6.1.3 共面向量定理 分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 以“共面向量定理”为核心，通过A、B、C三层设计实现从概念理解到综合应用的梯度进阶，强化空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|基础概念与直接应用|选择、填空题为主，如向量共面判断（第1题）、四点共面基础计算（第2题），巩固概念辨析与简单推理| |B层|共面定理综合应用|多选题（第10题）与中档证明题（第14题）结合，涉及参数求解与线面平行论证，提升逻辑推理能力| |C层|拓展探究与综合论证|开放探究题（第16题），融合平行四边形性质与共面定理，培养模型观念与创新意识|

6.1.3　共面向量定理 A层 基础达标练 1.下列说法错误的是(　　) A.若a,b是两个空间向量,则a, b一定共面 B.若a,b是两个空间向量,则a·b=b·a C.若a,b,c是三个空间向量,则 a,b,c一定不共面 D.若a,b,c是三个空间向量,则 a·(b+c)=a·b+a·c 2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6+2+3,则一定有(　　) A.O,A,B,C四点共面 B.P,A,B,C四点共面 C.O,P,B,C四点共面 D.O,P,A,B,C五点共面 3.已知P为三棱锥O-ABC的底面ABC所在平面内的一点,且+m-n(m,n∈R),则m,n的值可能为(　　) A.m=1,n=- B.m=,n=1 C.m=-,n=-1 D.m=-,n=-1 4.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.若a,b是两个单位向量,则|a|=|b| B.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 C.若a,b,c为任意向量,则(a+b)+c=a+(b+c) D.空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内 5.已知不共面,且A,B,C,D四点共面,=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=　　　　　.  6.如图,在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD. B层 能力提升练 7.已知M,A,B,C四点共面,并且对空间内不在平面ABC内的一点O,有=x,则实数x的值为(　　) A.1 B.0 C.3 D. 8.已知非零向量e1,e2不共线,若=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,则A,B,C,D四点(　　) A.一定共线 B.恰是空间四边形的四个顶点 C.一定共面 D.一定不共面 9.若平面α内有五点A,B,C,D,E,其中任意三点不共线,O为空间内且不在平面α内的任一点,满足+x+y=2x+y,则x+3y等于(　　)　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 10.(多选题)下列命题是真命题的是(　　) A.向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面 B.若p=xa+yb(x,y∈R),则向量p与向量a,b共面 C.若向量p与向量a,b共面,则向量p可以由两个向量a,b线性表示 D.若E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则E,F,G,H四点共面 11.(多选题)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,给出下列条件,其中点P一定与点A,B,C共面的是(　　) A. B. C.=2-2 D.=-2+2 12.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为　.  13.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　　　.  14.如图,在四面体ABCD中,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD. C层 拓展探究练 15.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足). (1)判断三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. 16.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量=k=k=k=k,k∈R且k≠0. 求证:(1)点E,F,G,H共面; (2)AB∥平面EFGH. 参考答案 1.C　A:因为向量可以平移,所以若a,b是两个空间向量,则a,b一定共面,正确.B:因为向量的数量积满足交换律,所以若a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,正确.C:若a,b,c是三个空间向量,则a,b,c可能共面,可能不共面,故C错误.D:因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律,所以若a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c,正确.故选C. 2.B　由6+2+3, 得=2()+3(), 即=2+3, 所以共面且有公共起点P. 所以P,A,B,C四点共面.故选B. 3.C　∵+m-n(m,n∈R),且P,A,B,C四点共面,∴+m-n=1⇒m-n=,只有m=-,n=-1符合.故选C. 4.ACD　由单位向量的定义知,|a|=|b|=1,所以A正确; 因为相等向量不一定有相同的起点和终点,所以B错误; 由向量的加法运算定律知C正确; 在空间确定一点后,可将两向量的起点移至该点,两向量所在直线确定一个平面,这两个非零向量就共同在这个平面内,所以D正确.故选ACD. 5.-1　由题意,得=2x+3y+4z=-2x-3y-4z. 由四点共面知,-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1. 6.证明 记=a,=b,=c, 则=a+c,=a-b, b+c, 所以=a+c=. 又不共线,所以共面. 因为AB1不在平面C1BD内,所以AB1∥平面C1BD. 7.D　∵=x,且M,A,B,C四点共面,∴x+=1,∴x=. 8.C　由题意,设=x+y=(2x+3y)e1+(8x-3y)e2=e1+e2,x,y∈R,则解得,所以A,B,C,D四点一定共面. 9.B　由点A,B,C,D共面,得x+y=. ① 又由点B,C,D,E共面,得2x+y=. ② 联立①②,解得x=,y=,所以x+3y=. 10.BD　由共面向量的定义可知A错误,B正确; 对于C,若向量a,b共线,则C错误; 对于D,因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点, 所以,所以, 所以E,F,G,H四点共面,故D正确.故选BD. 11.AB　对于A,)+)=,即, 则,所以点P与点A,B,C四点共面,故A正确; 对于B,原式可化为5+2+2,所以()=2()+2(),所以=2+2, 即=-2-2,所以共面且具有公共起点P, 所以点P与点A,B,C共面,故B正确; 对于C,=2-2=2-2()-()=-2-2,即=-2,而不能由表示, 所以不能把化为+x+y的形式,所以P,A,B,C四点不共面,故C错误; 同理,可得D错误.故选AB. 12.AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE　由=λ+μ(λ,μ∈R)及共面向量定理,可知向量与向量共面,即直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.故答案为AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE. 13.　∵a,b,c三个向量共面, ∴存在实数m,n,使得c=ma+nb, 即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k). ∴∴λ=. 14.证明 由图形,易得 = =)+ =)+ =)+ =. 因为不共线, 所以根据共面向量定理,可知共面. 又因为PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD. 15.解 (1)由题意知,=3, ∴,即=-,∴共面. (2)由(1)知,共面且基线过同一点M, ∴M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内. 16.证明 (1)∵,∴k+k=k. ∵=k=k,∴+k. 又,∴=k. 同理,=k=k. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴, ∴,即. 根据共面向量定理,可知共面, 又它们有同一公共点E,∴点E,F,G,H共面. (2)由(1)知=k,∴,即AB∥EF. 又AB⊄平面EFGH,∴AB∥平面EFGH. 学科网（北京）股份有限公司 $