6.2 第2课时 空间向量的坐标表示-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第2课时空间 第1关练速度 15min为准，你的时间： 1.(2024·河南开封高二期末)已知A(2,-3,1), 8(2,03),c0,0,5),则号8d-（） A.（-1,3,3) B.（1,-3,-3) C.(1,3,1) D.(-1,-3,-1) 2.(2024·湖北宜昌高二期中)已知空间向量 a=(入，1,2)，b=(2,入+1，入)，若a∥b,则实数 入= A.0 B.2 C.-1 D.-2 3.（多选)(2024·安徽合肥高二月考)对于任意 非零向量a=(x1,y1,1),b=(x2,y2,2),以下 说法错误的有 A.若a⊥b,则x1x2+y1y2+2122=0 B.若a∥b,则-= x2y222 x1x2+y1y2+z122 C.cosa,b〉= 好+y+坛·√好++ D.若x1=y1=z1=1,则a为单位向量 4.(2024·重庆九龙坡区高二期末)已知向量 a=(1,1,√2)，b=(-3,2,0),则a+b在a上的 投影向量为 A.(22,2 3332 15530) B.(10,1010 c层3) . 5.（2024·陕西西安高二期末)若A(x,5-x,2x 1),B(1,x+2,2-x),当1AB1取最小值时，x的 值等于 A.19 8 B.-7 C. 019 14 第6章 句量的坐标表示 6.（多选)(2023·重庆永川区高二月考)已知点 P是△ABC所在平面外一点，若AB=(-2,1, 4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则（) A.AP⊥AB B.AP⊥BP C.IBC1=√53 D.AP∥BC 7.(2024·江苏连云港高二期中)已知{a,b,c} 是空间的一个基底，{a+b,a-b,c}是空间的 另一个基底，一向量p在基底{a,b,c}下的坐 标为(4,2,3)，则向量p在基底{a+b,a-b,c} 下的坐标是 () A.（4,0,3) B.（3,1,3) C.(1,2,3) D.(2,1,3) 8.(2024·山东省实验中学高二期末)已知a= (1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a 与b的夹角为 9.(2024·广东东莞高二期末)已知空间两点 A(1,2,3),B(2,4,5),则与AB方向相同的单 位向量的坐标是 10.（2024·河南郑州高二月考)若向量a= 1,2,m)b=分21c=01,2) 共面，则n= 11.(2024·江苏扬州高二月考)已知点0(0,0， 0),A(1,2,2),B(2,1,1),P(1,0,2),点Q 在直线OP上运动，当OA·OB取得最小值 时，点Q的坐标是 第2关练准确率 8题为准，你做对题 12.一束光线自点P(1,1,1)出发，被平面x0y 反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所 经过的距离是 () A.√37B.33C.√47 D.√57 学霸013 13.（多选)(2024·福建福州高二月考)已知向 量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列 结论中正确的是 () A.若|al=2,则m=±√2 B.若a⊥b,则m=-1 C.不存在实数入，使得a=入b D.若a·b=-1,则m=1 14.（2023·浙江杭州高二期末)设空间两个单 位向量OA=(m,n,0),OB=(0,n,p)与向量 0=(1,1,1)的夹角的余弦值均为 ,则 (0A,0》= A君 B.Tr 4 c D. 2 15.(2024·山东烟台高二月考)在正方体 ABCD-AB1C,D1中，点P在线段BD1上，且 D,P=入D,B(0<入<1).当∠APC为锐角时， 实数入的取值范围为 Ao,2) B(分 c.(o,3) D(3 16.(2024·山东菏泽高二期末)一平面截正四 棱锥P-ABCD,与棱PA,PB,PC,PD的交点 依次为A1,B1,C1,D1,已知PA=3PA,PB1= 之Pg,PC,=PC,PD,=APD,则入的值为 1 A.9 B. 5 2 选择性必修第二册·SJ学 7.（2024·安徽安庆高二月考)如图，在直三棱 柱ABC-AB,C1中，∠BAC=90°，AB= AC=AA1=4,点G,E,F分别是A1B1,CC1,AB 的中点，点D是AC上的动点.若GD LEF,则 线段DF的长度为 G B: (第17题) (第18题) 18.（2024·福建福州高二期末)如图，在四棱锥 D,-ABCD中，D,D⊥底面ABCD,底面ABCD 是边长为6的正方形，且四棱锥D1-ABCD 的外接球的表面积为81π，点E在线段AD 上，且2DE=EA,M为线段BE的中点，则 点M到直线DC上任意点的距离的最小 值为 19.(2024·江苏徐州高二月考)已知空间三 点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC (1)若1cl=3,c∥BC,求c; (2)求a与b的夹角的余弦值； (3)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k. 霸014 20.如图，在空间直角坐标系A-xyz中，E(0,0, 1),B(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0) (1)求向量BC在向量EF方向上的投影的 数量 (2)是否存在实数a,使得点E,F,C,B共 面？若存在，求出a的值；若不存在，说 明理由。 第3关练思维宽度难度级别：女女女女女 21.(2024·江苏连云港高二月考)已知长方 体ABCD-AB1C1D1中，AB=4,BC=3,AA1=2, 空间中存在一动点P满足IBP1=1,记I,= AB.A,1=AD·AP,L=AC·AP,则( A.存在点P,使得I1=2 B.存在点P,使得I1= C.对任意的点P,有I1>12 D.对任意的点P,有I2>I3 第6章学 22.（2024·山东青岛高二月考)空 间中，两两互相垂直且有公共原 视频讲解 点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系 中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系 称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系， 它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这 种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空 间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下 向量的斜60°坐标：i,Jj,k分别为“斜60°坐标 系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的 单位向量，若向量n=xi+yi+zk,则n与有序 实数组(x,y,z)相对应，称向量n的斜60°坐 标为[x,y,z],记作n=[x,y,z]. (1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的 斜60°坐标. (2)在平行六面体ABCD-AB,C,D1中， AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1= ∠DAA1=60°，如图，以{AB,AD,AA1}为 基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若B2=EB1,求向量ED1的斜60 坐标； ②若Ai=[2,t,0],且AM1AC,求 |AM1. A、 y D 霸015}成o=[}(++2成+ò)] 0i+0元+0i 第2课时空间向量的坐标表示 第1关（练速度） 1.C解析：易知=(0,3,2)，B=(-2,0,2),所以)8成=(-1,0， 1),因此可得B武-(1,31).故选C 2.D解析：由a∥b,可设b=ua,则(2，A+1,A)=(uM,,2),所以 (2=入， A+1=,所以-故选D λ=-2， (λ=2μ， 3.BD解析：对于A选项，因为a⊥b,所以a·b=x1x2+y1y2+12= 0,A选项正确；对于B选项，若x2=0,且y2≠0,2≠0，若a∥b,但 分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐 x1x2+y1y2+2122 标运算可知cos〈a,b〉= ,C选项正确； √x好+y7+z好·√+y吃+ 对于D选项，若x=y1=1=1,则|al=√2+12+12=3，此时，a 不是单位向量，D选项错误故选BD. 4.C解析：a=(1,1,2),b=(-3,2,0),a+b=(-2,3,2), .(a+b)·a=-2×1+3x1+2x2=3,1al=√12+12+(2)2= 的在n上的级影狗强为·台子12 (3,3,32）,故选C 44,4 5.C解析：因为A(,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),所以AB=(1-x, 2x-3,-3x+3),则1A店1=√(1-x)2+(2x-3)2+(-3x+3)7= √-32+19，当=9时，取最小值，故选C 6.AC解析：A.A店=-2-2+4=0，故A正确；B=A市-A店=(3， -3,-3),A币.B=3+6-3=6≠0，故B不正确；B武=A元-A花=(6， 1,-4),1B武1=√62+12+(-4)7=53，故C正确；2=(1，-2， 1),B元=(6,1，-4)，各个对应分量的比例不同，故D不正确.故 选AC. 方法总结 空间向量的平行、垂直的坐标表示： 设a=(a1,a2,a3）,b=(b1,b2,b3),则 a1=A61, 平行(a∥b)》 a∥b(b≠0)台→a=λb白a2=Ab2,(入eR) a3=Ab3 垂直(a⊥b) a1ba·b=0台a1b1+a2b2ta3b3=0(a,b均为 非零向量) 7.B解析：设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则 p=x(a+b)+y(a-b)+zc,又向量p在基底{a,b,c下的坐标为(4， 2,3),则p=4a+2b+3c,所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即 x+y=4,x=3, 4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以{x-y=2,解得{y=1,所以向 x=3, （z=3, 量p在基底{a+b,a-b,c下的坐标为(3,1,3).故选B. 8石解折：因为a=(10,1),0=(1,2)40=3,所以+2=3， 蟹得=l,所以sa,6)=8论5因为a,6)e0 参考答案 ],所以(a,6)=石故答案为君 0.(兮号，子）解折：易特=(1,22)，1=V下2+7 3清服证方的相时省险显为亮女亮-（付子 子)故答案为（行子子）】 10.子解折：由于a=(1,2,),=(分，分1）c=(0,1 )共面，可设a=+e,即1,2，)=（分，， 11= 2*， （0,2)(行子），可得-2=y子，解 -n=x-2Y, x=2, 得 y=-1,故答案为2 7 7 n--2 1.(00,号）解标：由题设，0=(10,2，则成=A命 9 (A,0,2A),A∈R, 令Q(x,y,z),则0=(x,y,z),所以x=入，y=0,x=2A,则Q(A,0, 2),故QA=(1-A,2,2-2A),Q=(2-,1,1-2),所以QA· QB=(1-A)(2-A)+2+2(1-A)(1-2A)=A2-3A+2+2+2(2λ2- A+1-5n-以+6=5品）广核当A-品..应 取得最小信，比时点Q的坐标为（品.0，号）故答案为（侣。 9 第2关（练准确率） 12.D解析：点P关于平面xOy的对称点为P'(1,1,-1),则光线所 经过的距离为P'Q=√(3-1)2+(3-1)2+(6+1)下=√57. 13.AC解析：对于A,由1a|=2,可得√2+(-1)2+m2=2,解 得m=±√2，故A选项正确；对于B,由a⊥b,可得-2-m+1+2m= 0,解得m=1,故B选项错误；对于C,若存在实数入，使得a=Ab, 则-2A=1,m=2A,-1=A(m-1),显然A无解，即不存在实数A, 使得a=入b,故C选项正确；对于D,若a·b=-1,则-2-m+1+ 2m=-1,解得m=0,故D选项错误.故选AC. 方法总结 利用向量坐标运算解决问题的关镀是熟记向量坐标运算的法则，同 时掌握下列技巧： (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a+b)·(a-b)=a2- b2=1a2-1b12,(a+b)·(a+b)=(a+b)2等. (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可以先进行化 简再代入坐标运算，如计算(2a)·（-b),既可以利用运算律把它化 成-2(a·b),也可以先分别求出2a,-b,再求数量积；计算(a+b)· (a-b),既可以先求出a+b,a-b,再求数量积，也可以把(a+b)· (a-b)写成a2-b2后计算. m2+n2=1, n2+p2=1, m2+n2=1, 14.C解析：由题意可得cs(O,0心-m+n_6 33,则 2+p2=1,即 +n=√2， os(0i,0d)=n+2=6 (n+p=/2, 33, 学霸09 n-msp=1 号又c0,=n2,即c(o,a=子，且( O商e[0,],所以（可，=牙故选C 15.C解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1，则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),则 D1B=(1,1,-1),所以D1P=ADB=(,A,-),所以PA=PD+ D1A=(-A,-A,)+(1,0,-1)=(1-A,-A,A-1),P元=PD+D元= (-入，-入，)+(0,1，-1)=(-入，1-A,A-1).由图可知，∠APC≠0， 所以LAPC为锐角等价于cosLAPC>:0,所以Pi·P元=(1-入，-A, A-1)·(-入，1-A,A-1)=(1-A)(-A)+(-A)(1-A)+(A-1)2= (A-1)(3A-1)>0.又0<A<1,解得0<A<写故选C D C XKA 16.B解析：如图，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC,BD相交于点 O,连接PO,则PO⊥平面ABCD,且AC⊥BD, 以0为原点，分别以OA,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立空间 直角坐标系，设0A=a(a>0),0P=c(c>0),由PA1=了PA,PB1= PB,PG=PC,Pm=APD,可得A(行0，号)A(0, 受）G（分0，华)，(0，ac-,则4g (号g6)）4G(沿0,6)4(， 号-以)因为A1,B1,C1,D,四点共面，所以存在x,y满足A1D 号（号)·() d+aC,即a=·（号)y0, 5a=…(6)y· 4s-2 5, 解得 ,故选B 4 y= As I 51 A 17.5解析：如图，以点A为原点，以A店，A花，AA的方向分别为x,y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，则E(0,4,2),F(2,0,0), G(2,0,4),设D(0,y,0),则G=(-2,y,-4),E=(2,-4,-2). 因为GD1EF,所以Gi.E=-2x2-4y+(-4)×(-2)=0,得y=1, 即D(0,1,0),所以FD=√(2-0)2+(0-1)2=√5，故答案为V5. 选择性必修第二册·SJ B C B 重难点拨 求向量的坐标，应先找到向量起点和终点的坐标，若没有空间直角 坐标系，应先建系.同一几何图形中，由于建立的空间直角坐标系不 同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但本质是一 样的. 18.√I7解析：因为D1D⊥底面ABCD,所以D1D⊥AD,D1D⊥DC.因 为底面ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D为坐标原点，以DA的 方向为x轴正方向，D心的方向为y轴正方向，DD的方向为z轴正 方向建立坐标系，如图. 设四棱锥D1-ABCD的外接球的半径为r,由外接球的表面积为 81m,得4r=81,所以7=号，D,=2=√56+36+1D,D=9,所 以D1D=3,所以A(6,0,0),D1(0,0,3).又2DE=EA,即2D1它=EA, 设E(x,y,),所以D,店=(x,y,2-3),=(6-x,-y,-2),所以 (2x=6-x, x=2, 2y=-y,所以y=0,所以E(2,0,2).又B(6,6,0),因为M为 2(z-3)=-2, z=2, 线段BE的中点，所以M(4,3,1).设直线DC上一点Q(0,t, 0),MQ=√16+(t-3)2+1=√17+(t-3)2,所以当t=3时，点M到 直线DC上任意点的距离最小，且最小值为√7.故答案为√17. 19.解：(1)因为B(-1,1,2),C(-3,0,4),所以B武=(-2，-1,2).又因 为c∥B元，所以c=(-2x,-A,2λ）.又因为1c1=3,所以 √(-2A)2+(-)2+(2)7=3,解得A=±1，因此c=(-2,-1,2) 或c=(2,1,-2) (2)因为a=A店=(1,1,0)，b=AC=(-1,0,2),所以a与b的夹角 ~1 的余弦值为alIb12x√)2立 (3)因为ka+b与ka-2b互相垂直，所以(ka+b)·(ka-2b)=0 a2-ab-28=0-2+k-10=0-6=号度=2 20.解：(1)因为E(0,0,1),B(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0),所以 E=(0,2,1),B元=(a-1,2,0), 所以向量BC在向量EF方向上的投影的数量为 E.B武0x(a-1)+2×2+1×0_4_4W5 IEFL √02+22+1255 (2)存在实数a,使得点E,F,C,B共面. 由题意得，E=(1,0,-1),E=(0,2,1),BC=(a-1,2,0), 若点E,F,C,B共面，则存在实数x和y,使得E=xE+yB武， (1=y(a-1), (x=-1, 所以0=2x+2y,解得{y=1,所以存在实数a=2使得点E,F, -1=x, a=2, 学霸10 C,B共面. 第3关（练思维宽度） 21.C解析：以B1为坐标原点，B1A1所在直线为x轴，B1C1所在直 线为y轴，B1B所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， B D 则B(0,0,2),A(4,0,2),D(4,3,2),C1(0,3,0),设点P(x,y,z), 所以A店=(-4,0,0)，A2=(x-4,y,2-2),A币=(0,3,0)，AC= (-4,3,-2),B1产=(x,y,z).因为1B11=1,所以x2+y2+2=1,所 以x∈[-1,1]，y∈[-1,1]，ze[-1,1],所以11=A店.A2=-4(x 4),12=A.A=3y,13=AC·A2=-4(x-4)+3y-2(z-2),1- 12=-4(x-4)-3y=16-4x-3y>0恒成立，故C正确，A不正确；1- 6=-y+2(-2)=4-3+2,令1=，则y=24,= 9 1√2,1316e+16 9 4×13×16-162 √/13z2-16z+16V4×13 4 3 3 >1，矛盾，所以B不正 确；2-13=4(x-4)+2(z-2)=-20+4x+2z<0恒成立，所以D不正 确.故选C. 22.解：(1)由a=[1,2,3],b=[-1,1,2],知a=i+2j+3k,b=-ij+2k 所以a+b=(i+2j+3k)+(-iti+2k)=3j+5k,所以a+b=[0,3,5]. (2)设i,k分别为与A店，4d,A同方向的单位向量，则A店=2， AD=2j,AA=3k, ①油题得E为BB,中点，ED=AD-A应=(A市+AM)-A店+ d）-破动2d-2*29*=[22,] ②由题意可得AC=A店+A+AA=2i+2+3k,因为AM=[2,,0], 所以A成=2i+.由A立1AC知AM.AC=(2i+)·(2i+2j+3k)= 0,所以42+2t+(4+2t)i·j+6k·i+3k·j=0,即4+2+(4+ 20·子+3=0，解得4=-2，则1=12i-21=V- √42+4-8i·万=√4+4-4=2. 6.3空间向量的应用 第1课时直线的方向向量、平面的 法向量及空间线面关系的判定 第1关（练速度） 1.D解析：点A(0,1,2),B(2,5,8)在直线1上，直线l的一个 方向向量为=(2,46).又：(1,23)=之(24,6)(1,23) 是直线1的一个方向向量.故选D, 2.D解析：因为a·u=-3+4-1=0,所以a⊥u,所以l∥a或lCa.故 选D. 3.C解析：设平面a内任意一点P(x,y,),则A=(x-2,y+1,2-2), 因为平面。的-个法向量为a=(分，石，写），所以子(-2)+ 参考答案 名(+1)+兮(：-2)=0，整理得3+2-9=0面3-1+2-9=-5 0,3-3+3-9=-6≠0,3+3+3-9=0，-3+3-3-9=-12≠0，所以对比 选项可知只有户(1,3，子)在平面a内散选C 4.A解析：由题意可得A应=(0，-2，-4)，设经过直线1和点A的平 面的法向量为a=(,2,则：3女0，令=1，则 (n·8=2xty+z=0, y=-4,z=2,所以n=(1,-4,2),所以经过直线1和点A的平面π 的法向量为(t,-4t,2)(teR,t≠0).故选A 方法总结 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向 量，设出平面的法向量，列出方程组，求出的三个坐标不是具体的 值，而是比例关系，取其中一组解（非零向量）即可 5.BD解析：对于A,向量m1=(0,1,3)与n2=(1,2,6)不共线，平面 。与B不平行，A错误，对于B,由a=(1,-1,2),b=(21,2） 1） 得a·b=1×2-1x1+2x（20,1与m垂直，B正确：对于C, a·n=1×(-1)+(-1)×(-1)=0,a∥a,则1Ca或l∥a,C错误：对 于D,B=(1,-1,-1),B元=(-1,1,0)，由n=(1,4,t)是平面a的 法向量，得 BA·1u0解得{0，即u+t=1,D正确故 Bt·n=-1+u=0, 选BD. 6.ABC解析：由题意可得B(0,0,0),A(0,2,0),C(2w3,0,0),P(0, 2,2),所以P元=(23，-2，-2)，B=(0,2,2).设n=(x,y,z),则 23x-2y-2z=0,取z=2,可得n=(0,-2,2) (2y+2z=0, 因为AB⊥BC,PA⊥BC,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.因为BCC 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB,所以m⊥n,所以cos(m,n〉= 0.综上所述，A,B,C错误，D正确.故选ABC. 7.A解析：如图所示，建立空间直角坐标 系A-xyz,设AB=1,则A(0,0,0),B1(1,0, 0,c0.1,4(0.0).s(分7 B 0,.AB=(1,0,1),AC=(0,1,1), E 4在-（分宁-1）小设平面4，C,的法 AB1·n=x+z=0, 向量为n=(x,y,z),则 AC·n=y+z=0, 令z=-1,则x=y=1,故n=(1,1,-1),.A1E·n≠0，故A1E与平 面AB,C1不平行.又：A1E与n不共线，A1E与平面AB,C,不垂 直，即A1E与平面AB1C1相交但不垂直 重难点拔 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可 能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直 线、平面的要素) 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍 然离不开立体几何的有关定理 8.必要不充分解析：若1，"2不平行，则1,2相交或异面；若l1,2 异面，则1,2不平行.所以“1,2不平行”是“1,2异面”的必要 不充分条件.故答案为必要不充分， 9.平行解析：平面a的法向量为m=(2,-1,4),且AB=(2,0,-1), A花=(1,6,1)，m·A店=2×2+4×(-1)=0，m·A花=2×1+(-1)×6+ 学霸11