9.2 第1课时 向量的加减法-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

22.解：(1)如图，A,B式，C即为所求 (2)如图，作向量Di,由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， .1DA1=1Bt1=100√3m 个北 32东 -1-- 9.2向量运算 第1课时向量的加减法 第1关（练速度） 1.B解析：M+P-M=Md-M=N,故选B. 2.ABC解析：A,B,C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向 量模的和相等.故选ABC 3.BCD解析：对于A,A店-(B武+C)=A店-B=A店+A店≠0，A错误； 对于B,A应-A花+Bi-C=C成+B+D心=Ci+D元=0，B正确；对于C, OA-0i+A=Di+A市=0，C正确；对于D,Nd+O币+M成-M=N+ P=0,D正确故选BCD. 4.B解析：A成+F市+C=A店+B武+C=A市，1A店+F花+C市1= A1=21AB1=2.故选B, 5.C解析：由AB=D心，可知此时四边形ABCD为平行四边形，因为 A店-A市1=1A成+A1,所以1D1=1A心1，即对角线长相等，故四边 形ABCD为矩形.故选C 6.C解析：菱形ABCD中，A1=1B武1，.②正确，①不正确又1AB C=1A应+D心1=1A店+A店1=21A应1,1A市+B武1=1A市+A市1= 2A市1=21A1,.③正确又1A+C1=Di+D元1=1D1,Ci- C成1=B1=1D1,.④正确，故选C. 7.A解析：因为A元+C=A店，A花-A店=B武，A店+B武=A花，A元+C1= A心-A1=A应+B武1，所以A1=1B武1=A花1，所以△ABC是等边 三角形故选A. 8.82km东北方向解析：如图所示，作0A=a,A店=b,则a+b= 0A+AB=0B,所以1a+b1=10B1=√/82+82=82(km).因为 ∠A0B=45°，所以a+b的方向是东北方向. B北 02 a (第8题) (第11题) 9.A花A店解析：因为DE∥BC,AB∥CF,所以四边形DFCB为平行 四边形由向量加法的运算法则可知，A店+D凉=A店+B武=A花，A市+ FC=AD+DB=AB.故答案为AC:AB. 10.0解析：因为六边形A1A24344A5A6为正六边形，所以0A+0A= 0A+0A)=0A+0A6=0,即0A+0A+0A+0A+0A+0A6=0.故 答案为0. 11.120°解析：如图，由Pi+P=P元，得四边形PACB是平行四边形， 由点P是△ABC的外心，得PA=PB=PC,则口PACB是菱形，因此 △APC,△BPC都是等边三角形，则∠ACP=∠BCP=60°，所以 ∠ACB=120°.故答案为120° 第2关（练准确率） 12.B解析：对于A:A+(Pi+B)=Pi+店+B或=P,故A不符合题 必修第二册·SJ 意；对于B:P+A应-B戒=Pi-B戒，故B符合题意；对于C:Q心-Q巾+ C或=Q心+Cd+P=P,故C不符合题意；对于D:(A+P元)+(Bi Q心=BA+AB+P元+Cd=P,故D不符合题意.故选B. 13.A解析：，点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，且 Ai=a,Ad=b,0元=c,则-b+c-a=-A+0元-A=C3+0元-Ai= O成-A成=0成+B成=OA故选A 14.A解析：因为a∥b,且1a1>1b1>0,由向量加法法则知向量a+b 与a同向.故选A. 15.C解析：由题意得B武=A心-A店，所以B武=A心-A1,所以11A花 A11≤1A花-A1≤1A心+A1,则3≤1B武1≤9，故C正确故 选C. 重难点拔 三角不等式：11al-lb11≤la±b1≤lal+Ib1,即1a+b1在a,b同向时 取最大值，在a,b反向时取最小值」 16.AC解析：由题意，得向量a=(A应+C)+(B武+D)=A+D=0, 且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确：由a+b=b,所 以B不正确，C正确；由Ia+b1=Ib1,Ia|+Ib|=Ib1,所以Ia+b1= Ia+Ib1,所以D不正确.故选AC. 17.3区解析：如图所示，是水流的方向，花是垂直于河岸的方 5 向，是船的实际航线，因此A市是船在静水中的航行方向，如1= 120m/min,1B1=110m/min,则1G|=√1202-1102= 10√23(m/min),故经过1h的航程为60×10√23=600√23(m), 即3v2 5 km,故答案为3y23 5 0 (第17题) (第18题) 18.号解斩：如图，作平行四边形B0C,则由衣=破-衣】 可得IAd=B式1，故口ABDC为矩形，即A店⊥A元，由于IA1=4, M=3,放=5，当AM1BC时，最小，最小值为3 号故答案为号 19.解：Di=a,Ad=b,C=c,.Ai=A币+Di=b+a=a+b,Ci=Ci+ Di=c+a=a+c,A花=Ai+D元=Ai+(-c)=b-c. 四边形ABCD为平行四边形，.A成=D=-Ci=-c,B成=B+ AE=-AB+AE=c+a+b=a+b+c. 综上，A2=a+b,C2=a+c,A=-c,B=a+b+c,A元=b-c. 20.解：(1)：0i+0元=0+0i=0,.Oi=cd,0成=Dd,四边 形ABCD为平行四边形.又AB1=A⑦1=1，.四边形ABCD为菱 形：DAB=子，∠DABe(0,m）∠DAB=号AMBD 为正三角形：.D心+B武=A成+B武=A心1=2Ad1=3. (2)由(1)可知，1CD+BC1=1BD1=1AB1=1. 第3关（练思维宽度） 21.A解析：在△0AB中，设a=OA,b= 0,则a-b=0i-0成=B,因为1a= 1b1=1a-b1=1,即10A1=10B1= IBAI=1,所以△OAB为等边三角 形，以OA,OB为邻边作平行四边形 0 学霸002 0ADB,设0D,AB交于点E,可得OD=20E=2√OA2-AE=√3， 则a+b=Oi+0=0,因为1a+b-cl=10i-cl=1,取c的起点为 0,可知c的终点C的轨迹为以点D为圆心，半径为r=1的圆，如 图，当点C为OD的延长线与圆C的交点C2时，Ic的最大值M= OD+r=√万+1：当点C为线段OD与圆C的交点C1时，IcI的最小 值m=0D-r=√3-1，所以M+m=(3+1)+(5-1)=25.故选A. 22.解：当a,b不共线时，有1la|-b1川<Ia+b1<Ial+Ib1,理由如下： 如图①， ① 设a=Oi,b=O,以0A,OB为邻边作平行四边形OACB,则Od= a+b, 在△OAC中，.IA0-AC1<OC,.1aI-Ib1I<1a+bl. OC<AO+AC,.'.la+bl<lal+1bl, .Ilal-lbll<la+bl<lal+1b1. 当a,b同向时，有1a+b1=1a+Ib1,如图②， a大b 0 aA bB 0a+6方6月 ② ③ a=OA,b=AB,a+b=OB..OA+AB=OB,..la+bl=lal+Ibl. 当a,b反向时，有1a+b1=11a-b11,如图③，设a=0A,b=AB a+b=OA+AB=OB..OA-BA=OB,..la+bl=Ilal-1b11. 第2课时向量的数乘 第1关（练速度） 1.C解析：当入<0时，I入a|=Alal不成立，A错误；I入al是一个非负 实数，而1入Ia是一个向量，B错误；当入=0或a=0时，I入a|=0, D错误故选C. 2.AB解析：由向量数乘的运算律，得A,B均正确；对于C,若m=0, 则ma=mb=0,未必一定有a=b,错误；对于D,若a=0,由ma=na, 未必一定有m=n,错误故选AB 易错提醒 在向量共线相关的概念辨析题中，需要格外注意零向量的情况 3.ABD解析：A项，(-3)·2a=-6a,A正确. B项，2(a+b)-(2b-a)=2a+2h-2b+a=3a,B正确. C项，(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,C错误. D项，2(3a-b)=6a-2b,D正确.故选ABD. 4A解折：成=++成a+b=b子4，故选 1 5A解析：由于a=a1a,因比台白a=1放法人 6.C解析：因为e1和e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2,b= 2e1+ke2,a与b是共线向量，设b=Aa,AeR,所以2e1+ke2=入(e1 -2λ-k 2,),则(2-A)e1=(-2A-k)e,若2-入≠0，则e=2-入e2,此 时6共线，与题设条件子盾，改仁2入心部得{2故 选C. 7.B解析：因为C=Pi+Pi=C成-P市=APi=C市=AP,所以点P 在AC边所在的直线上，故选B. 8引a号6+7c解折：2(-号a）号(b+e-3x)+h=0, 2x-2a-1b-1ct3 7 1 1 之x五三①，-·之32么本 9.3解析：因为向量a,b不共线，由(y-2)a+(x-1)b=0得(y-2)a= 参考答案 (1-x)b,若y-2≠0，则a=1b,此时a,b共线，与题设条件矛盾， y-2 故仁0脚)2所以3故答案为2 10.2子（市-）解析：由向量加法的平行因边形法则蜘知+ A=A元，又：0是AC的中点，AC=2A0,.AC=2Ad,故A+ 市=2市A-2动励之（市-。 1是解折：因为市-应+成，设成=入威，所以市-+以威因 为成：号花，所以：花又成=-应，所以矿花 应，所：+（花-应）=(1-A)应+花又亦： 破m花，即(1-A破+子花+m花，即（祭-A） 应=（子）尼，若A0,则=8 衣，此时AB,G三 -入 11 8-λ=0， 8 入= 点共线，与题设条件矛盾，所以 11’ 入 解得了2 所 m4=0, m=11' 以m=品故答案为品 第2关（练准确率） 12.C解析：四边形0ADB是以向量O=a,O=b为边的平行四 边形，BM=3Bc,CN=子cD,M成=0成-0成=0元+1ot-O成- 6威号oi-成-6(o耐-：i6i:24 1 b.故选C. 13.D解析：当a=0时，无意义，A错误；当a=0时，BCD均正 确；当a≠0时，由a∥e知a与e同向或反向，知BC不全面，D正 确.故选D. 14.C解析：如图，作BD∥OC,CD∥OB,连 接OD,OD与BC相交于点G,则BG=CG (平行四边形对角线互相平分)，0+ 0元=0i,又0i+0+0元=0，可得0成+ 0元=-0i,.0i=-0i,.A,0,G在一条B 直线上，可得AG是BC边上的中线，同 理，B0,C0也在△ABC的中线上，，点O 为△ABC的重心.故选C. 重难点拨 平面向量中，三角形ABC重心G的常用结论：花=号（店+花）， Gi+G+c元=0. 15,AB解析：对于A,可解得a=弓e,b=,放a与b共线： 8 对于B,由于入≠4，故入，4不全为0，不妨设入≠0，则由入a-b=0 得a=失b,故a与b共线； 对于C,当x=y=0时，a与b不一定共线： 对于D,梯形中没有条件AB∥CD,可能AD∥BC,故a与b不一定 共线.故选AB. 16.B解析：由0i-40i+30元=0，得0i-0=3(0-0心)，即B= 3成，所以d-成+威号威，所以1=}d,即 c 子，故选B 学霸0039.2向量运算 第1课时 向量的加减法 第1关练速度 10min为准，你的时间： 7.(2024·江西南昌高一月考)在△ABC中， 1.(2024·江苏连云港高一期未)MP+P0-MN IAC+C1=1AC-AB1=|AB+BC,则△ABC 是 () A.等边三角形 B.直角三角形 A.ON B.NO C.PM D.MP C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.（多选)下列各式一定成立的有 ( ) 8.若a表示“向东走8km”,b表示“向北走 A.a+b=b+a B.0+a=a 8km”,则1a+b|= ,a+b的方向是 C.AC+CB=AB D.la+bl=lal+lbl 3.（多选)(2024·江苏扬州高一月考)下列结论 9.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的 恒为零向量的是 ) 点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC, A.AB-(BC+CA) B.AB-AC+BD-CD AB∥CF,连接CD,那么A店+D=: C.OA-OD+AD D.NO+OP+MN-MP AD+FC= 4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1, 10.设六边形AA2A3A4A5A6为正六边形，0为它 则IAB+FE+CD1等于 ( 的中心，则OA1+0A2+OA3+OA4+OA5+OA6 A.1 B.2 C.3 D.23 11.(2024·河南洛阳高一月考)若P为△ABC 的外心，且PA+PB=P元，则△ABC的内角C 等于 第2关练准确率 8题为准，你做对题 (第4题) (第9题) 12.(2024·重庆南开中学高一月考)下列各式 5.（2024·河北沧州高一月考)在四边形ABCD 中不能化简为PQ的是 () 中，若A品=D元，且1AB-AD1=1A品+AD1,则该 A.AB+(PA+BO) 四边形一定是 ( ) A.正方形 B.菱形 B.PA+AB-BO C.矩形 D.等腰梯形 C.Q元-Qp+cd 6.对于菱形ABCD,给出下列各式： D.(AB+PC)+(BA-Q元) ①AB=BC:②IABI=IBCI:③IAB-CD1= 13.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的 IAD+BCI:IAD+CDI=ICD-CBI 交点，AB=a,AD=b,0元=c,则-b+c-a= 其中正确的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 A.OA B.OB C.0 D.BC 必修第二册·SJ学霸004 14.已知向量a∥b,且Ia1>1b1>0,则向量a+b20.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交 的方向 于点0且1AB1=1AD1=1,0A+0元=0B+ A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反 OD=0,c0sL DAB=2 C.与向量b方向相同 (1)求1DC+BC1; D.与向量b方向相反 (2)求IC⑦+BC1. 15.(2024·福建莆田高一月考)已知1AB1=6, 1AC1=3,则1BC1的取值范围是 () A.[3,6]B.(3,6)C.[3,9]D.(3,9) 16.（多选)(2024·湖南益阳高一月考)设a= (AB+CD)+(BC+DA),b是一个非零向量， 则下列结论正确的有 ( A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.la+bl<lal+lbl 第3关练思维宽度 )难度级别：☆☆☆☆☆ 17.（2024·江苏泰州高一月考)在静水中船的速 度为120m/min,水流的速度为110m/min, 21.(2024·福建厦门高一月考)已 如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到 知向量a,b,c,满足Ia1=Ib1= 达对岸，那么经过1h,该船的实际航程是 1a-b1=|a+b-cl=1,记IcI的最大值为M, 最小值为m,则M+m= km () 18.(2024·天津西青区高一月考)设点M在直 A.25B.2 C.3 D.1 线BC上，点A在直线BC外，且IAB1=4, 22.对于非零实数a,b,有这样的结论：当ab>0 时，Ia+bl=Ial+1b|成立；当ab<0时，Ia+ 1AC1=3,1AB+AC1=1A店-AC1,则1AM1的最 b1=1Ia1-1b1I成立.那么对于非零向量a, 小值为 b,向量a+b的模1a+b1与1a|+Ib1,1|al 19.(2024·陕西宝鸡高一月考)如图，在五边 1b1有类似的结论吗？请说明理由. 形ABCDE中，四边形ABCD是平行四边形， 且DE=a,AD=b,CD=c,试用a,b,c分别表 示AE,CE,AB,BE及AC: 第9章学霸005