第9章 平面向量 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第9章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 AC共线，则k,m应满足 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A.k+m=0 B.k-m=0 符合题目要求的. C.km+1=0 D.km-1=0 1.（2024·江苏南通高一期中)下列命题正确的是 6.(2024·江苏南通高一期中)在矩形ABCD 中，已知AB=4,AD=2,点P在CD边上，满足 A.单位向量都相等 AP·AB=6,则AP.BP= () B.任一向量与它的相反向量不相等 1 A.2 B.0 C.平行向量不一定是共线向量 D.模为0的向量与任意非零向量共线 c 0.2 2.（2024·江苏盐城高一期末)若向量a,b为单 7.(2024·江苏扬州高一月考)在△ABC中，点 位向量，且la-2b1=√7，则a·b=( D为AC边上的中点，点E满足E元=3B配，点 P是直线BD,AE的交点，过点P作一条直线 B.-1 交线段AC于点M,交线段BC于点N(其中 c.3 D.1 点M,N均不与端点重合)，设CM=mCA, C=nCB,则m+n的最小值为 () 3.(2024·江苏南京高一期中)在△ABC中， A.4+3 B. 4+23 成-武，亦-正则酥- ( 5 C.5 16 0. 41 B.3丽+A元 4 8.(2024·江苏常州高一月考)已知图中正六边 c. 3 D. 3 形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六 边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的 4.(2024·江苏镇江高一月考)若向量a=(2, 边上运动，MN为圆O的直径，则PM·P的 3),b=(-1,1),则b在a上的投影向量的坐 取值范围是 () 标是 ( B.(23 13'13) c-) D() 5.(2024·江苏南京高一期末)向量a与b不共 A.[12,16] B.[11,15] 线，AB=a+kb,AC=ma-b(k,m∈R),若A店与 C.[12,15] D.[8,12] 必修第二册·SJ学霸026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 单位向量，则称平面坐标系xOy为0斜坐标 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 系，若0i=xe,+ye2,则把有序数对(x,y)叫 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 作向量0M的斜坐标，记为OM=(x,y),在0= 有选错的得0分 9.(2024·江苏连云港高一月考)已知向量a= 写的斜坐标系中，若a=(-1,1),=(1,), (1,-1),b=(2,x),则 则下列结论正确的是 A.若a∥b,则x=-2 B.若x=1,则1b-al=√5 C.若x=-1,则a与b的夹角为60° D.若a+2b与a垂直，则x=3 A.a-b=(-2,0) 10.（2024·江苏无锡高一期中)八卦是中国文 B.lal=2/2 化的基本哲学概念，图①是八卦模型图，其 C.a⊥b 平面图形为图②所示的正八边形 ABCDEFGH,其中IOAI=1,给出下列结论正 D.a-b与b的夹角为5 6 确的是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.（2024·江苏徐州高一期末)已知向量a= (3,2),b=(-2,-1),则1a+2b1= 13.（2024·江苏盐城高一期中)已知在△ABC ①D 中，M为AC上的一点，且A=M元，若B7= A0与0i的夹角为好 入BA+BC(A,h∈R),则u-入= B.0D+0示=0尼 14.（2024·江苏宿迁高一月考)已知点A,B,C c.1oi-0元1=21Di 均位于同一单位圆O上，且BA·BC= 1AB12,若P.P元=3，则1PA+P+P心1的取 D.0i.花= 值范围为 2 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出 11.(2024·江苏南通海门中学高一期中)如图， 文字说明、证明过程或演算步骤， 设0x,0y是平面内相交成0(0≠)角的两 15.(13分)(2024·江苏南通高一月考)已知 1 条数轴，e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的 la=1ab=(a+6)a-o）=7 第9章学霸027 (1)求1b1的值； 17.(15分)(2024·江苏宿迁高一期末)如图， (2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值： D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的 点，且M=2AB,BD=写BC,CE=CA,AB= 3,AC=2,∠BAC=60.设AB=m,AC=n. (1)用向量m,n表示EF; (2)求AD.E 16.(15分)(2024·江苏泰州高一月考)平面内 给定三个向量a=(3,2),b=（-1,2),c= (4,1) (1)求满足a=mb-nc的实数m,n; (2)若(a+hc)∥(2b-a),求实数k的值. 必修第二册·SJ学霸028 18.（17分)(2024·江苏常州高一月考)如图，19.(17分)(2024·江苏扬州高一月考)如 在直角梯形ABCD中，已知AB=2DC, 图，A,B是单位圆（圆心为O)上两动点，C AD⊥AB,IAD1=IC⑦1=1，动点E,F分别在 是劣弧AB(含端点)上的动点.记OC=入OA+ 线段DC和BC上，且B=ABC,D正=(1 4OB(入，均为实数). )DC. (D)当A号时，求C·酥的值： (1)若0到弦AB的距离是 2 (i)当点C恰好运动到劣弧AB的中点 (2)求向量A正，E的夹角； 时，求AC.CB的值； (3)求花+的取值花围 (ⅱ)求入+w的取值范围； (2)若130-0成1≤，记向量20+0丽和 向量0A+0B的夹角为0，求cos20的最 小值. 第9章学霸0295.C解析：.1a-2b12=|a|2-4a·b+41b12,又.1a|=1,|b1=√3， {a-2b1=3,∴.9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,.a·b=1.故选C. 6.B解析：因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b.又因 为1al=1,1a+2b1=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而1b1= 竖放法B 7.B解析：因为(a+b)·（a-b)=a2-b2=0,可得a2=b2,即1al= Ib1,可知(a+b)·(a-b)=0等价于Ial=Ib1, 若a=b或a=-b,可得1al=lbl,即(a+b)·(a-b)=0,可知必要性 成立； 若(a+b)·(a-b)=0,即Ia|=Ib1,无法得出a=b或a=-b,例如 a=(1,0),b=(0,1),满足1al=b1,但a≠b且a≠-b,可知充分性 不成立； 综上所述，“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的必要不充分 条件.故选B. 8.B解析：因为向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所以 Ia|2-|b12=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1,故选B. 9.A解析：AB的模为2，如图，根据正六边形的 D 特征，可以得到AP在A方向上的投影的取值 范围是(-1,3)，结合向量数量积的定义式， F 可知AP·AB等于AB的模与AP在AB方向上的 投影的乘积，所以A市.A店的取值范围是F”APBC (-2,6),故选A. 10.A解析：如图①，由PA与⊙0相切于点A,知PA⊥OA.又1P01= √2，半径为1，故PA=√P02-0A2=1,cos∠AP0=45°.因为D是 BC的中点，由垂径定理知PD⊥OD,所以点D在以OP为直径的 圆上运动记0P中点为，则D在以M为圆心，受为半径的圆上 运动，且在⊙0的内部.因为P·Pi=P.(P成+M)=Pi· pp,励之+p·励，故当P可.心最大时，成·p励取 到最大值 如图②，当M⑦与Pi同向共线，即D为过M作PA的平行线与⊙M 的交点时，成，市最大，成，动=1x竖，甲 .成1y故t ⑦ ② 11.√5解析：方法一：因为1a+b1=12a-b1,即(a+b)2=（2a-b)2,则 a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0.又因为1a b1=√3，即(a-b)2=3,则a2-2a·b+b2=b2=3,所以1b1=√3. 方法二：设c=a-b,则1cl=√3，a+b=c+2b,2a-b=2c+b,由题意可 得(c+2b)2=(2c+b)2,则c2+4c·b+4b2=4c2+4c·b+b2,整理得 c2=b2,即1b1=1cl=√5.故答案为5. 12号解析：由已知可得(a+b+e)2=a2+62+e+2(a~b+b: c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+c· 9 a=-2 13子解折：解法-因为cE=之D,即a应号威，则应 必修第二册·SJ 成+成-+}成，可得A=号=1，所以Au=号 由题意可知，B武=B=1,B成.B武=0，因为F为线段BE上的 动点，设亦=k眩=k成+k武，ke[0,1小，则市=店+成 t成(}1威成。 又因为6为4加中点，则成=耐+花-成+2亦-号（兮 1威+(21成可得.成-[（行1威成] [2(号-1)威+（分-1）成]=(}） (分-1）-号（)）°8，又因为ke0,,可知当 1时，市.应取到最小值 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标 系，如图所示，则A(-1,0),B(0,0),C(0,1), -1,),(号1，可得成=(-1,0) 成=0,1)，破=（子1）因为成 A威uB底-=(-A,）,则A=3'所以+ =1, 么=手因为点P在线段服上，设=：破-（子，）0≤：≤ 1),得（宁），且G为P的中点，则c(后，乞)），可得 亦（成=(）成 t 1时，市.成徽到最小值名放答案为子品 第9章章未检测 1.D解析：单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单位向 量不一定相等，故A错误；零向量与它的相反向量相等，故B错误； 平行向量一定是共线向量，故C错误；模为0的向量为零向量，零 向量与任意非零向量共线，故D正确故选D. 2.A解析：因为向量a,b为单位向量，所以1al=1,1b1=1,因为1a 2b1=√7，所以1a-2b12=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1a12-4a·b+ 41612=5-4ab=(万)2=7，所以a6=子故选A 3B解折：成-成+成子成+成子（就-）+（成+ 4 威子号子成子d名成 )=-子+花，故选B 4.B解析：因为a=(2,3),b=(-1,1),则1al=√22+32=√13，a· 6-2+31,所以b在a上的投影向量的坐标是（年）a 1 =23 a=（方方故选B 5.C解析：因为a与b不共线，且A店与A元共线，则A元=AA,即 (入=m,即km+1=0.故选C (Ak=-1, 学霸016 6.C解析：如图，建立平面直角坐标系，A(0,0),B(4,0),C(4,2), D(0,2),设P(x,2)(0≤x≤4)，则A=(x,2),A店=(4,0)，所以 市.=4=6，解得x=所以(2，应-(52， 所.耐：点4=子放选C 4 B NE (第6题) (第7题) 7.B解析：如图，作EF∥AC交BD于点F,连接CP,则△EFPC∽ △40P,放铝器由于点D为AC边上的中点，放40=G0,配。 3底，故能行又△e△B0,故2品能故器需 侧a-a+.+g应.c+号(a成-c号+号× 子}成由于威md,a成n成，放d市-d成 成因为M,P,N三点共线，故+3=L,所以m+n=(m+ 5n 5m 5n n.3m_4+25,当且仅 (品)层爱“ 当会-器结合动1，即a。时等号成立。 、13 5,n 5 即加n的最小值为针5，故选B 8.B解析：由正六边形ABCDEF的边长为4，圆0的圆心为正六边 形的中心，半径为1，所以正六边形ABCDEF的内切圆的半径为r= 0Asin60°=4sin60°=25，外接圆的半径为R=4,因为PM.P成= (Pi+0i·(Pi+o)=(Pi+0M)·(Pi-0M)=P-0= Pi-1,又r≤P⑦1≤R,即1Pi1e[23,4],可得Pd2-1e[11, 15],所以P立，P的取值范围是[11,15].故选B. 9.ABD解析：对于A,由a∥b可得1·x=-1×2,解得x=-2,故A正 确；对于B,若x=1,则b=(2,1),b-a=(2,1)-(1,-1)=（1,2),则 1b-al=√2+2=5，故B正确；对于C,当x=-1时，b=(2,-1), 设a路疾角方从以a65兮放 C错误；对于D,a+2b=(5,-1+2x),若a+2b与a垂直，则(a+ 2b)·a=5×1+(-1)×(-1+2x)=0,解得x=3,故D正确.故 选ABD. 10.ACD解析：因为八边形ABCDEFGH为正八边形，所以LAOH= 2:,所以Oi与O的夹角为放A正确：由于因边形0eF 不是平行四边形，所以0励+0亦≠0成，放B错误；∠A0C=2x牙 分所以oi-o=d=1i=,i=210i=2,所以 0成-0d=1,故c正确：因为应=成-减所以0店 成.（成-a=0成.0成-a2=1x1xm子1-号-1，敢 D正确.故选ACD. 11.ACD解析：A.a=-e1+e2,b=e1+e2,a-b=-e1+e2-(e1+e2)= -2e,所以a-b=(-2,0,放A正确：B.6=6,16,am号 分，则1a1=e*e严=V+-246-1,放B错误： 参考答案 C.a·b=(-e1+e2)·(e1+e2)=-e12+e22=0,所以a⊥b,故C正 确；D.设a-b,b的夹角为0，(a-b)·b=-2e1·(e1+e2)=-2e- 2e1·e2=-3,1a-b1=1-2e11=2,1b1=√(e1te2)7= 离i,周ag受又： [0,],所以0=，故D正确放选ACD 12.1解析：向量a=(3,2),b=(-2,-1),则a+2b=(3,2)+2(-2, -1)=(-1,0),所以1a+2b1=√（-1)2+02=1.故答案为1. 13.子解折：因为号成所以威-威+成-威+}花-威+ 子（成-动=威}成又威=A威u武A山eR,所以 A则以}子号放著案为号 14.[5,7]解析：由B·B武=A12,可得B.(A元-A)=B.A花+ A=A2,所以B·A花=0，所以B1A花，即线段BC为单位圆 的直径，0为BC中点由P序.P元=3，得(Pi+0)·(P+0心= 3,即P⑦-1=3，P⑦1=2，所以点P在以点0为圆心，半径为2的 圆上运动.因为P+P+P元=Pi+0A+Pd+0+P6+0元=3Pd+0i, 设P0与Oi的夹角为0，所以pi+P+P元1=13P式+Oi1= √(3Pd+02=√9Pd+6Pd.OA+0i=√37+12c0s0.又-1≤ cos0≤1，所以√37-12≤1Pi+P+P心1≤√37+12，即5≤1Pi+ P+P1≤7. 15.解：(1)(a+b)…(a-b)=a2-b2=1 ，由1a1=1,得1-6公=7，所 以1-号 (2)图为a6=04a6b=1+2x+号2，a-bP=0- 24·b+621-2x4+2=1,所以1a+b1=2,1a-1 1 令向量a-b与a+b的夹角为0，则cs0=（a+b):(a-b).2 la+blla-bl x1 2,即向量a-b与a+b夹角的余弦值是2 4 16.解：(1)a=(3,2),b=（-1,2),c=(4,1),且a=mb-nc, (3,2）=m(-1,2)-n(4,1)=(-m-4n,2m-m)心{2m-n=2, ∫-m-4n=3, 58 解得m=9n=-9 (2)a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3, 2)=（-5,2)-5(2+h)-2(3+4h)=0,解得k=-16 131 17,解：(1)由题意可知，成-亦应=店花=之m 3 (2)由题意可知，市-应+励=+}成-+（成-）- 子兮花子m+写a,因为A8=3,Ac2,∠B00则 3 Iml=3,lnl=2,m·n=lml·|nIcos LBAC=3,所以A.E= (后小（合）1 18,解：方法-：(1当A=子时，依题意知，成：子成，正=成， 成-2，则成=动+成=动+2，成=-花=2成-动 因为=亦-店，市=破+破=店+子武=店+子（市- 学霸017 2应)号（动，店=动+成-市+兮成=动+名应，所 以成-市-店+成，因此花萨=（市+应）： (}应）}++}应.应 因为A=2D元，A市1=1C1=1,AD1AB,所以1A1=2,A市.A店 0所以成成号 (2)由(1)知d成-店-花=店-应 因为B市=AB武，D成=(1-A)D元，所以A应=A市+D成=A+(1-A)· D戒=动+，诚，市-破+成-+成=应+（布-2应 +(1子)应侧成应-(a-动：应 因为A=2,1=1,4市.应=0，所以花.E=(-1)市+ 1=六应+-A2+2》市.成=-1+1-A=0,故向量应，的夹角 4 2 为90° (3)由(2)可知速=动+成=+(1-)元=办+)应，正= 应成+成-+（市应）=市(1分)应，则 应+（分）市()应 因为11=2，动1=1，市.应=0，所以花+2 (分)'迹(-)+))市 =(+分）广12+(1-)=子-5+5 名(a-)+。 由题意知，Ae[0,1,所以店+2产 的取值范围是[ 与]所以破产的取值袍照是[，5] 方法二：由题意知，AB1AD,1A1=1C1=1,A店=2D元，故 AB1=2, 以A为坐标原点，AB,AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标 系，则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(1,1),则B元=(-1,1)，D元= (1,0), 由B=AB武，D成=(1-A)D元，得B=(-A,A),D成=(1-A,0),故 F(2-入，入)，E(1-入，1) 当A=号时，（子子）（兮）则成-(1，兮) 又d=(1,,所以a.或-1}-号 第10章三 10.1两角和与差的三角函数 第1课时两角和与差的余弦 第1关（练速度） 1.B解析：cos57°c0s3o-sin57°sin3°=cos(57°+3°)=cos60°= 1 2 故选B. 2.B解析：cos105°=co3(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°= 巨x12x52-6故选B, 22224 必修第二册·SJ (2)A应=(1-入，1)，E=(1,A-1),则A2.E=1-A+A-1=0,故 A应与E的夹角为90° (3=(1-A),=(2-A,A),则应+亦=(2子，1+ 宁)故应”=()-（ (+7）=-5A+5=A-102月又Ae[0,,所以 正[5]，所以应正的取值花图为 [s] 19.解：()由0到弦B的距离是分，可得乙AB0=∠BA0=30,故 ∠A0B=120°. (1)由圆的几何性质得∠ACB=120°，1A花1=C1=1,故A元， Ci=-CA.C克=-1Ci1Ci1 cosLACB=-1×1×cos120°= (ⅱ)如图，记劣弧B的中点为D,且 0.0成=子，设0成，0劢的夹角为e .0元.0i=λ0+u0i.0i=A 2①. 0成.0i=AOi.0i+40= -jAt@ ①+2得0成.(@成+0)=a+p),进-步得A+n=2成. (Oi+0)=20元.0i=2cosa,其中0°≤a≤60°，故入+w的取值 范围为[1,2]. (2②)记∠40B=B,由130-成≤两边平方，得9亦+0亦 60d.0is空10-6omB≤5又-1m<1mBe [g,1(2oio.(oio=3+3osB,故12oi+0i- √5+4cosB,10i+0i1=√2+2cosB. 又向量20i+0成和向量0i+0的夹角为0， [(20A+0)·(0i+0)12 .c0s20= (3+3c0sB)2 L120i+0110i+0i1 (5+4c0sβ)(2+2cosB) 1 记e=号(5）显然e)关于=w®e[停)单 9 调递增，所以当mB=名时，(om0)一（各）沿 角恒等变换 3B解折：因为ae(0,受），血a=号所以sa=子，所以原 437 cos a+sin a=- 选B. 4.AC解析：cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos(80°-20)= c0s60°，A正确；cos45°cos30°-sin45°sin30°=cos(45°+30°)= cos75°≠cos15°，B错误；sin(a+45)sina+cos(a+45)cosa= cos(a+45)cosa+sin(ax+45)sina=cos[(a+45°）-a]=cos45°， 学霸018