9.2 第3课时 向量的数量积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

17.2√5+4解析：因为点D是边BC上（不包含端点）的动点，所以 B⑦∥B元，即B币=ABC(0<A<1),即A⑦-AB=A(AC-AB),所以AD= AA花+(1-A)A成.又已知A⑦=xAB+yA花，得入A元+(1-A)AB=xAB+ yA花，即(-y)A花=(x+以-1)成若X-y≠0，则花-+A-应，此 入-y 时A8,C三点共线，与感设条件不质，所以公0.部得 {任=1-A所以xy=1.又由0<A<1得0<<1,0<y<1,所以1 （y=入， -(2）1（日2）*+4 2任受4=2+4，当型，3时取等号放管案 2,y= 2 为25+4. 18.1:2解析：如图，设D为AC的中点，连 接BD,则B+B武=2B励，因为Bi+B武= 4B,所以B品=2BM,所以M为BD的 中点，所以SAABM=S△ADM=S△BCw= S△cDM,所以S△ABW:S△ACw=1:2,故答 案为1：2. 19.解：(1)3(2a-b)-2(4a-3b)=6a-3b-8a+6b=-2a+3b. (2)e+0)子a-b)0号b3+宁b0=名a 4 31」 3 (3)2(3a-4h+c)-3(2a+b-3c)=6a-8b+2c-6a-3b+9c= -11b+11c. 20.(1)证明：因为A=0i-0i=3a+b-2a+b=a+2b,又B元=0元-0i= a-3b-3a-b=-2a-4b,所以B元=-2A店.又B武与AB有公共点B,所 以A,B,C三点共线. (2)解：AC=A+BC=3a-2b,Ci=2a-b.因为A,C,D三点共线， 所以A元=xCi,即3a-2b=2Aa-kMb,即(3-2λ)a=(2-kM)b,若 3-2A≠0，则a=,此时a,b共线，与a,b是不共线的两个非 3 A= 零向量矛盾，所以3-2A=0,解得 2 2-k入=0， 综上，k的值为手 3 第3关（练思雏宽度） 21.(2,4)解析：由M=入M正-M成=D AM市+Mi,得M证-M=入M应，即A市= G AM应，即AP与ME平行.过点A 作AK∥ME,分别交EH,EF于点N K,可知点P在线段NK上运动（不含 端点). 过点N作NQ∥AB,交ME的延长线于点Q,过点K作KL∥AB, 交ME的延长线于点L,如图， 当点P与点N重合时，A巾=Md=2M正，可知A=2 当点P与点K重合时，AP=M=4M应，可知A=4 故入的取值范围为(2,4).故答案为(2,4). 2.解：(1)因为G为△M5GC的重心，所以衣：号×（店+恋- 号破号花所以=亭矿+子成，则=花-成=（信 3 1)成+子成因为M,C,N三点共线，所以必然存在实数入使得 =A,即（子-1+子成=A=(成-矿)，则 (行1u)网-（号）区者10则号 必修第二册·SJ A,此时A,M,N三点共线，与题设条件矛盾，所以 3 解得任二3(1-A即y=3. A-=0, (y=3λ， 3 (x>1, (2)由题意可知{y>1,→ 2且-1y-11,所以 1<y<2, (x+y=3 2哥3，当且仅当骨即1 y-1 2(x-1）时取等号，又因为x+y=3,所以x=2,y=3-2时，一 二取得最小值为3+2瓦 第3课时向量的数量积 第1关（练速度） 1.B解折：设a与B的夹角为9，由题知o0:流兴了结 合向量夹角范围知0=号，则a与b的夹角为号放选B 2.ABC解析：由向量数量积的运算律可知ABC正确.对于D,令m= a·b,n=b·c,则(a·b)·c=mc,而a·(b·c)=na,a,c均为任 意向量，所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选ABC. 3.B解析：因为1a=2,1b1=5,且a与b的夹角为石，所以(a+ o)(2a-b)=2a2+ab-62=21a12+1a1·b1os石-lb12=2x 2+2x5x（5}2=放选R 4.C解析：la-2b12=(a-2h)2=a2-4a·b+4b2=16-41al·Ib1cos60°+ 4=16-4×4cos60°+4=12，故1a-2b1=2W3.故选C. 方法总结 【a2=a2,因此求向量模的运算常常转化为向量的平方进行计算. 5.AB解析：对于A,由1a+b1=Ia-b1平方可得a2+b2+2a·b=a2+ b2-2a·b→a·b=0台a⊥b,故A正确： 对于B,若1al=1b1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=la2-lb2=0,所 以(a+b)⊥(a-b),故B正确； 对于C,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0→(a-b)=0或(a-b)⊥c 或c=0(舍去)，故a-b可能与c垂直，故C错误； 对于D,[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c= (b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c, 故D错误，故选AB. 6B解折：a(a+动)=a-b+ab-0即ab子aP① 1a-2b1=13a-b1,.a2-4a·b+4b2=9a2-6a·b+b2,即8a2- 2a·b-3h2=0,代入①可得9a2=3b2,即51al=lb1.又a,b为非零 向量，设a与b的夹角为0，则c0s0=ab三 a 故 lallbl lalx/3lal 6 选B. 7.C解折：由题图可得，成-心应，动-砧+}成=子应+}花. 市.戒-（子+4花)（花-）=4恋+2花.店 子aAB=3,40=2,∠4C=60,.成-4+x2x 3x子x=?枚选C 24 学霸004 8子解指由题合9一名，听0-行 1b12=-6, 又161=3a:6子放答案为号 9.222解析：由1a+b1=2w5,得1a+b12=12,即a2+2a·b+2= 3 12.因为1al=6,Ib1=√2，所以a·b=2,所以a·(a+b)=a2+a· b=6+2=8.设a与a+b夹角为0，则cos0=a（a+b三万x25= 放答案为2. 22 10.⑩ 2 解析：由D为BC边的中点，得动=子(+衣，则1动1 √(+2=子V++2aiw6:- 26242x00x-技答案为 2 11.90°解析：由a+b+c=0可得b=-(a+c),两边取平方，得1b12= （a+ey2=1a12+2a·c+1c12,则ac=5)'--(2-0,即a 2 与c的夹角为90°.故答案为90°. 第2关（练准确率） 12.A解析：因为1a=1,1b1=2,a与b的夹角为120°，所以a: b=a1b1eos120°=1×。xcs120°=-4，所以(a-b)·b=e 2 b=a-子（兮八子所6在6上的数影 1 向量为a-b）b.力=2.b:-2b,故选A 22 13.C解析：由AB⊥BC,AB=3,BC=4,得AC=5,三角形ACD中， CD=AD-AC,..ICDI2=(AD-AC)2=1ADI2-2AD.AC+IACI2, 市花空戒励-花（商=戒市-衣店 空（成威应空子故选C 7 4B架折：自思春提知侣的66可。一 -2a·b=2,即|b1=√2.故选B. 15.BCD解析：(a-b)·(2b-c)=2a·b-2b2-c·(a-b)=-1-c· (a-b),设a-b与c的夹角为0，又1a-b1=√2-2a·b=1,故(a b)·(2b-c)=-1-c·(a-b)=-1-cos0∈[-2,0]，故选BCD. 16.D解析：因为Pi·P=P店.P元，则P克.(P元-Pi)=P市.A元=0， 所以PB⊥AC,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,故P是△ABC的垂心 故选D. 17子高解析：因为成=不衣-店=号成-应，所以耐= (号花-应)=u+号花则亦-店亦=(1-w)应+ 子花又i=之(+A商，因为AP,M三点共线，所以存在实 数使得市=k成，则(1u)+子uA花=女（店+心）=车+ 花则（受）应=（货子）成若1u冬0，则 店23“ 花，此时应，花共线，与题设条件不符，所以 1μ2 参考答案 1w2=0, 3 k25 店）号花-}破因为M是Bc的中点，所以成=+ 成所以耐.成：（号衣应）小·（兮亦+号花） 兮.成品49 1 1 10 23x品放答案为 18.4解析：方法一：如图，当t变化时，a起点为B,终点在直线1上 运动，故1b+ta|的最小值为1OA1=2,由图可得1b1=4. 0 b 08*g7a 方法二：由题意可知，1b+a12=2a2+2a·b+b2,令g(t)=2a2+ 2a:b+h2,因为4=4(ab)2-4a2b2=4r2b2(cs2石-1k 0所g0大于eu当合君 时60政得银小值2高以(2）('）2a b √31b1 2lal ）+1b1-2,化简得gb12=2,所以1B1=4放答案 为4. 19.解：(1)因为1a=1,1b1=3,(a+b)·b=8,所以(a+b)·b=a· b+b2=a·b+32=8,则a·b=-1,所以1a+b1=√（a+b)7= √a2+2a·b+b2=√1-2×1+9=2√5. (2)当ka-b与a+2b垂直时，则有(ka-b)·(a+2b)=ka2+(2k- 1)a·b-2b2=k×12+(2k-1)×(-1)-2×32=0,解得k=-17. 20解，(1)成-成+a本-市}本=b2a成-成成=- 子动a子 (2)设B市，DC的夹角为0，因为cos0= .,脉.=（b IBFIIDGI 之）小(a子6）-ab-子-子c=子x3x2m 巧-何以w6 B成.D元。19793 IBFIIDCI 793 第3关（练思维宽度） 21.B解析：如图，记AD⊥L1于D,A0⊥2 D 于0，设0B=a,由0D141,0D12,AB LMC可得△0AB∽△DCA,则OA_DC OB DA 又AD=2A0=6,解得DC=25,所 a 以AB=®+6，AC√+2s 246,得S4e=子B·AC=分·6· 学霸005 2a+62g46又5A=25,所以(t6=25， 2a 解得a=6,所以AB=25,AC=2,故BC=√AB2+AC=4,A店 A花=0， c两味衣底，亦-影花院 BC (4)成+（任，则〔花+(1应· [(成+（ξ应]（女+(2成 *(1-(-4)d.+(1-)(至x）=162-28x+ 15=16(子)广°+，当x=子时，应.亦敢得最小值，且为 头故选B 22.解：(1)设向量A店+2A元与向量2A店+A花的夹角为0，cos0= +2》(2*2,令1应1=1花1=a,0 1A+2A心·12Ai+A心 2a2+2a24 5a·5a5 (2）A1=A心1=√2，.1A1=1.设1O1=x,则101=1-x,而 0i+0元=20M,.0i.0i+0元.0i=0i.(0i+0d)=20i· -224(1加2-2s2(）广 当且仅当：=号时，成，0应+0成.0可的最小值是 （3)设∠CP=a,则∠P:牙a,位.衣-2，本.店=1， 耐=221成sa=2解得花1。同理，21。 一（行女小1，解得11。衣部-恋 花+应+2应.花+2花.市+2花市： ,1 -+4+2+ cos2a 4 sin2a 4sintcosintcosincoa45 ≥ 4 sin2a cos2a 4 sin2a 4 2a华学-号器品甲 ma=经时，庙花=子 7 9.3向量基本定理及坐标表示 第1课时平面向量基本定理 第1关（练速度） 1D潮折：因为与4不共线所以627每每行故 (y=4. 选D. 2BD解折：对于A,由于24-=之(-401+2)，散2-6， -4e1+2e2共线，不可以作为基底； 对于B,2e1-e2,2e2不共线，可以作为基底； 1 对于C,由于e1e,=2(2e,-2e2),所以e1-e2,2e2,共线，故 不可以作为基底； 对于D,e1-e2,e1+e2不共线，可以作为基底，故选BD. 3.A解析：由题意得，a=3e1+e2,b=e1+4e2,故a-b=3e1+e2-(e1+ 4e2)=2e1-3e2.故选A. 必修第二册·SJ 4.BC解析：由已知可得B武=A花-A店=b-a,故D错误；因为P,Q,R 分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点，所以Q市=B市-B或= 威成(o-e）=,故A蜡误，成-成 4 成-成亦-衣应=子+6，放c正确微选C 4 5.C解斩F为E的中点，成=}硫店=市-成=- 破：成=2成成=号成=兮应成=成+成=破+ 号=成+兮（床成）兮市+成放选c 6 6.A解析：因为c与d同向共线，所以存在u(u>0)使得c=ud,即 Aa+b=u[a+(2A-1)b]=ua+u(2A-1)b,又向量a,b不共线，所以 {什2A-1),解得A=（合去)或A=1故选九 (入=， 7.D解析：如图，过D作DM⊥AB,DW⊥BC,故B励=C BM+B成，由于∠ABD=30°，AB=1,BC=√3，不妨设 BN=a,则BM=3a,放励=城+成=1 'IBAI 1B ---D BC=5a+B成，结合励= 3 M (AeR)可得A=3a,u=合，故A-3业=0，故选D. 3 8子宁解折：因为动-2成，所以市-花-=2店-动，所以 市子+子+，放答案为+ 21 方法总结 向量的定比分点公式：若A元=AC,则对于直线AB外任一点0，都 0di成 9.子-子b解析：设6+6=m+nb(m,meR),心a=61+2, b=-e1te2,∴.e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=（m-n)e1+(2m+ 2 n)e2e1,e2不共线， m-n=1,解得 m23' 2 (2m+n=1, 1 .=3a- n=-3 10.7解析：因为成=A戒-市=x成-y花，由P成/成，可设戒： 1 A成，即y市-A(破-=（店+动）合破+ 1 市，所以=2入则之=人 y=-λ， 1.号解斩：方法-：由AB=子D,DF=AC得成=号动，亦 成产应从面有动+耐-动+中破，破-诚-店 1+入 号市-应因为：流，所以在高高(）小 高动onw应所u威-花应市r[o小 A因为E,G,B三点共线，所以存在实数u使得B武=u配，即 亦[]-（兮动-应）台亦破因为 学霸006第3课时向量的数量积 第1关练速度 10min为准，你的时间l: 7.(2024·广东湛江高一月考)如图，在△ABC 1.（2024·重庆长寿区高一期末)已知|a1=5, 中，3BD=DC,AB=3,AC=2,∠BAC=60°，则 1b1=4,且a·b=10,则a与b的夹角为 AD.BC= () B. 4 C、1 4 4 A石 B写 5君 2.（多选)已知向量a,b,c和实数入，则下列各 式一定正确的有 ( A.a·b=b·a B D B B.(λa)·b=a·(λb) (第7题) (第13题) 8.(2024·湖北华师一附中高一期末)已知平面 C.(a+b)·c=a·c+b·c 向量a,b,1b1=3,向量a在向量b上的投影 D.(a·b)·c=a·(b·c) 3.(2024·河南周口高一月考)已知向量a,b满 向量为-6b,则a·b= 足1a=2,1b1=5,且a与b的夹角为g,则 9.已知向量a,b满足Ial=√6，Ib|=√2，且|a+ b1=23,则a·b= (a+b)·(2a-b)= ;向量a与a+b ( 的夹角的余弦值为 A.6 B.8 C.10 D.14 10.(2024·湖北武汉高一期末)在△ABC中， 4.(2024·江苏苏州高一月考)已知|a1=4, ∠BAC=60°，AB=3,AC=2,若D为BC边的 1b1=1,a与b的夹角为60°，则1a-2b1等于 中点，则IAD1= 11.(2024·黑龙江牡丹江高一月考)已知向量 A.12B.28 C.23 D.2√7 a,b,c满足a+b+c=0,1a|=1,Ib|=√3， 5.（多选)(2023·江苏宿迁高一月考)设a,b,c Icl=√2，则a与c的夹角为 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说 第2关练准确率 8题为准，你做对题 法正确的有 A.若1a+b1=Ia-b1,则a⊥b 12.(2024·江苏无锡高一期末)已知向量a与b B.若Ia1=1b1,则(a+b)⊥(a-b) 是非零向量，a1=1,1b1=分a与6的夹角 C.若a·c=b·c,则-b不与c垂直 为120°，则a-b在b上的投影向量为() D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 A.-2b B.2b C.-b D.b 6.(2024·河南郑州高一期末)已知非零向量a, 13.（2024·重庆一中高一月考)如图，在四边 b满足a·(a+3b)=a·b,Ia-2b1=13a-b1, 形ABCD中，AB⊥BC,AB=3,BC=4,AD= 则向量a,b夹角的余弦值为 CD=6,则AC·BD的值为 () 6 15 c n 必修第二册·SJ学霸008 14.(2024·天津红桥区高一月考)若向量a,b20.(2024·浙江嘉兴高一期中)如图，在平行四 满足：lal=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b, 边形ABCD中，F为CD的中点，G为BC上 则1b1= ( 点且满足CC=2G,AB=a,AD=b. A.2 B.√2 C.1 (1)试用向量a,b表示BF,DG; 15.(多选)(2024·湖南益阳高一月考)已知平 (2)若A=60°，AB=3,AD=2,求向量BF,DG 面向量a,b,c满足Ial=1b1=lcl=1.若a· 夹角的余弦值 6=分则(a-b)·(26-e)的值可能为 ( A.3-√3B.-2 C.0 D.-√2 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 16.（2023·江西赣州高一期中)P是△ABC所 21.（2024·湖南常德高一期中) 在平面内一点，若PA·P=P馆.P心=P元. 如图，直线1∥L2,点A是1,2 PA,则P是△ABC的 ( 之间的一个定点，点A到11,2 A.外心B.内心 C.重心D.垂心 的距离分别为√2和√6.点B是 17.(2024·江苏苏州高一月 直线L,上一个动点，过点A作AC⊥AB,点E, 考)如图，在△ABC中， F在线段BC上运动（包括端点）且EF=1,若 已知AB=2,AC=3, △ABC的面积为23，则A正·A ∠BAC=60°，M是BC的 的最小值为 ( ) 中点，瓜-号花，设AM与Ay相交于点P, A.3 B D 若B驴=uBN,则u= ,BP·AM 22.(2024·江苏苏州高一月考)在△ABC中，满 18.（2024·四川乐山高一期末)设0为两个非 足：AB⊥AC,M是BC的中点， 零向量a,b的夹角，且0=石，已知对任意实 (1)若1AB1=IAC1,求向量AB+2AC与向量 2AB+AC的夹角的余弦值； 数t,Ib+tal的最小值为2，则Ibl= (2)若O是线段AM上任意一点，且|ABI= 19.（2024·湖南常德高一期中)已知1a1=1, 1b1=3,(a+b)·b=8. 1AC1=√2，求0.08+0元.OA的最小值； (1)求Ia+bL. (3)若点P是∠BAC内一点，且IAP1=2, (2)当k为何值时，ka-b与a+2b垂直？ A.A元=2，A.AB=1,求1AB+AC+4 的最小值. 第9章学霸009