6.1 第3课时 共面向量定理-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第3课时 第1关练速度 15min为准，你的时间： 1.（2024·四川成都高二期中)对于空间中的任 意三个向量a,b,2a+4b,它们一定是() A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 2.(多选)下列命题中是真命题的为() A.若p与a,b共面，则存在实数x,y,使p= xa+yb B.若存在实数x,y,使向量p=xa+yb,则p与 a,b共面 C.若点P,M,A,B四点共面，则存在实数x, y,使MP=xMi+yMB D.若存在实数x,y,使MP=xMA+yMB,则点 P,M,A,B四点共面 3.(2024·江苏泰州高二月考)0为空间任意一 点，若=oi+日Oi:0C,若A,B,C,P四 点共面，则t= A.1 C.I D.1 8 4.下面关于空间向量的说法正确的是() A.若向量a,b不平行，则a,b所在的直线一 定不共面 B.若向量α，b在正方体的任意两条棱所在的 直线上，则a,b不一定共面 C.若A,B,C,D四点不共面，则向量AB,CD不 共面 D.若A,B,C,D四点不共面，则向量AB,AC, AD不共面 第6皇 共面向量定理 5.(多选)(2024·江苏徐州高二月考)若a,b,c 是空间中不共面的一组向量，则下列向量共 面的是 A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c 6.(2024·广东广州高二期末)在下列条件中， 一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是 A.0M=20A-0B-0C Bomi-4oi+丽+oc C.0M+0A+0i+0元=0 D.oi=后i+goi+od 6 7.（2024·河南郑州高二期中)在棱长为1的正 方体ABCD-AB1C1D1中，E,F,G分别在棱 B,BC,BA上，且满足庞-8B,丽-C, B配=，0是平面B,G印平面ACE与平面 B,BDD,的一个公共点，设BO=xBG+yB+ zBE,则x+y+z= B.5 c 8.已知点P为三棱锥O-ABC的底面ABC所在平 面内的-点，且0币=}oi+m0i-n0心(m,n∈ ● R),且m=习，写出一组满足条件的， n:m= ,n= 9.以下命题： ①两个共线向量是指在同一直线上的两 个向量； 学霸007 ②共线的两个向量互相平行； ③共面的三个向量是指在同一平面内的三个 向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三 个向量 其中，正确命题的序号是 10.(2024·安徽安庆高二期中)已知i,j,k不共 面，AB=i-2i+2k,BC=2i+i-3k,CD=λi+3i-5k, 且A,B,C,D四点共面，则入的值为 11.（2024·山东济南高三月考)在三棱柱 ABC-A,B,C1中，Ai=2MB,A1=mA1C,且 BN∥平面A,CM,则m的值为 第2关练准确率日题为准，你做对题 12.（2024·江西新余高二期末)已知点D在 △ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意 一点，正实数x,y满足0i=30元-x0A-y0店 则2+二的最小值为 x Y A.1+√2 B. C.1+22 D.3+22 13.（多选)对于空间任意一点0和不共线的三 点A,B,C,有如下关系：60P=0A+20B+ 30C,则下列说法错误的是 A.四点0，A,B,C必共面 B.四点P,A,B,C必共面 C.四点O,P,B,C必共面 D.五点O,P,A,B,C必共面 14.（2024·安徽淮北高二期末)对于空间任意 一点0和不共线的三点A,B,C,且有OP= 选择性必修第二册·SJ学 x0A+y0i+z0元(x,y,z∈R),则x=2,y= -3,z=2是P,A,B,C四点共面的（) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.(2023·湖南永州高二期末)如图，在四面 体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD, DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空 间任意一点0都有OA+OB+OC+OD=kOM, 则k= () 1 1 A. 4 .2 C.2 D.4 B (第15题) (第16题) 16.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所 在的平面互相垂直，点M,N分别在对角线 BD,AE上，且BM=BD,AN=4E则下列 说法正确的是 A.向量MN,CD,DE共面 B.向量BA,CD,EC共面 C.向量FA,DE,MN共面 D.向量BA,CD,MW共面 17.(2024·河北保定高二期中)已知圆锥P0(P 为圆锥顶点，0为底面圆心)的轴截面是边长 为2的等边三角形，A,B,C为底面圆周上三 点，空间一动点Q,满足PQ=2xPA+yPB+ (1-2x-y)PC,则1PQ1的最小值为 霸008 18.下列命题中为真命题的是 .(填 序号) ①若A1A2+A2A3+A3A1=0,则A1,A2,A3三点 共面； ②若A1A2+A2A3+AA4+A4A1=0,则A1, A2,A3,A4四点共面； ③若A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An+AnA1=0, 则A1,A2,A3,…,An这n个点共面. 19.如图所示，已知A,B,C及A1,B1,C1分别是 异面直线l1,2上的三点，点M,N,P,Q分别 是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求 证：M,N,P,Q四点共面. 20.(2024·福建福州高二期中)如图所示，四面 体O-ABC中，G,H分别是△ABC,△OBC的 重心，设0A=a,OB=b,OC=c,点D,M,N分 别为BC,AB,OB的中点 (1)试用向量a,b,c表示向量M,0G; (2)试用空间向量的方法证明M,N,G,H四 点共面. 第6章 第了关练思维宽度难度级别：女女女女☆ --》 21.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平 面外-点，点Ⅱ为P心上一点，H记点 G在上，且份m,若c,B,PD四点共 面，则m的值为 22.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的 重心，点M在PG上，且PM=3MG,过点M 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于 点D,E,F,若PD=mPA,P元=nPB,P=tP元， :1++上为定值，并求出该定值 求证： m n t 学霸0091,1,1,1,1,113 72721836183636 第3课时共面向量定理 第1关（练速度） 1.A解析：若a,b不共线，则由空间共面向量定理知，a,b,2a+4b共 面；若a,b共线，则a,b,2a+4b共线，也共面故选A. 2.BD解析：对于A项，若a=b=0,p≠0，则不存在实数x,y,使得p= xa+yb,故A项错误； 对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数x,y,使向量p= xa+yb,则p与a,b共面，故B项正确； 对于C项，若M=M店=0，M≠0，则不存在实数x,y,使M亦=xMA+ yM店，故C项错误； 对于D项，根据平面向量基本定理，可知若存在实数x,y,使M心= x+yMB,则M,M,M共面，所以点P,M,A,B四点共面，故 D项正确. 故选BD. 3.C解析：因为市-0亦-a,所以4ai+日O+:0成可化简 为o-0=-4oi+i+:0成，即o亦=3o+}i+0d 因为4，BC,P四点共面，所以子=1，解得=故选C 4.D 5.ABD解析：由共面向量的充要条件可得： 对于A选项，b=之(b4e)+(-e),所以b+c6,-e三个向量 共面； 对于B选项，a=2(a+b)+2(a-b),所以a,a+b,a-b三个向量 共面； 对于C选项，假设a+b,a-b,c三个向量共面，则存在x,y(x,y∈ R),使得c=x(a+b)+y(a-b),则c=(x+y)a+(x-y)b,即c,a,b 三个向量共面，这与已知a,b,c是空间中不共面的一组向量矛盾， 故假设错误，即a+b,a-b,c三个向量不共面.故C不正确； 对于D选项，a+b+c=(a+b)+c,所以三个向量共面. 故选ABD. 易错提醒 如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在实数对(x,y),使p=xa+yb.在判断空间中三个向量共面时， 注意“两个向量a,b不共线”的要求. 6.D解析：对于A,0i=20A-0成-0元中，2+(-1)+(-1)=0≠1，A 不是； 对于B,成：++成，好+好+好子1，B 不是： 对于C,0M+0i+0+0t=0化为0M=-0i-0-0元，-1+(-1)+ (-1)=-3≠1，C不是； 对于n成名神合了号1，D是 故选D. 方法总结 1.在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是Oi=xO成+y0元（其中 x+y=1),0为平面内任意一点. 2.在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是0=xOA+yO+ z0(其中x+y+z=1),0为空间中任意-点. 7.B解析：因为市=B底+yB成+：成-xB+yB床+3BB,0在平面 B,60内，所以+至1同理可得宁=1，y,解得x 参考答案 与子所以日放选B 81(或7-1）解折：0亦2im0i-n0心(m,ae 风，且P,BG共面子ma=1→m-a=分又am=号，解 1 得m=1,a=分或m=分=-1 9.②④解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确. 10.1解析：因为A=i-2j+2k,B武=2i+j-3k,Ci=i+3-5k,所以 A元=AB+B武=3i-j-k,Ad=A元+Ci=(3+A)i+2j-6k. 因为A,B,C,D四点共面，所以存在唯一的(x,y),使得A=xA应+ yA花，即(3+A)i+2i-6k=x(i-2i+2k)+y(3i-j-k),即 (x+3y=入+3，(x=-2, 2x+y=-2,解得入=1，故答案为1. (2x-y=-6,（y=2. 1.子解折：如图，不纺设店=a,4衣-b,d-c,依题意，成=子a, 风-d-瓜号店=c-子，成-花-成-6子a,因为 A市=mA1C=mb,所以B成=BA+A衣=c-a+mb.又因为Bw∥平 面A1CM,所以B成，MA,M元必共面，即存在A,A∈R,使B成= Ag成，即c-atn=A(c-号a)r(b-子a）,从面有 子aw- u=m, 解得m=分放答案为宁 入=1， N A M B 重难点拨 BN∥平面A1CM即B与平面A1CM内的任意向量均共面， 第2关（练准确率） 12.B解析：因为O币=30元-x0i-y0店，且A,B,C,D四点共面，所以 由空间四点共面的性质可知3-x-y=1,即x+y=2.又x>0,y>0,所 2号(2）号(2）号(3 2子)+当且仅当即=4-2 2-2时等号成立，所以2}的最小值为子+反赦选B x 13.ACD解析：因为60市=0i+20+30元，所以0市-0i=2(O市 0币)+3(0元-0币)，即A=2P+3P元.根据共面向量基本定理，可 得A,P,P元共面，所以P,A,B,C四点共面. 14.B解析：对于空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,且0= xOA+yO点+zO(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面等价于x+y+ z=1,若x=2,y=-3,z=2,则x+y+z=1,所以P,A,B,C四点共面； 若P,A,B,C四点共面，则x+y+z=1,不能得到x=2,y=-3,z=2, 所以x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件， 故选B. 15.D解析：因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，所以 EH∥FG,EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面，且四边形EFCH为平 行四边形，故M为EG的中点.所以OA+0品=20市，0元+Oi=20t, 学霸05 0+0t=20城，所以0i+0+0元+0品=2(0成+0)=40成，故k=4 故选D. 16.A解析：因为M在BD上，且BM=子BD,所以应=子成- }耐+子成同理，成号动号应， 所以=脑+威+=（兮成+号应）+威+（兮动+ }成）-子威成=子动+成 又C与D成不共线，根据向量共面的充要条件可知M,C,D 共面. 17.3解析：因为P=2xPi+yP店+(1-2x-y)P元，所以P-P元= 2xPi-2xP心+yPi-yP元，Cd=2xCi+yC店，所以Cd,Ci,c共面. 又A,B,C为底面圆周上三点，所以点Q为平面ABC上一点.由已 知P01平面ABC,所以1P1≥1P⑦1.又圆锥P0的轴截面是边长 为2的等边三角形，所以P⑦1=V3,所以1P1的最小值为3，故 答案为3. 18.①解析：在空间四边形A1424344中，有A142+A2A+AA+ A4A1=0,但四点不一定共面，故②③都不正确. 19.证明：如图，连接NM,WP,PQ,Q,PC,PC易知=号B,= 之4瓜威=2@4E=2,成=之成+pC=子(i+ Bd+PR+B,C)=之(B+B,C(*). A,B,C三点共线及A1,B1,C1三点共线， 存在实数A,ω，使得B元=入BA=2ANi,B1C=wAB=2wN, 代人(*)式，得P成=之(2A成i+2w)=A减+u应，= ANi+(a+1)N2,N,NM,N共面. 又Nd,N,NP过同一点N, .M,N,P,Q四点共面。 C 方法总结 要证四点共面，可先作出从同一点出发的三个向量，由向量共面推 知点共面，应注意待定系数法的应用 20.(1)解：m可=-之，因为0心-成+忘，面衣子动，- O励-成又D为BG的中点，所以o市=子(O成+0d),所以0d i+号市-o+子(a励-oi=o+子×(i+ad)-子= 子(oi+oi+o心=子(a+b+e). (2②)证明：因为动-0成-0成，耐=号成=号×(0成+0d) 3 号（(6e),所d动：子b*e)-宁（(a+be)=了a=-号成又 因为成=-)，所以成=了成所以M,N,G,H四点共面。 选择性必修第二册·SJ 第3关（练思维宽度） 21.解析：连接BD,BG店=店-成，应-成成=店-i :成=励成成=励+成-成-i+成+成股 …戒=了(-成++动)=}成+}成+}成 又：-励减…动戒+成花 m智成受+公成成迹成减店花成 (等)+（兮-1）成+兮成又：c,BP,D四点共面， 1智=0，解得m子 3 22.证明：如图，连接AG并延长交BC于H,由题意，令P,P市，P元为空 间向量的一组基底， B 则成成-？（成+=成+×号应子成+子× 证成店威+成+成 2 4 连接DM,点D,E,F,M共面，存在实数A,H, 满足DM=aD泥+μD凉，即P-P=A(P元-Pi)+μ(p-Pi), 因此P=(1-A-u)Pi+AP2+uP市=(1-A-u)mPi+AnP店+ tP元， 由空间向量基本定理知，(1--u)m=n=w=4, 故1+1+=41-A-w)+4A+4u=4,为定值 m n t 6.2空间向量的坐标表示 第1课时空间向量基本定理 第1关（练速度） 1.A解析：向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一 定有a与b共线，故选A. 2.A解析：对于A选项，不存在x,yeR使得a=xm+ym=x(b-2c)+ y(b+2c)成立，故能构成空间的另一个基底； 对于B选项=m宁=宁（-2)+宁(b+20),故不能构成 空间的另一个基底； 对于C选项，6=宁=-24)（6r2g),故不能构 成空间的另一个基底； 对于D法项，e=+子-子-29+(6r2如，故不能的 成空间的另一个基底 故选A. 3.D解析：a,b,c是空间的一个基底，故a,b,c不共面.A选项，设 (n=1, a+b=m(b+c)+n(c+a)=na+mb+(m+n)c,则m=l,无解，故a+ m+n=0, b,b+c,c+a不共面，故{a+b,b+c,c+a可以构成空间的一个基底； 学霸06