9.4 向量应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.4向量应用 第1关练速度 10min为准，你的时间： 6.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下 1.(2024·河北石家庄高一期中)一物体在力F 飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下 的作用下，由点A(2,15)移动到点B(7,8), 来，鹰在地面上影子的速度是50m/s,则鹰的 已知F=(-4,3),则F对该物体所做的功为 飞行速度为 () 号 50√3 B. 3 m/s A.-41 B.-1 C.1 D.41 1003 C. 100 3 m/s D.3 m/s 2.(2024·山西朔州高一期中)已知向量BA= 7.(多选)如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB (1,-3),向量BC=(4,-2),则△ABC的形 上的高，则 状为 ( A.等腰直角三角形B.等边三角形 C.直角非等腰三角形D.等腰非直角三角形 3.人骑自行车的速度为v,风速为y,,则逆风行 A.IACI2=AC.AB 驶的速度为 B.IBCI2=BA.BC A.V1-V2 B.V2-V1 C.1A12=A元.C元 C.V+V2 D.Iv l-lv,l D.1C-(AC·AB)x(B.BC 4.点P在平面上做匀速直线运动，速度v=(4, IABI2 -3),设开始时点P的坐标为(-10,10)，则 8.已知三个力F1=(3,4),F2=（2,-5),F3=(x, 5s后点P的坐标为（速度单位：m/s,长度单 y)的合力F1+F2+F3=0,则F3的坐 位：m) ( 标为 A.(-2,4) B.(-30,25) 9.(2023·江苏苏州高一月考)两同学合提一捆 C.(10,-5) D.(5,-10) 书，提起后书保持静止，如图所示，则F与F2 5.(2024·江苏无锡高一月考)在△ABC中，已 大小之比为 知AB=1,AC=2,∠BAC=60°，BC,AC边上的 两条中线AD,BE相交于点P,则cOs∠DPE= 6045% 书 3√21 A. 14 14 10.在四边形ABCD中，已知AB=(4,-2),AC= 1 (7,4),AD=(3,6),则四边形ABCD的面 C.1 D. 积是 第9章学霸019 11.水平面上的物体受到力F1,F2的作用，F, B.0 水平向右，F2与水平向右方向的夹角为0， 5 10 物体在运动过程中，力F1与F2的合力所做 C D. 20 的功为W,若物体一直沿水平地面运动，则 15 20 力F2对物体做功的大小为 16.（多选)(2024·山东菏泽高一月考)如图， 第2关练准确率 8题为准，你做对 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交 题 于点O,则以下说法正确的有 () 12.（2024·河北石家庄高一月考)坐标平面内 一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6) 处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为 ( A.2 B.3 A.恒有AC2+BD2=2(AB2+AD2)成立 C.4 D.8 13.(2024·福建福州高一月考)已知A(1,-1), R若B=3,40=740=4,则平行四边 B(2,2),C(3,0)三点，点D使直线CD⊥ 形ABCD的面积为6√3 AB,且CB∥AD,则点D的坐标是( ) C.恒有AB·AD=IA012-1B012成立 A.(1,0) B.(-1,0) D.若D0=3,AC=10,则AB·BC=-16 C.(0,-1) D.(0,1) 17.如图，两根固定的光滑硬杆OA,OB成0角， 14.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中 在杆上各套一小环P,Q,P,Q用轻线相连， 点，点P为线段CD的中点，则PA+PB 现用恒力F沿OB方向拉环O,则当两环稳定 PC2 时，轻线上的拉力的大小为 A.2 B.4 P C.5 D.10 00 15.（2024·江苏扬州高一月考)最大视角问题 18.如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的 是1471年德国数学家米勒提出的几何极值 问题，故最大视角问题一般称为“米勒问 方向飞行800km到达B地接到受伤人员， 题”.如图，树顶A离地面12米，树上另一点 然后又从B地按南偏东55°的方向飞行 B离地面8米，若在离地面2米的C处看此 800km送往C地医院，则这架飞机飞行的路 树，则tan∠ACB的最大值为 程为 km,两次飞行的位移的和的大 小为 km. 必修第二册·SJ学霸020 19.（2024·福建福州高一月考)一条河南北两 第3关练思维宽度 ）难度级别：☆☆女女☆ 岸平行.如图所示，河面宽度d=1km,一艘 21.（2024·江苏宿迁高一期末)记 游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船 △ABC的三个内角为A,B,C, 在静水中的航行速度是y1,水流速度y2的 且AB=4,AC=6,若0是△ABC的外心，AD 大小为1v2|=4km/h.设y1和v2的夹角为0 是角A的平分线，D在线段BC上，则AO· (0°<0<180°)，北岸上的点A'在点A的正北 方向。 AD= (1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为 22.(2024·山东临沂高一期中) 6min,求y1的大小和cos0的值； (1)已知矩形MNPQ,G为平面内 (2)当0=60°，1y11=10km/h时，游船航行 任意一点，求证：GM2+GP2=GN2+GQ; 到北岸的实际航程是多少？ (2)如图，已知圆0的半径为2，A,B是圆O A 上的两个动点，已知P为平面内一点， OP=1,PA⊥PB,求证：矩形PACB的顶 点C的轨迹为圆. 20.（2023·安徽安庆一中高一月考)如图所示， 以△ABC的两边AB,AC为边向外作正方 形ABGF和ACDE,M为BC的中点.求证： AM⊥EF. 第9章学霸021所2解得收P(写）-成同 y+4=4-2y, y=0, 理可解得{g5故P(-5,8)综上，点P的坐标为子，0或 y=8, (-5,8).故答案为（兮0）或(-5,8）， 第2关（练准确率） 12.A解析：由a∥b得，2cos0=sin0→tan0=2,故选A. 13.D解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以A=Dd 设D(x,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y), 即6,1-，解得任=7，因此点D的坐标为(7，-6).故选D. 8=2-y, y=-6, 14.D解析：由A1·14d1=A店.Ci得A与A心的夹角为180°.A店= (-1,m),A花=(m,-4),由AB∥A花得m2=4,故m=±2.当m=2 时，A花=-2A店，A店与A元的夹角为180°；当m=-2时，A花=2A店，A店 与A元的夹角为0°，舍去.故选D. 15.BC解析：设0A=a,0B=b,OC=c,0为坐标原点，则由c=Aa+ (1-A)b(0<A<1)可知A,B,C三点共线，且C在A,B之间. 选项A:A=(-1,2),A元=(0,2)，A与A元不平行，选项A错误； 选项B:A=(-2,4),A元=(-1,2)，AB与A元平行，且C在A,B之 间，选项B正确；选项C:AB=(-4,2),A元=(-2,1)，AB与A元平 行，且C在A,B之间，选项C正确；选项D:A店=(2，-2)，A心= (-1,1),AB与AC平行，但C不在A,B之间，选项D错误.故选BC. 16.C解析：设集合MnN={aa=(x,y),x,yeR},对于M,(x,y)= (1,2)+(3,4),即(x-1,y-2)=(3,4),=Y2同理，对 3 4 于N有安-号2，解得=-2，y=-2放MnN=(-2,-2)1.故 选C. 17.(1,4)解析：如图，结合题意，设C(x,y),y1 M(x1,y),易得B武=(x-3,y-2),A=(1,4), 由B武=2A市，可得(x-3,y-2)=2(1,4),解得 DK =5,即C(5,10),因为B成=2应，所以 XM y=10, △DABc,所以-C-子，所以牙 -号花即(+1,1)=号(6,9)=(2,3)，解得即 （y1=4, 点M的坐标为(1,4).故答案为(1,4). 9 18.之解析：a/b,2m=4-n,2m+n=4.又m>0,n>0,六m+ 2合)号当且议当会1即aa=号a= m n 子时，等号成立放答案为号 19.解：(1)因为a=(1,0),b=(2,1),所以ka-b=k(1,0)-（2,1)= (k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共 线，所以号-部得=宁 1 (2)因为a=(1,0),b=(2,1),所以AB=2a+3b=2(1,0)+3(2, 1)=(8,3),Bt=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(1+2m,m). 因为4，B,C三点共线，所以与成共线，即1：？，解 3 得m22 参考答案 20.(1)解：设B(x,y),则x=1Oi1+|A店1c0s(T-∠0AB)=5,y= 1A1sin(T-L0AB)=5,.B(5,5),.0t=0i+BC=(5,5)+ (-2,23)=(3,33),C(3,33). (2)证明：连接0C,如图.0元=(3,33)，A店=(1,3)，.0元= 3A店，.0成∥A店且0心1≠A1.又Oi1=4,1B武1= √(-2)2+(23)2=4，.1O1=1B武1，四边形0ABC为等腰 梯形 第3关（练思维宽度） 21.A解析：充分性：若存在A>0,使A=入B元，即(2-x1,y2-y1)= 入(x3-x2,y3y2),则(x2-x1)(x3-x2)>0,(y2-y1)(y3-y2)>0,故 d(A,B)+d(B,C)=|x2-x11+ly2-y11+|x3-x21+Iy3-y21=I(x2 x1)+(x3-x2)1+|(y2-y1)+(y3-y2)I=Ix3-x11+ly3-y11=d(A, C),故充分性成立； 必要性：取0A=(2,5),0B=(3,3),0C=(5,2),则d(A,B)+d(B C)=(13-21+13-51)+(15-31+12-31)=6,d(A,C)=12-51+15 21=6,则d(A,B)+d(B,C)=d(A,C),但是AB=0-OA=(1, -2),B元=0d-0=(2,-1),所以1×(-1)≠(-2)×2，则A店，BC不 共线，所以必要性不成立.故选A 22.解：(1)由题意知Y1={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},记 41=(-1,-1),2=(-1,1),&3=(1,-1),a4=(1,1),其中a1= -a4,2=-a3,故数集X1具有性质P. 由题意知Y2={(-1,-1),(-1,2),(-1,3),(2,-1),(2,2),(2, 3),(3,-1),(3,2),(3,3)},取B1=(-1,2),在集合Y2中不存在 与p1共线的向量，即不存在B2∈Y2,入∈R,使得B,=入B2,故数集 X2不具有性质P. (2)假设存在，因为a1=Aa2,所以a1∥a2,当a1=(1,2)时，设 a2=(m,n),则2m=n, 而集合{-1,1，x,2},1<x<2中，只有2=2×1，所以只能是n= 2,m=1,此时a1=a2,这与已知矛盾，所以集合{-1,1，x,2}不具 有性质P. 9.4向量应用 第1关（练速度）》 1.A解析：由题意可知AB=(7,8)-(2,15)=(5,-7),F=(-4,3), A店·F=5×(-4)+3×(-7)=-41,所以F对该物体所做的功为-41. 故选A. 2.A解析：由题意IAB1=IBA1=√12+(-3)2=10，IBC1=IBC1= √2+(-2)2=2W5,At=BC-BA=(3,1),1AC1=A花1=√32+1卫= √10=IAB|,而IAC12+IAB12=IBC12,∴.△ABC是等腰直角三角 形.故选A. 3.C解析：由题得y1和v2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行 驶的速度为y1+v2.故选C. 4.C解析：5s后点P的坐标为(-10,10)+5(4，-3)=（10，-5).故 选C. 5.B解析：因为AB=1,AC=2,LBAC=60°，所以IB武12= (A元-AB)2=1A12+1A心12-21AB1·1AC1·cos60°=3，所以BC= √3.又因为AB2+BC2=4=AC2,所以三角形ABC为直角三角形，建 立如图所示的坐标系， 则有A(0,1),B(0,0),C(3,0),因为D,E分别为BC,AC的中点， 所u(停）（停）撕以动（停成=（停 学霸011 2LDPE即Ad,庞的夹角，所以cos∠DPE= A励.B配 1AD1·1BE1 2×21x2 1√7 √)x√()+(3) 214故进B (B)O DI C2 M30 -1H (第5题) (第6题) 6.C解析：如图所示，由题意知1A花1=1y,1=50m/s,所以1A1= 感2.c 7.ABD解析：A花.A店=A花.(At+C)=A衣+A花.C=A衣= A花2，A正确；同理，1B武2=B成·B武成立，B正确； 花.应)x(威·Bd-花12x1B武2 1A花1×BI12 1AB12 1AB12 IABI 1C12,D正确故选ABD. 8.(-5,1)解析：F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2).:F1=(3,4), F2=(2,-5),.F1+F2=(5,-1),.F3=(-5,1) 9.√6：2解析：如图，物体处于平衡状态 F 时，水平方向的合力为0，所以F 1F,1cs450=1F,cs30,所以F, IF,I 30450 √3 三2=6，故答案为6：2 c0s45°√2 2 10.30解析：因为B元=A元-AB=(3,6)=A⑦，所以BC业AD,所以四边 形ABCD为平行四边形.又因为A店·B武=(4，-2)·(3,6)=4×3+ （-2)×6=0,所以AB⊥BC,所以平行四边形ABCD为矩形.因为 1A1=√42+(-2)=25,1BC1=√32+6=35，所以S矩形8CD= 1AB1·1BC1=25×35=30. |F21·co80·W 11. IF1+IF2Icos 0 解析：设物体的位移是3，根据题意有(1F,1+ W IP,1·s)1s=W,即1s1-F,+1P,l1os0所以力B,对物体 ,IF2I·cos0·W 做功的大小为F,1+1F2cos可 第2关（练准确率） 12.B解析：由题意可知，=(1,2)，A=(3,6),则11=√2+2= 5,戒=V3+6=35,则所用时间1=35=3，故选 I川5 13.D解析：设点D(x,y),则B武=(1，-2)，A店=(1,3)，Ai=(x-1, y+1),d市=(x-3,),由题意可得2x+1=0解得=0所以点 x-3+3y=0, (y=1, D的坐标为(0,1). 14.D解析：将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示，则 PA2+PB2P+P市(P元+Ci)2+(P元+C)2 PC2 PC2 P 2P衣+2P元.(Ci+C)+AA12 -6=42-6=10.故选D. 1P元2 IPCI 必修第二册·SJ 15.C解析：如图，建立平面直角坐标系，则 yA A(0,12),B(0,8),设C(x,2)(x>0),则 C=(-x,10),C克=(-x,6),则cos LACB= CA.CB x2+60 1.1C1√2+100.√2+36 +120x2+3600 16x2 Vx4+136x2+3600V x4+136x2+3600 1- 16 16 x2+136+3600 1 x2 2√/2.360 零，当且仅 2+136 当x2=3600 ,即x=25时取等号， 又0<∠ACB<T,sin LACB>0,放n LACB=sn∠ACB cos∠ACB /16 15,故选C 16.ABC解析：设AB=a,Ai=b,以其为基底，A=a+b,DB=a-b,则 A心+B=(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2=2(AB2+AD2),故A正 确；若AB=3,40=37 04,则由亦：） -”ab=6=as∠BMD=子，所以∠BAD=60,过点D a·b37 2 作DH⊥AB于点H,则DH为□ABCD中AB边上的高，且DH= AD·sin∠BAD=4×sin60°=25，所以SaA8cn=AB·DH=3× 25=65,故B正确：因为(a+b)2+(a-b)2 =a·b,所以 4 (）尸-(）'-店.市=-励1，故c正确：由c项 可得402-02=店.市=(9）”-0=16=店成，放D错 误故选ABC. 17. sin :解析：设Q受轻线的拉力为T,以Q为研究对象，由于受力 平衡，故轻线与杆01垂直，即轻线与0B的夹角为2-0， ie(=iF1,故- sin 18.16008002解析：设A店，B元分别表示飞机从A地按北偏东 35的方向飞行800km,从B地按南偏东55°的方向飞行800km, 则飞机飞行的路程指的是A1+B心1；两次飞行的位移的和指的 是AB+BC=AC. 依题意，有1A1+1B元1=800+800=1600(km). 又因为a=35°，B=55°，∠ABC=35°+55°=90° 所以1AC1=√A12+1BC12=√8002+8002=8002(km). 从而求出飞机飞行的路程为1600km,两次飞行的位移的和的大 小为800w2km. 19.解：(1)设游船的实际速度大小为1vkm/h,由A4'=1km,6min= 0.1 h,y=10 km/h,Iv2 I=4 km/h. 如图①所示速度合成示意图，由1112=1v2+1y212=102+42= 116,得1v11=2√/29kmh,cos8=-1w,=-29.所以"的大小 为2v2网km/h,cs9的值为-2y2② 29 A.- ② 学霸012 (2)当0=60°，I1I=10km/h时，设到达北岸B点所用时间为 th,作出向量加法示意图如图②所示， AB2=|tw2=2(1+y2)2=2(102+42+2×10×4×c0860°)=1562， 则AB=2√39：，在Rt△A4'C中，tly11cos30°=1，从而t= h, 5√3 此AB=后×2√39=213 2,故游铅的实际航程为2km 20.证明：因为M是BC的中点，所以成=(+4心.又因为E成 亦-花，所以成亦=)（应+花·（亦-恋）=（店.+ 花.亦-，成-花.)=之(0+戒亦-.店-0) 之（花.市-店.应）=分[花1·s(90+∠C)- 1A·IA应1cos(90°+∠BAC)]=0,所以AM⊥E京，即AM1EF 第3关（练思维宽度） 1 BD·h 21.12解析：设△ABC在BC边上的高为h,AM0.? S△ACD 1cD·h 2 AD是∠BAC的平分线，D在线段BC上，如图①，过D作 BD DM LAB于点M,作DN⊥AC于点N,则有DM=DN,六SAD S△ABD AB DM 光又04，ac6心”8子+ 励恋+成-迹号（成-）=+戒 5 如图②，过点O作垂线分别交AB,AC于E,F,由外心性质得E,F 分别为，AC的中点…材.市=动.(+号花) 动.+号市.花成动（亦+动成 }症动破号.花+戒.配的2， 55 牧答案为12. ①D ② 22.证明：(1)方法一：如图①，连接对角线MP,NQ交于点O,连接 0G,则cM=0M-0d,c=0-0t,c=0-0t,c=0d-0d, GM2+GP2=1Gi12+1G12=(0M-0d)2+(O-0)2=10i12+ 102+210d2,Gw2+GQ2=1c12+1c12=(0成-0)2+ (0d-0i)2=1012+1012+210t2, 因为在矩形MNPQ中，1OM1=1O1=1O1=1Od1,所以GMP+ GP2=GN2+GO2 ① (② 方法二：如图②，以N点为原点建立平面直角坐标系 记N(0,0),P(a,0),Q(a,b),M(0,b),设G(x,y),则G=(-x, 6-y),C=(-x,-y）,C=(a-x,-y）,ci=(a-x,b-y), 参考答案 则GW2+GQ2=1G12+1c12=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2=2x2+2y2- 2ax-2by+a2+b2, GM2+GP2=1GM12+1G12=x2+(y-b)2+(x-a)2+y2=2x2+2y2- 2ax-2by+a2+b2」 故GM2+Gp2=GW2+CQ2. (2)设C(x,y),由(1)得0p2+0C2=042+0B2,得1+x2+y2=4+4, 则x2+y2=7,即C的轨迹为以0为圆心，√7为半径的圆. 专题探究01平面向量的综合应用 1.A解析：由题意知，点E为AB边上的点且3AE=2EB,点F在AC 边上，且CF=3FA, 因为B,M,F三点共线，所以存在实数m使得A=mA店+(1- m)A市=5 之m应+(1-m) 又因为C,M,E三点共线，所以存在实数n使得AM=nA应+(1- n)A元=nA正+4(1-n)A应， 5 可得2m=n, 解得a=弓a=名即成=名应子衣 (1-m=4(1-n), 因为成-A正红，所以A=名=子放选A 2.ABD解析：对于A,由AD与BC交于点M,得A,M,D共线，而 A市≠0，令4M=tA,则0成-0i=(0i-Oi),即有0M=(1-t)0i+ 0成，而0成=40成，0市=)成，于是0成=4(1-)0成+)10店，由 B,M,C共线，所以存在实数x使得0成=x0心+(1-x)0店，得4(1- )+=1,解得4=号因此0：)可成+成A正确， 7 对于B,由成：成+号成，成=A成，亦=成，得诚。 成+成，面EM,P共线，所以存在实数y使得成=y 7 1列成，于是7名1，用片27,8正确： 对于C很题宽d0则A=(仔2)A0)=宁(a, 片公）≥“，当且仅当货公即时聚等号，面 “名，，因民A不能取c误， 7 对于D O.O求u0i.0 0i.0i0i.0i 加≥号当且仅当=认时取等号，因店： 的最小值为 0i.0i 号.D正晚放选A即 3.C解析：(A店-2AC)⊥A店，.(A-2A亡)·A=0,即A市.A 2Ad.AB=0.(A元-2AB)1A元，.(A元-2A)·A元=0，即A元. A花-2A店.A花=0.A店.店=A花.A花=2A店.A花，即1A1=A花1. :sA=店.花、1 衣2A=60,△ABC为等边三角形故 选C. 4.C解析：由0.0t+0i.0成=0+0成.0元→0i.0元-0+ 0i.0i-0i.0元=0→0A.(0元-0i)-0i.(0元-0A)=0→ (Oi-O)·(O成-0)=0，即B.A花=0，所以B1A花，作图如图： 由上可知△ABC的外接圆圆心O是BC的 中点. 又因为10元1=AB1,所以1B武1=21A1,即 ∠AC8=石，则∠ABC=号，所以向量在向 学霸013