6.3 第2课时 空间角的计算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

(2)由(1)知平面PAD的一个法向量为A店=(1,0,0)，Pi=(0, 2,-2),D元=(2,0,0)，设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,2), 则a可0即-2=0令=1，可得=1，所以4=(01,1. 1m.D元=0,12x=0, 又n·A店=(0,1,1)·(1,0,0)=0，所以n⊥店，所以平面PCD1 平面PAD. 第3关（练思维宽度） 21.D解析：如图，建立空间直角坐标系，则有A(2,0,0),M(0,2, 1),N(x,y,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2). 对于A选项，若L4NM=受，则城·-0，且=(2-，y,0), NM=(-x,2-y,1),故点N的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2,当 x=0时，y=0,点(0,0)既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的 点N满足条件，A错误；对于B选项，A1N=√5，.AN=1,点N 在底面内轨迹的长度是以A为圆心，1为半径的圆周长的4，故 长度为×2m=号，B错误：对于C选项，A方=(0,2，-2)， A1C=(-2,2,0),设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),故有 {22y00令=1，则=1，=1，放=，山).Mw/平 面A1BC,M.n=0,点N的轨迹方程为x+y-3=0.0≤x≤ 2,0≤y≤2，.点N在底面内轨迹的长度为√2+1区=√2，C错误； 对于D选项，B1=(x-2,y-2,-2),A1M=(-2,2,-1),B1N ⊥A1M,B1衣.A1M=0,点N的轨迹方程为-x+y+1=0,即x y-1=0.0≤x≤2,0≤y≤2，∴，点N在底面内轨迹的长度为 √/12+12=√2，D正确.故选D. 22.(1)证明：因为AB∥CD,AB￠平面CDE,CDC平面CDE,所 以AB∥平面CDE.同理，AF∥平面CDE.又AB∩AF=A,所以平 面ABF∥平面CDE.因为BFC平面ABF,所以BF∥平面CDE. (2)解：存在.因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平 面ABCD=AD,CD⊥AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面ADEF. 又DEC平面ADEF,故CD⊥ED.而四边形ADEF是正方形，所 以AD⊥DE.又CD⊥AD,所以以D为原点，DA,DC,DE所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xz设AD=1, 则AB=1,CD=2,D(0,0,0),B(1,1,0),F(1,0,1),C(0,2,0), E(0,0,1),D=(1,1,0),D币=(1,0,1)，设平面BDF的一个法向 量为n=(x,y,2),则 成=0即y0令=1，则y=-1, n.Di=0,\x+z=0, 所以n=(1,-1,-1).若M与C重合，则平面BDM(C)的一个法向 量为mo=(0,0,1),则mo·n=-1≠0，则此时平面BDF与平面 BDM不垂直.若M与C不重合，如图 之 A B 设E =A(0≤A<1),则M(0,2A,1-A),DM=(0,2,1-),设平 EC 选择性必修第二册·SJ 面BDM的一个法向量为m=(xo,0,0),则 m…成=0，即 (m·DM=0, x0+y0=0, 2A (2Ay0+(1-入)z0=0, 令。=1，则%=-1，=元所以m 2λ 1,-1 .平面BDML平面BDF等价于m·n=0,即1+1- 1 2分0，得A三2e[0,1),所以线段C上存在点M使平面 BDF⊥平面BDM,且L EC 2 第2课时空间角的计算 第1关（练速度） 1.A解析：设两条异面直线所成的角为日，且这两条异面直线的方 向向量分别是m=(1,-2,3),n=(21,0),则s9=m:” lm·ln 1×2+(-2)×1+3×0 √2+(-2)2+32√22+12+02 =0，且0<0≤受，所以这两条异面直 线所成的角为牙，故选A 2.D解析：建立如图所示的空间直角坐标 系，设正方体的棱长为1，易求得平 A 面4CD,的一个法向量为m=(1,-,B, 1),平面ACD的一个法向量为n2=(0,0, )青以mAa语行且 二面角D1-AC-D是锐二面角，所以二面 角D1-AC-D的正弦值为x 不a两-写-5正切 6 值为3=2. 5 3 3.B解析：如图所示，取AC的中点D,以点D为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， M: C 不妨设4C=2,则A(0,-1,0),M(0,0,2),B-3,0,0,所以 -(0,12),平面8Cc6的-个法向量为m=(停，0） 设AM与平面BCC,B1所成角为a,向量AM与n所成的角为6，所 3 以sina=Icos0l= 1AM.l2-15 1n5x/510,即AM与平面BCCB, 所成角的正弦值为压故选B, 10 4.ABD解析：连接BD,因为∠DAB=了，设AB=2AD=2PD=2a,由 余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD,所以BD2=a2+ 42-42.子-302，则BD=3a,则BD2+AD2=A,即D1AD, 学霸14 又PD⊥底面ABCD,AD,BDC底面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥BD, 如图，以点D为原点，DA,DB,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系， B 则D(0,0,0),A(a,0,0),B(0,3a,0),C(-a,3a,0),P(0,0,a)， 对于A,易得pi=(a,0,-a),Bi=(0,-√5a,0),则P.B=0+0+ 0=0,所以PA⊥BD,故A正确；对于B,P=(0,5a,-a),因为 PD1底面ABCD,所以D=(0,0,a)是平面ABCD的一个法向量， 所以cs(成，币=.亦-a2 11亦2a·。2,则PB与平面ABCD 1 所成角的正弦值为？，即PB与平面ABCD所成角为？，故B正 确：对于C,AB=(-a,3a,0),P元=(-a,5a,-a),则cos(AB, 之：-”=2，则异面直线出与Pc所成角 的余弦值为2故C错误；对于D,设平面PAB的法向量为n (1,1,1),则 Pi·n=0,ax1-a1=0, x1=1,令 话.n=0-ax,+3ay1=0x=B1, y1=1,则n=(5,1,3),设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,a2), (Pi·m=0,∫V5a2-a2=0, →{3令n=1 则庇m=0→{-a,+5a西=0=0， 则a-0间.所ma时-i-274周 角A-PB-C所成角为0(0≤0≤m),则1s1-2 ,则平面PAB与 平面PC的夹角的余弦值为2，所以n0=V个-m0:a 7 故D正确.故选ABD. 5.C解析：如图，以A为原点，以A店，AC,A的方向分别为x轴y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系 C E B 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(0,1,1),E(1, 1,0),A应=(1,1,0)，Bi=(-2,1,1),设异面直线AE与BD所成角 的大小为0，则cos0= 应.励5故选C 1A应11Bd16 方法总结 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系： (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直我所成角的范围是(0，牙]，故两异面直线所成 角的余弦值等于两方向向量夹角的余弦值的绝对值 6.B解析：由于AB=AC=AA1=2,A1C1=1,根据台体的性质可 参考答案 知A1B1=1,由于A1A⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以 A1A⊥AB,A1A⊥AC,由于AB⊥AC,由此以A为原点建立如图所示 的空间直角坐标系， 平面CC1A的一个法向量为m=(1,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2), 即AM=(1,1,0),AC=(0,1,2), 设平面M4C,的法向量为n=(,y,则0·A=y+2z=0, n·A=x+y=0, 故可 设n=(2,-2,1),设二面角M-AC1-C的平面角为0，由图可知0为 m·n 锐角，所以cos0= ImlInl A.ta B 7.B解析：如图，以点O为坐标原点，以OA,OB所在直线分别为 x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角 坐标系 设AE=a,则B(0,3,0),D(0,-√3,0)，F(-1,0,3),E(1,0,a), .0=(-1,0,3),D店=(0,23,0)，E=(-1,5,-a).设平面 BED的法向量为n=(x,y,z),则 m·i=0即25y=0, 则 n.E2=0,-x+3y-az=0, y=0,令=1，得x=-a,n=(-a0,1),s(n,0=录 1n110F1 a+3 直线OF与平面BED所成角的大小为45°， W/a2+1×10 la+31 √a2+1x102 ,解得a=2或a=-2(舍去)，…AB=2 8.30°解析：设直线与平面a所成的角为0，则由题意得sin0= a·n 2 lcos(a,n〉l= lallnl √2+(-3)2+(3)7 分因为 0°≤0≤90°，所以0=30°，所以直线1与平面α所成的角为30°，故 答案为30° 9.6 解析：设平面a与平面B的夹角为0，根据题意可得cos0= 6 m1所以平面a与平面月夹角 1 mlInlx√6 的余弦值为5故答案为 61 6 解析：以点D为原点，AD,DC,DD1所在直线分别为x轴、 10.5 y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(2,0,2),F(1,0,0),D1(0, 0,2),E(0,2,1),A1F=(-1,0,-2),D1E=(0,2,-1),设直线D1E 和A1F所成角为0，则直线D,E和A1F所成角的余弦值等 于co80= A1市.D正2 IA FIIDEI5 学霸15 解析： 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，取B1C1的中点M,连接 NA,NM,则NA⊥BC,NM∥BB1,则NM⊥平面ABC,不妨设AB=2, 以点N为坐标原点，以NA,NB,NM所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系N-2,于是N(0,0,0), A1(3,0,2),B1(0,1,2),则A1B=(-√3,1,0)，A1=(-3,0, -2),N=A1市-A1=入A1B-A1=A(-3,1,0)-(-5,0,-2)= (5-3入，A,2),取平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),设直 线PW与平面ABC所成的角为日，ng=·! IPNIInl 2 √3-3)2+2+44-6A+7当A= 时，（如8砂 4丽，此时角0最大故答案为子 3 19 方法总结 利用空间向量求线面角的解题步骤： 根据图形与已知条件，构建适当的 (建坐标系 空间直角坐标系 ↓ 设直线AB与平面所成的角为0， 求法向量 求平面a的法向量n与直线的方向 向量AB 0 (用公式 cosA店，n)=AB·n ABIInI 0 利用sin0=lcos(AB,n)1及直线和 、得结论 平面所成角的范国是0即可得 出直线和平面所成的角 第2关（练准确率） 12.C解析：取AB的中点0，连接0C,0D,如图，以点0为原点，以 OD,OB,OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标 系，不妨设AB=2,则B(0,1,0),D(1,0,0),C(0,0,3),A(0,-1, 0,又E,F分别为号线C,4C的中点，所以E(0,咨)】 ro)脉(o,）成-(1) 设异面直线BF和DE所成角的大小为日，则cos0=1c0s(B成，D1= 成应0.又e,号]，所以0号故选c 3,3 BDBD面 而 选择性必修第二册·SJ 易错提醒 π1 两异面直线所成角的范围是(0，Σ小，两向量的夹角“的范围是 [0,π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异 面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为纯角时，其补角才 是异面直线的夹角. 13.B解析：由于平面PAC⊥平面ABC且交线为AC,PAC平面PAC, PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC.由于BCC平面ABC,所以PA⊥BC. 由于BC⊥AB,AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面 PAB.由此以点B为原点建立如图所示空间直角坐标系， 由于PA=BC=1,PB=AC=2,所以AB=√AC2-BC=√22-1平= 万，c01.0),E(停0.0）45,0.0)，P,0）,所以- (5,0,1),ci= (1,0,本=5,1，. 设平面PEC的法向量为n=(x,y,z),则 成号y0,故 n.C=3x-y+z=0, 可取n=(2,w3,-√3)，设直线PB与平面PEC所成角为0， 则sin0= n·B脉 5=30 故选B. 1nl·1B12×√1020 易错提醒 线面角0的正弦值等于直线的方向向量4与平面的法向量n所成 角的余弦值的绝对值，即sin0=lcos(a,n)1,不要误记为cos0= lcos(a,n〉l. 14.C解析：设Pi=a,P=b,则A店=b-a且Ial=5,lb1=8,l41=7, 由1A12=1b-a12=b2+a2-2a·b,解得a·b=20,可得cos(a,b〉= ai8器，且r≤a≤1r所∠限=ab=w 所以二面角aα-l-B的大小为120°.故选C. 15.ABD解析：在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以AB⊥DE.因 为CD∥BE,所以ED⊥DC.因为A'D⊥DC,A'D∩DE=D,所以 CD⊥平面A'DE.因为CD∥BE,所以BE⊥平面A'DE.因为BEC平 面A'BE,所以平面A'DE⊥平面A'BE,故A正确： 因为CD∥BE,CD￠平面A'BE,BEC平面A'BE,所以CD∥平 面A'BE,又平面A'BE与平面A'CD的交线为l,所以CD∥I,故 B正确； 由A知，BE1平面A'DE,则BE⊥A'E.又菱 形ABCD的边长为2，LBAD=60°，E为边AB的中 点，所以DE⊥A'E,又BE∩DE=E,所以A'E⊥平面 BED,以点E为原点，以EB,ED,EA'所在直线分别B 为x轴y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系. x 则B(1,0,0),A'(0,0,1),C(2,5,0),D(0,3,0),所以B=(1, 3,0),EA=(0,0,1),AD=(0,3,-1),A'B=(1,0,-1),由上可 知，CD⊥平面A'DE,所以平面A'DE的一个法向量为Ci=(-2,0, 0),设BC与平面A'DE所成角为0，则sin0=Icos(B元，C)1= 学霸16 dG动V22,所以有w0=V个-g= IBC.CDI 1-21 1 怎放c不正确， 显然平面A'BE的一个法向量为n=E=(0,3,0),设平面A'BD (A'2·m=0 的一个法向量为m=(x,y,z),则有 即-=0，所 i.m=0,5y-z=0, 以令m=(√3,1,5)，所以cos(m,n〉= m·t mlm-3+1+3x5 ,7,所以选项D正确故选ABD。 16.A解析： D 设平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为0，如图所 示，以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，设AD=1,AE=m(0≤m≤1)，C1F=n (0≤n≤1)，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), D1(0,0,1),E(1,0,m),F(n,1,1),B2=(0,-1,m),B=(n-1, 0,1),设平面5B的-个法向量为=(，，则n·应0 即 (n.B=0, {y*m=0,。取=-1，则y=m(n-1),2=n-1,故n=(-1 (n-1)x+z=0, m(n-1),n-1),而底面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 1n-11 则c080= 1+m2(a-1)4(,结合选项，当n=1时， 1 c0s0=0,当n≠1时，c0s0=- 1 e(0,号]，显然 V(1-n)2tm+1 当a=0,m=0时，取到吃放s0e[0,号]故选A 17.√/139 √26 解析：过点A分别作CD,EF的高，垂足分别 13 为N,M,如图所示： B x 平面ABCD⊥平面ABEF,AB∥CD∥EF,由AN⊥CD得AN⊥AB, 又平面ABCD∩平面ABEF=AB,ANC平面ABCD,故AN⊥平 面ABEF,又AMC平面ABEF,故可得AN⊥AM.:AN⊥AB, AN⊥AM,又AM⊥AB,故AN,AB,AM两两垂直，如图，以点A为坐 标原点，建立空间直角坐标系，则由题意可知B(6,0,0),D(-2, 、之 0,3),F(-1,7,0),A(0,0,0),E(7,7,0),.B市=(-7,7,0)，Ad= (-2,0,3),D2=(9,7,-3),1D21=V81+49+9=√139， 1es〈，1=1励.。14V26 即所成角的余滋价是否放答米为√网，否 18.45°解析：因为AC⊥a,AC⊥b,a⊥b,且在直角三角形ABC中， AC1BC,所以以点C为坐标原点，直线a,b的方向向量的方向分 别为x轴、y轴的正方向，的方向为：轴的正方向建立如图所示 参考答案 的空间直角坐标系，不妨设AB=2,因为 ∠ABC=30°，所以AC=1,BC=√3，A(0, 0,1),C(0,0,0),设点B(m,n,0), 则m2+n2=3,A=(m,n,-1),直线a的 一个方向向量为“=(1,0,0)，直线b的 一个方向向量为v=(0,1,0),由已知可 得1s(,)1=.u4_lm_1 IABIluI 22 可得m=±山，故n=±2，所以1es(A,之，因 此，AB与b成的角为45°.故答案为45°. 19.解：(1)取AB1的中点D,连接MD,MC,由正三棱柱性质可 知AA1⊥平面ABC,又AA1∥MD,所以MD⊥平面ABC,可得 MB,MC,MD两两垂直，以点M为原点，MB,MC,MD所在直线分 别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系M-yz, 则M0.0,0),N(号3，c(05.3).0-10,2,所以 亦（号经）正-1，，1）.因为m(成，0G 4一-25，所以异面直线MN与QG所成角 1M11QC1√1ox55, 的余弦值为3号 (2)因为MC⊥平面AM1B1B,所以平面AA1B1B的一个法向量为 √3 n=(0,1.0),则cos〈Mw,m〉===0，设直 线MN与平面AA1B,B所成角为6，则sin0=1cos〈M,n〉1= 、0,即直线MN与平面AM,B,B所成角的正弦值为0 20.（1)证明：：底面ABCD是菱形，.AD∥BC,AD=DC. 又，PD=AD,.PD=DC.又，F是PC的中点，.DF⊥PC.:AD⊥ 平面PCD,AD∥BC,.BC⊥平面PCD,又DFC平面PCD, .DF⊥BC.又.PC,BCC平面PBC,PC∩BC=C,.DF⊥平面 PBC.又，PBC平面PBC,∴.DF⊥PB. (2)解：.AD⊥平面PCD,PD,DCC平面PCD,∴.AD⊥PD,AD⊥ DC.PC=PA,AD=DC,PD=PD,.△PDA≌△PDC,.PD⊥DC, 如图，以点D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系，不妨设AD=2,则D(0,0,0),E(1,0,1), M(1,2,0),平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1),设平面DEM 的一个法向量为m=(x,y,2),则 .m=0,即=0取y= DM.m=0, (x+2y=0, 1用-(212a-识后号乐平面 DEM与平面ABCD夹角的余弦值为了 .2 学霸17 方法总结 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤： 建坐标系 根据图形与已知条件，构建适当的 空间直角坐标系 准确求解相关点的坐标，并分别求 (求法向量 出两平面的法向量m,n,设两平面 的夹角为0 0 利用求两向量夹角余弦值的公式 (用公式 cos0cos(mn外mi风求夫角的 余弦值 第3关（练思雏宽度） 21g 解析：因为平面α的方程为3x+4y-5z=0,所以可得平面α 的法向量可以为n=(3,4,-5),又直线AB的方向向量为m=(1, 1,1),所以直线AB与平面a所成角的正弦值为1cos(m,n)1= m:2一=6，故答案为6 mlInl52x√315' 22.(1)证明：因为AB=AC=2,BC=22,所以AB2+AC2=BC2,所以 AB⊥AC,如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系， 则A1(0,0,2),B1(2,0,2),M(0,2,1),N(1,1,0),可得A1户= AA1B=(2A,0,0),A2=AA+A1产=(0,0,2)+(2A,0,0)=(2A,0, 2),即P(2A,0,2),所以P=(1-2A,1,-2),又因为AM=(0,2, 1),可得AM.P市=0，所以无论A取何值，AM1PV. (2)解：由(1)可知，A立=(0,2,1)，4=(1,1,0)，设平面4MW的 个法向量为m=(,,则m·=2=0 取y=1,则x= (m·A=x+y=0, -1,z=-2,可得m=(-1,1,-2),可得sin0=1cos〈P成，m)1= 1PN·ml2(λ+2) ,令t=入+2，te[2,3],则sin0= 1PN1Im16√(1-2A)2+5 12-11 5W22-10t+15√5 /1510 一，所以当t=2,即入=0时，0取 +2 26 2 得最小值，此时si血0=了 (3)解：存在，易知平面ABC的一个法向量为u=(0,0,1). 因为M=(1,-1,-1),P=(1-2入，1，-2)，设n=(a,b,c)是平面 PMw的-个法向量，则n·=a-6-e=0, (n·PN=(1-2λ)a+b-2c=0, 令a=3,可 得c=2-2入，b=1+2A,可得n=(3,1+2,2-2入)，则1c0s(u,n)1= lu·nl 12-2λ1 Lm0t+22+2-26,化简得8M2-2A+5耳 解得人=或A=，因为A[0,1,可得A= 4,所以存在点P 使平面PMW与平面ABC所成二面角的正弦值为V30, 6,点p 为A,B,上靠近A,的四等分点 选择性必修第二册·SJ 第3课时空间距离的计算 第1关（练速度） 1.C解析：由题得Pi=(1,2,-4),所以P(-2,1,4)到平面α的距离 为n.Pi1-2-4-4110 mV4+4+3,故选c 2.A解析：AB=(0,1,0),A元=(-1,1，-1)，故AB在A元上的投影向量 的模为4=1A·AC1(0,1,0）（1,-1石故点a到直 IACI √1+1+1 线AC的距离为V-子-√于-5放选A 3.B解析：两平行平面a,B分别经过坐标原点0和点A(2,1, 1),0i=(2,1,1),且两平面的-个法向量n=(-1,0,1),.两平面 间的距离为“.-2g1号，故选 4.D解析：AE∥FC1,FC1丈平面AB1E,AEC平面AB1E,.FC1∥ 平面AB,E,因此直线FC1到平面AB,E的距离等于点C1到平 面AB,E的距离，如图，以点D为坐标原点，DA所在的直线为x轴， DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐 标系. D 则A(1,0,0,B1(1,1,1),C(0,1,1),E(0,0,2),F（1,1, 分)，=（1,0)=(-10,2）瓜=(0,1，. C1B=(1,0,0),设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则 n应=-x+2=0令=2，则n=(1,-2,2) m·AB=y+=0, 设点C1到平面AB1E的距离为d,则d=”C1,故直线 C,到平面AB,E的距离为了放选D 5.D解析：由题意知，AC=AB=2,BB1=√2， 取AC的中点O,则B0⊥AC,B0=√3，建立 如图所示的空间直角坐标系0-，则 A(0,-1,0),B1(5,0,2),C(0,1,0),所 以AB1=(5,1,N2),C=(0,-2,0),所以 ICA.ABI CA在AB上的投影的长度为 IABI 后兮，所以点C到直线AB,的距离为4= 26 -( 放击D 6.B解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), cw10,P0..e0,72）-(5,1.00 0,1),由点N在平面PAC内，则可设A=xA花+yA市=(5x,x,y), 所以N,),放威-(5x,分之），因为NE1平面 学霸18第2课时 第1关练速度 15min为准，你的时间： 1.（2024·陕西咸阳高二期末)已知两条异面直 线的方向向量分别是m=（1,-2,3),n=(2, 1,0),这两条异面直线所成的角为() A. C. 6 2.在正方体ABCD-AB,C,D1中，二面角D,-AC-D 的正切值为 4分 B.2 D.√2 3.(2024·山东聊城高二月考)直三棱柱 ABC-AB1C1中，△ABC为等边三角形， AA1=AB,M是AC1的中点，则AM与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 () a名 B.5 10 c酒 D.①5 10 4.（多选)(2024·山西晋中高二月考)如图，在 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边 形，∠DMB=,AB=2AD=2PD,PD上底 面ABCD,则 A.PA⊥BD B.PB与平面ABCD所成角为T 第6章 三间角的计算 C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为5 D.二面角A-PB-C的正弦值为2T 7 5.（2024·广东佛山高二月考)在三棱锥P-ABC 中，已知PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB= AC=AP=2,D,E分别为PC,BC的中点，则异 面直线AE与BD所成角的余弦值为() √2 B.3 D.6 6.（2024·广东深圳高二月考)如图，在三棱 台ABC-AB,C1中，若A1A⊥平面ABC, AB⊥AC,A,C1=1,AB=AC=AA1=2,M为BC中 点，则二面角M-AC1-C的余弦值为（) 2 2 A.- 3 B. C.3 1 D.6 3 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD 相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE, AB=2,CF=3.若直线OF与平面BED所成的 角为45°，则AE= () A.1 B.2 C.3 D.4 学霸019 8.（2024·江苏扬州高二月考)若向量a=(2, -3,3)是直线l的方向向量，向量n=（1,0, 0)是平面a的法向量，则直线1与平面α所 成的角为 9.（2023·山西吕梁高二期末)若平面α的一个 法向量m=(2,-1,-2),平面B的一个法向量 n=(1,1,2),则平面a与平面B夹角的余弦 值为 10.(2024·福建福州高二期末)如图所示，在棱 长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别是CC1,AD的中点，那么异面直线DE 和A,F所成角的余弦值等于 11.(2024·湖南长沙高二期末)正三棱柱 ABC-ABC1中，AA1=AB,N是BC的中点， 点P在A,B1上，且满足AP=入AB,当直线 PN与平面ABC所成的角取最大值时，入的 值为 第2关练准确率 8题为准，你做对题 - 12.（2024·广东中山高二期中)如图，圆锥的轴 截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点， E,F分别为母线BC,AC的中点，则异面直 线BF和DE所成角的大小为 B D B.T 3 2m C. D. 选择性必修第二册·SJ学 3.（2024·江苏淮安高二期中)如图，在三棱锥 P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,∠PAC= ∠ABC=90°，PA=BC=1,E是AB的中点. PB=AC=2,则直线PB与平面PEC所成角 的正弦值为 () A.10 B.V30 10 20 C.30 10 D.0 20 4.（2024·河南焦作高二月考)如图，过二面角 a-l-B内一点P作PA⊥a于点A,PB⊥B于 点B,若PA=5,PB=8,AB=7,则二面角- 1-B的大小为 () A.30° B.60° C.120° D.150° 5.（多选)(2023·山东临沂高一月考)如图， 菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，E为 边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A 到A',连接A'B,A'C,且A'D⊥DC,平面A'BE 与平面A'CD的交线为l,则下列结论中正确 的是 霸020 A.平面A'DE⊥平面A'BE 1 B.CD∥L CC与平面4DE所成角的余弦值为} D.二面角E-A'B-D的余弦值为7 16.(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)如图，在正 方体ABCD-AB1C,D1中，E为线段AA1上的 一个动点，F为线段BC1上的一个动点，则 平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的 平面角余弦值的取值范围是 4o,) c.[o, o, 17.(2024·江苏扬州高二月考)《九章算术》第 五卷中涉及一种几何体—羡除，它下广六 尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七 尺.该羡除是一个多面体ABCDFE,如图，四 边形ABCD,ABEF均为等腰梯形，AB∥CD∥ EF,平面ABCD⊥平面ABEF,梯形 ABCD,ABEF的高分别为3,7，且AB=6, CD=10,EF=8,则1DE1= ,异面直 线AD,BF所成角的余弦值是 第6章学 8.α，b为空间中两条互相垂直的直线，直角三 角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂 直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转， ∠ABC=30°，当直线AB与a成60°角时，AB 与b成的角为 9.(2024·河南洛阳高二期末)如图，在正三棱 柱ABC-A1B1C1中，CC1=3,AB=2,Q为侧 棱AA1上的点，且AQ=2,点M,N分别 为AB,A1C1的中点. (1)求异面直线MN与QC,所成角的余 弦值； (2)求直线MN与平面AA,B,B所成角的正 弦值 霸021 20.（2024·河北邢台高二月考)如图，在四棱锥22， P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AD⊥平面 PCD,PD=AD,PC=PA,E,F,M分别是棱 PA,PC,BC的中点 (1)证明：DF⊥PB; (2)求平面DEM与平面ABCD夹角的余 弦值. D 第3关练思维宽度难度级别：女女女女女 21.（2024·河北保定高二期末)在 空间直角坐标系中，过点P(xo, 频讲解 yo,z)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a 的方程可写为a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-0)= 0.已知直线AB的方向向量为(1,1,1)，平面 的方程为3x+4y-5z=0,则直线AB与平面 α所成角的正弦值为 选择性必修第二册·SJ学霸 (2024·江苏扬州高二月考)如 图，已知三棱柱ABC-A,B,C1的侧 视频讲解 棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2,BC=2√2，M, N分别是CC1,BC的中点，点P在线段AB1 上，且AP=入AB1: (1)证明：AM⊥PW, (2)当入取何值时，直线PN与平面AMN所 成角0最小？ (3)是否存在点P,使得平面PMN与平 面ABC所成的二面角的正弦值为√30， 6 若存在，试确定点P的位置；若不存在， 请说明理由。 022