第9章平面向量章末检测卷-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第9章平面向量章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．若与是平行向量，则 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．若，则 2．在中，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知在中，，，若的最小值为3，则（    ） A． B． C． D． 6．已知在所在平面内，满足，且，则点依次是的（   ） A．外心，重心，垂心 B．重心，外心，内心 C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，内心 7．已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（   ） A．4 B． C．2 D．1 8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 10．已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数的可能的取值有（    ） A． B．1 C． D．2 11．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值 三、填空题 12．已知向量满足，，则的取值范围是 13．在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设，，用，表示 ． 14．北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    四、解答题 15．已知向量，，． (1)求的最小值； (2)若与共线，求与的夹角． 16．已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 17．如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，．    (1)用、表示； (2)已知点是的重心，用、表示． 18．在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知向量，求； (2)（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第9章平面向量章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B A D A BCD BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】由平面向量的基本概念判断即可. 【详解】对于A：若与都是单位向量，则，故A错误； 对于B：与是平行向量,故B错误； 对于D：向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：C 2．B 【分析】利用平面向量减法运算得，整理即可求解． 【详解】， ， ， 故选：B． 3．D 【分析】先利用计算，再利用投影向量的公式计算即可. 【详解】，，则， 得， 则在方向上的投影向量为. 故选：D 4．B 【分析】设，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得. 【详解】设，． 同理， 所以联立得， 所以． 故选：B 5．B 【分析】由，将问题转换成二次函数的最值问题，即可求解； 【详解】 令， 由题意的最小值为9， 当时，显然不符合； 所以，此时抛物线开口向上，对称轴为， 所以， 解得， 故选：B 6．A 【分析】利用向量的加法法则，可得是中线的三等分点；利用数量积的运算律可得即可. 【详解】因，则为的外心； 取中点，则， 即为中线上靠近点的三等分点，则为的重心； 因，则， 则，同理，，则为的垂心. 故选：A 7．D 【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值． 【详解】设，共起点， 由可得得， 如图终点在直径的圆上， 设中点为，，夹角为， 因此，的最小值为圆心到向量所在直线的距离2减去半径1，为1. 故选：D.    8．A 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 9．BCD 【分析】由单位向量可得A正确；举反例可得B错误；举反例可得C错误；当两向量互为相反向量时可得D错误. 【详解】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确； 对于B，若，则与不一定共线，故B错误； 对于C，若，则不一定共线；故C错误； 对于D ，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误； 故选：BCD 10．BC 【分析】根据向量平行的有关结论求参数的值. 【详解】因为A，B，C三点共线，，所以. 所以：，即. 所以或. 故选：BC 11．AC 【分析】根据向量减法运算可判断A；先设角表示向量的模，再利用向量数量积以及基本不等式判断C；先根据重心性质转化研究面积，再设角表示向量的模，结合二倍角正弦公式判断B；建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，再根据函数单调性判断D. 【详解】, 所以，选项A正确； 过点作，交直线于点，交直线于点， 因为点到、的距离分别为1、2，所以, 设，则因为，所以， 从而， ， ， （当且仅当时取等号），因此选项C正确； 因为，所以为重心，因此， ， 当且仅当时取等号，即，因此选项B错误； 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则可设，所以， ， ， 因为，所以 因为在上单调递减，所以不存在最小值，因此选项D错误； 故选：AC 12．[6,10] 【分析】根据向量模长不等式.以及向量共线的情况来确定的取值范围. 【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立. 根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立. 综上，的取值范围是 故答案为： 13． 【分析】本题可利用、、共线以及、、共线，通过向量共线的性质设出关于、的表达式，再根据系数关系求解. 【详解】已知为的中点，则. 又因为，所以. 因为、、共线， 所以存在实数，使得，将，代入可得：   ①. 因为、、共线， 同理，存在实数，使得，将，代入可得：   ②. 由①②可得 解得，. 所以 故答案为： 14．3 【分析】根据正六边形的性质建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再通过向量数量积的坐标运算公式进行计算，最后根据点的位置确定数量积的最大值. 【详解】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.    根据正六边形的性质可知：，，. 根据向量坐标运算，可得. 因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么. 所以. 由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为. 故答案为：3. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算以及模长的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案； （2）根据共线向量以及数量积与模长的坐标表示，利用向量夹角的计算公式，可得答案. 【详解】（1）由，，可得， 则， 故当时，取得最小值，即时，取得最小值． （2），， 由与共线可得，解得， 则，，，， 设与的夹角为，所以， 因为，所以． 16．(1)或3： (2)1或 (3) 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【详解】（1）若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. （2）若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. （3）因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 17．(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合向量线性运算公式利用、表示，再结合关系求结论； （2）利用、表示，连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点，结合重心定义及性质表示，再表示，再根据求结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， （2）由已知， 连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点， 由已知，与的交点为重心， 由重心性质可得，故 所以， 又， 所以.    18．(1) (2)5 【分析】（1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可 （2）利用，共线即可推出 【详解】（1）设，则， ∵，，三点共线， ∴，共线，从而.① 又，，三点共线. ∴，共线， 因为，共线， 所以可得.② 联立①②，解得， 故. （2）∵， ，且，共线， ∴，整理得. 19．(1) (2)(i)证明见解析，（ii) 【分析】（1）由新定义代入即可求解； （2）（i）根据向量的坐标运算可得，进而可证，（ii）根据中线结合数量积可得，且可知点为的中点，进而求，再由（i）即可得结果. 【详解】（1）由，， 可得： （2）（i）因为 ， 且，，则， 所以. （ii）因为D为中点， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的中点，则， 可得， 即 则， ， ， 可得， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$