AA市，则A市=2A应，所以A∥A应又A 为两向量的公共起点，所以A,P,E三点 共线，所以直线AP一定通过△ABC的重 心.故选C. 2.A解析：因为AD为BC边上的中线，所以2A=A店+A花，所以 41A12=(A+Ad)2=1A12+1Ad12+21A1·1Ad1cosA,即12=4+ AC2+21Ad,1AC12+21AC1-8=0,所以1A花1=2.故选A. 3.B解析：设BC的中点为D,:点G是△ABC的重心，.A花= 子市-子×(+d=号（+衣，再令=，=6，则 店.花-b加m120=-3c=6,=号（(2+2.恋 2)=)(2+8-0)≥g(2c-6)=子花≥5，当且仅 当b=c=√6时取等号.故选B. 4.D解析：在△ABC中，： 店，A花）武=0，LA的平分 线AD与BC垂直，.△ABC为等腰三角形.又 B威B武 =1×1× Bi1B武 必修第二册·SJ ?,B≠写，△MBC为等腰非等边 三角形故选D. 5.B解析：因为店=A+AB,元=A+A花，所以aA+b+c元=aA+ b(A+AB)+c(A+AC=(a+b+c)A+bAB+cA元=0，所以(a+b+c）· i=-(6·应+c·衣)，所以i=(b+e·恋.-（春 a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c c A花)bc/AB,A花) 】Fa*（无)，所以i在∠Bc的平分线上，故 点I在∠BAC的平分线上，同理可得，点I在∠BCA的平分线上，故 点I为△ABC的内心.故选B. 6.C解析：因为A-A衣=(+A心)·(A成-A心)=(A成+A心)·C成= 2C克.A市，所以C克.(A+A元-2A)=C克.(P+P元)=0.设BC的 中点为D,则P+P元=2P币，则C.2P元=0，即C.P币=0，所以 C⊥Pi,所以点P在线段BC的中垂线上，故点P的轨迹过△ABC 的外心.故选C. 7.D解析：动.成=动.(+)=动.(+子武)=6. +子市.成=市.随+子衣.（花-）=市应+子衣 花子动应=号动破+号动.花x前+号× 子Md=。4+1=放选D 8.D解析：2+1B心12=112+1Ci12→112+(B+H成)2= 12+(C+2,得B.H成=C.→H成.B=0,即H成1 B威；i12+B武12=1成12+A12→112+(B+心)2=心2+ (A+)2,得丽.戒=A萌.成=B.A花=0，即B丽1A花： H12+1C2=H记12+1A12→H12+(Ci+H)2=1H元12+(Ai+ 成)2，C市.=A应.成→.C成=0，即1C克，所以点H为 △ABC的垂心.故选D. 9.C解析：因为H是△ABC的垂心，所以·（成-武）=0，即 .市=.戒同理可得，成.(-成)=0，即成·= 成.元，所以H.成=.H元=H成.H成设.H成=H.H元= 丽.武=x,因为3成+4丽+5武=0，所以3成·+4丽· +5成.=0，所以1丽1=√-2，x<0,同理可得1= .成 √-3x,所以cos∠AHB=- Hi1·1HB1√-2x×√-3x 选C. 10.A解析：0是△ABC的垂心，延长C0,B0,AO 分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,如图，则 CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,∠BOP=∠BAC ∠A0P=LABC,所以AOc= -OC·BP BP S△A01 AP 2 OC·AP OPanLBOP_am∠BAC,同理 SA4OBan乙ACB,所以tan LBAC: 3△Boc=tan LBAC OPtan∠40P tan∠ABC tanLABC:tan _ACB=S△Boc:S△Moc:S△MoB: BN SAANB SAONB O+20成+3O花=0，由图可知，VC5AANGSAONG a4m-Sao-8A40因为O=NCOi+50元，所以0= SAANC-S△ONG S△A0G BC BC Sa0c—0i+。Sso_Od,所以0N-SA0e.8a0c S△0AG+S△0AB S△0AC+S△OAB OASAAC0BS△A0C SAONB+SAONC= SA0eBG,所以ON=SAoc+9AoB SA0Bc—O,即 S△A0B+S△AOcS△A0ct+S△A0B 学霸014