6.1 第2课时 空间向量的数量积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

子花=+子（硒+动-）=号硒+号动+号= 号(+动应=花+成-+动+风-+动 d,放亦子证，由于破，花有公共点4，散A,R,E三点 共线， (2)由题意，点G是平行四边形B1BCC1的中心，故D市=D元+C市= 号花-庙-子(+-)=子庙-号市+号= 号（筋}市+），成-成+成-店+子丽=+ 之(-动)=店}动+子瓜，故亦=号成，因为成，成有 3 公共点D,所以D,F,G三点共线. 第2课时空间向量的数量积 第1关（练速度） 1.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= lal2-lal·lb1cos(a,b〉=1-√2cos〈a,b〉=0，所以cos〈a,b）= 只又0心≤a,∈10，所以(a6)=45故选D 2.C解析：：|a-b12=a2-2a·b+b2=22-2×2×2×cos120°+22=12 ∴.1a-b|=√/12=23. 3.ABC解析：当侧面BCC,B1是正方形时，可得AD·B1亡=0，所 以A正确：当底面ABCD是正方形时，AC垂直于BD1,所以B正确： C明显正确：由题图可得，BD1与BC所成的角小于90°，D错误 易错提醒 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|al,Ib|和 (a,b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的 大小，才能使a·b计算准确. 4.B解析：由题意可得a·b=0,e1·e2=0,1e11=1e2l=1,所以 (2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,即2k-12=0,解得k=6.故选B. 5.B解析：因为点M为棱AD的中点，所以A店.C成=A.(C+ 动=.（市）小-砧.花+应.应 因为四面体A8CD的棱长都是2，所以店.d成。-22×寸+宁×2x 2×号-21=-1，故选B 6.B解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，向量B,B武，BB不共面， AB=BB-BA,BC=B武+BB,令1BB1=a,则1BI=1BC1=V2a, 而BB1BA,B武⊥BB,于是得AB,·BC=(BB-BA)·(B武+ BB)=BB·B武+BB-BA·B武-B·BB=a2-2a· 2acos60°=0，因此AB1BC,所以A店1与B元1所成角的大小为 90°.故选B. 7.A解析：如图，连接AC,BD,由柏拉图多面体的性质可知，侧面均 为等边三角形，四边形ABCD是边长为1的菱形，又△AEC≌ △BED,所以AC=BD,故四边形ABCD为正方形，同理，四边形 BEDF也为正方形. 取1正的中点K,连接K,0,则成心=成4动：+成，同理， 参考答案 亦+应，成.成(}成+成）·(}亦 应）=成+应+.成扇应子× 1x1Xams600+×1X1×1x1Xam60=分放选A 8.-61解析：(3a-2b)·(a+2b)=31a12+4a·b-41b12=31a12+ 41a11b1cos120°-41b12=3×9+4×3×4× -4×16=27-24- 64=-61. 9.5解析：由题意可得0i.O成=0,0i.0心=0心.0成=1x1xcos60°= 2o0i0d=√0脉-0+20.o20-0d2元.0 =√H1+1402x+7=5,放答案为5. 方法总结 利用空间向量求长度问题，主要是运用公式|a12=a·a,将线段长 度的计算问题转化为向量数量积的计算问题。 10.-13解析：因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,则a2+b2+c2+ 2(ab+b·c+c·a)=0,因此ab+b…c+ca=3+12+4 2 -13,故答案为-13. 1,2解析：底面ACD为菱形，A=4,∠DAB=市.店- 市.号-44（号）-8 M为棱C的中点成：分办+号花=办+（店+ 成.成(}市成市)成市}。 应+)市.店-市.+16+(-8)]-5，解得市.-2故 答案为2. 第2关（练准确率） 12.A解析：(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,a+b与a-b垂直. 13.D解析：1a1=√13,1b1=5,a与b夹角的余弦值为 ”图，。在。上的投影向量为6·合 9√13 V13x5x93 5 14.ACD解析：由题意可知，A店，A花，A两两垂直，所以(A店+A心)· A=0. 对于A选项，(A店+A心+)2=（应+A心）2+市+2（店+A花）· A=(AB+A心)2+A,(AB+A元-AD)2=(AB+A心)2+Ai-2(AB+ AC)·Ad=(A店+A心)2+A市，故1A店+A花+A1=1A店+A心-A1,所 以A选项正确； 对于B选项，(A+A花+)·B武=(A店+A花+A市)·(A花-A应)= A心也-A,当A心=A时，A心衣-A=0,否则不成立，所以选项B 不正确； 对于C选项，1A成+A心+A市12=1A12+1A心2+1A12+2A市.A花+ 2A店.A市+2A花.A市=A12+AC12+1A12,所以选项C正确； 对于D选项，A店.C市=A店·(A市-AC)=0,同理可得Ad.Bi=0, Ad·B武=0，所以A店.Ci=A花.B=Ai·B武，选项D正确， 故选ACD. 学霸03 15.A解析：由AM=xA店+yA花+(1-x-y)A,则AM-A心=x(A Ad)+(A花-A),即Di=xD成+yD记， 而x,yeR,则D,D成，D元共面，点M在平面BCD内，又D成= ADi+(1-A)D元(A∈R),则D成-D元=A(Di-D元)，即C=入CA, 于是得点N在直线AC上，在棱长为1的正四面体ABCD中， 当AM的长最短时，点M是点A在平面BCD上的射影，即等边 △BCD的中心，因此成=应+A花+}市，当DN的长最短 时，点N是点D在直线AC上的射影，即等边△ACD的边AC的中 点，因此-之，而∠B4C=LDAC=60,店.花-动.花 1x1xa60=分，所以.衣-号(+花+动)·花- 名（.花衣+市.恋=号故选A 16.C解析：设正方形A1B1C1D1的中心为01，由题意知，1011=1， 连接001，D0,01B1,如图所示， D 0 A0不 则Dd=01B,1001=2,10B1=√2,0011平面ABCD,0011 平面A1B1C1D1,001101B1,001101P,00·01B=0, 001·01=0. 又：0=00+01产，D=Di+00+01产=01B+00+01产， 0.D=(00+01P)·(01B+00+01产)=00·01B+ 00+00.01P+012.01B+012.00+01p=0+22+0+ 101B1·1011cos(01B1,01币)+0+1=5+W2c0s(01B,01). (01B,01∈[0，m],.当(01B,01产=0时，cos〈01B, 01产=1，“(O.D币)ma=5+2.故选C. 17.√33解析：因为01,02分别是圆柱的上、下底面的中心，所以 01410102,02B10102.又因为圆柱0102的底面半径为2，高为 5,01A102B,且A店=AO+01O2+02B,所以A2= (4A0+0102+02B)2=A02+01022+02B2+2A0,·0102+ 2A0·02B+20102·02B=22+52+22=33,所以AB=√33，故 答案为√33. 18.4r10解析：根据题意，球0的半径为1，所以表面积为4m, Pi.P市=(Pi+0)·(Pi+0)=P+Pi.0京+Pi.O成+0成. O市=P+0成.O市=Pd-1.当球0与平面A1B1C1D1相切，点P 为四边形ABCD顶点时，P衣=1Pd12取得最大值，所以Pd12- 1≤1A012-1=10.故答案为4m,10. 19.解：(1)因为AB=3,BC=4,∠ABC=120°，所以B.B元=1B1· 1Bt1cos(Bi,Bd)=3×4×cos120°=-6. (2)因为Ci=C+B+A心，所以1C12=1C成+B+A12=1C12+ 1BA12+1AD12+2(CB.BA+BA.AD+C.AD)=16+9+25+2(4× 3xc0s60°+3×5×c0s60°+4×5×cos90°)=77，所以CD=1Ci1 =√77. 20.解：（1)BD=AD-A店=A市+AMA-A店，则1BD2= (Ai+AA-AB)2=A+AA中+A+2Ad.AA-2Ai.A店-2A店. =1+41+2x1x2×20-2x1x2x2=6,所以B01=6. (2)由空间向量的运算法则，可得A心=A店+A市， 选择性必修第二册·SJ 因为AB=AD=1,M,=2且∠BAD=7,∠BM=∠D4,=牙，所 以1ad1=√*-√/2+21·1s牙+2= √/1+0+1=2， BD·A花=(A+A-A应)·(A应+A)=A市.A应+A+AA.A市+ ·市-亦-动.应=1x1×o号+12+2x1×号+2x1× w号-1-1x1xas7-2, 则cs(丽，A花：丽·花 23 1BD1·1A心6x√23 第3关（练思维宽度） 21.ABD解析：如图，对于A,设正方体的棱长为1，在正方体中， 〈AB,AC)=60°，则1AB×Ad1=IAB1IAd1si(AB,AC)=2× 万×停-，因为D/BA,且∠0B=60,所以（瓜。 Di=120°，所以1AD×D1=1AD11D1sin(AD,Di)=2×2× 专-5，所丽远=而.所以A正商： 对于B,在正方形A,B,CD1中，A1C1⊥B,D1,又因为BB1⊥平 面A1B1C1D1,A1C1C平面A1B1CD1,所以A1C1⊥BB1.又B1Bn B1D1=B1,B1B,B1D1C平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D. 因为BD1C平面BB1D1D,所以BD1⊥A1C1,同理可证BD1⊥A1D, 再由右手系知，A1C×A1方与BD同向，所以B正确； 对于C,由a,b和a×b构成右手系知，axb与b×a方向相反，又由 axb模的定义知，laxbl=lallb1sin(a,b)=|bl|a|sin(a,b)= 1bxal,所以axb=-bxa,则AxAd=-Ax4应，所以C错误； 对于D,设正方体棱长为a,61BC×AC1=61B元11A元1·sin45°= 60x反0x号-6d,正方体表面积为6d2,所以D正确 故选ABD. 22.解：(1)A店=0-0i,B元=0元-0成， =++耐：之++子成=o+成-i+ 2成-}+诚}成， 2 0亦-成+亦-i+号-ai-}i+}i+o心- 。i兮成*号成 成-成r顾-a成+兮m:}o成。i+。成+成 gi+6oi+6o成 (2)四面体0ABC的所有棱长都等于1，∴各面为等边三角形， o,商=成，d=(0成，ai=牙， o亦.oi=(6oi+oi+号t)·(兮oi+goi 。成）耐+g破+g恋+6成.成+6成.成 成ai成.成成.id.成这*点 学霸04 1,1,1,1,1,113 72721836183636 第3课时共面向量定理 第1关（练速度） 1.A解析：若a,b不共线，则由空间共面向量定理知，a,b,2a+4b共 面；若a,b共线，则a,b,2a+4b共线，也共面故选A. 2.BD解析：对于A项，若a=b=0,p≠0，则不存在实数x,y,使得p= xa+yb,故A项错误； 对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数x,y,使向量p= xa+yb,则p与a,b共面，故B项正确； 对于C项，若M=M店=0，M≠0，则不存在实数x,y,使M亦=xMA+ yM店，故C项错误； 对于D项，根据平面向量基本定理，可知若存在实数x,y,使M心= x+yMB,则M,M,M共面，所以点P,M,A,B四点共面，故 D项正确. 故选BD. 3.C解析：因为市-0亦-a,所以4ai+日O+:0成可化简 为o-0=-4oi+i+:0成，即o亦=3o+}i+0d 因为4，BC,P四点共面，所以子=1，解得=故选C 4.D 5.ABD解析：由共面向量的充要条件可得： 对于A选项，b=之(b4e)+(-e),所以b+c6,-e三个向量 共面； 对于B选项，a=2(a+b)+2(a-b),所以a,a+b,a-b三个向量 共面； 对于C选项，假设a+b,a-b,c三个向量共面，则存在x,y(x,y∈ R),使得c=x(a+b)+y(a-b),则c=(x+y)a+(x-y)b,即c,a,b 三个向量共面，这与已知a,b,c是空间中不共面的一组向量矛盾， 故假设错误，即a+b,a-b,c三个向量不共面.故C不正确； 对于D选项，a+b+c=(a+b)+c,所以三个向量共面. 故选ABD. 易错提醒 如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在实数对(x,y),使p=xa+yb.在判断空间中三个向量共面时， 注意“两个向量a,b不共线”的要求. 6.D解析：对于A,0i=20A-0成-0元中，2+(-1)+(-1)=0≠1，A 不是； 对于B,成：++成，好+好+好子1，B 不是： 对于C,0M+0i+0+0t=0化为0M=-0i-0-0元，-1+(-1)+ (-1)=-3≠1，C不是； 对于n成名神合了号1，D是 故选D. 方法总结 1.在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是Oi=xO成+y0元（其中 x+y=1),0为平面内任意一点. 2.在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是0=xOA+yO+ z0(其中x+y+z=1),0为空间中任意-点. 7.B解析：因为市=B底+yB成+：成-xB+yB床+3BB,0在平面 B,60内，所以+至1同理可得宁=1，y,解得x 参考答案 与子所以日放选B 81(或7-1）解折：0亦2im0i-n0心(m,ae 风，且P,BG共面子ma=1→m-a=分又am=号，解 1 得m=1,a=分或m=分=-1 9.②④解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确. 10.1解析：因为A=i-2j+2k,B武=2i+j-3k,Ci=i+3-5k,所以 A元=AB+B武=3i-j-k,Ad=A元+Ci=(3+A)i+2j-6k. 因为A,B,C,D四点共面，所以存在唯一的(x,y),使得A=xA应+ yA花，即(3+A)i+2i-6k=x(i-2i+2k)+y(3i-j-k),即 (x+3y=入+3，(x=-2, 2x+y=-2,解得入=1，故答案为1. (2x-y=-6,（y=2. 1.子解折：如图，不纺设店=a,4衣-b,d-c,依题意，成=子a, 风-d-瓜号店=c-子，成-花-成-6子a,因为 A市=mA1C=mb,所以B成=BA+A衣=c-a+mb.又因为Bw∥平 面A1CM,所以B成，MA,M元必共面，即存在A,A∈R,使B成= Ag成，即c-atn=A(c-号a)r(b-子a）,从面有 子aw- u=m, 解得m=分放答案为宁 入=1， N A M B 重难点拨 BN∥平面A1CM即B与平面A1CM内的任意向量均共面， 第2关（练准确率） 12.B解析：因为O币=30元-x0i-y0店，且A,B,C,D四点共面，所以 由空间四点共面的性质可知3-x-y=1,即x+y=2.又x>0,y>0,所 2号(2）号(2）号(3 2子)+当且仅当即=4-2 2-2时等号成立，所以2}的最小值为子+反赦选B x 13.ACD解析：因为60市=0i+20+30元，所以0市-0i=2(O市 0币)+3(0元-0币)，即A=2P+3P元.根据共面向量基本定理，可 得A,P,P元共面，所以P,A,B,C四点共面. 14.B解析：对于空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,且0= xOA+yO点+zO(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面等价于x+y+ z=1,若x=2,y=-3,z=2,则x+y+z=1,所以P,A,B,C四点共面； 若P,A,B,C四点共面，则x+y+z=1,不能得到x=2,y=-3,z=2, 所以x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件， 故选B. 15.D解析：因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，所以 EH∥FG,EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面，且四边形EFCH为平 行四边形，故M为EG的中点.所以OA+0品=20市，0元+Oi=20t, 学霸05第2课时空间向量的数量积 第1关练速度 15min为准，你的时间： 7.（2024·山东烟台高二月考)柏拉图多面体是 1.(2024·辽宁葫芦岛高二月考)已知空间向量 柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究 a,b,lal=1,1b1=2,且a-b与a垂直，则a 后而得名的几何体.下图是棱长均为1的柏拉 与b的夹角为 ) 图多面体EABCDF,P,Q,M,N分别为 A.60° B.30° C.135° D.45 DE,AB,AD,BF的中点，则PQ·MN=() 2.空间向量a,b满足1a|=1b1=2,a与b的夹 角为120°，则1a-b1的值为 （) A.1 B.√3 C.23 D.32 3.（多选)如图，已知长方体ABCD-AB,C,D1,下 列向量的数量积可以为0的是 () D D.-1 A.AD·BC B.BD·AC 8.已知向量a,b,1a1=3,1b1=4,〈a,b〉=120°， C.AB·AD D.BD·BC 则(3a-2b)·(a+2b)= 4.（2023·福建莆田高二期中)在空间中，已 9.(2023·广东湛江高二期末)若0A,0B,0C为 知e1,e2为单位向量，且e1⊥e2,若a=2e1+ 空间三个单位向量，OA⊥OB,且0C与OA,OB所 3e2,b=he1-4e2,a⊥b,则实数k的值为（ 成的角均为60°，则10A+0店+0元1= A.-6B.6 C.3 D.-3 10.(2023·湖北襄阳高二期中)已知空间向量 5.（2024·四川成都高二期末)如图，已知四面 体ABCD的棱长都是2，点M为棱AD的中 a,b,c满足a+b+c=0,Ia|=3,1b1=1,1cl= 点，则AB·CM的值为 ( 4,则a·b+b·c+c·a的值为 A.1 B.-1 C.-2 D.2 11.（2024·江苏常州高二期中)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=4, ，M为棱Pc的中点，且成. ∠DAB=2m (第5题) (第6题)》 AB=5,则AP·AB= 6.（2024·广东广州高二月考)如图，在正三棱 柱ABC-A,B,C,中，若AB=2BB1,则AB,与 BC,所成角的大小为 A.60° B.90° C.105° D.75° 选择性必修第二册·SJ学霸004 第2关练准确率 8题为准，你做对题 12.已知非零向量a,b不共线，且其模相等，则 a+b与a-b的关系是 A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都有可能 A.5 B.6 C.5+√2D.5+/3 13.(2024·江苏常州高二月考)已知空间向量 17.如图，圆柱002的底面半径为2，高为5，A, Ial=√13，Ib1=5,且a与b夹角的余弦值 B分别是上、下底面圆周上的两个点，若 为93 65,则a在b上的投影向量为( 01A⊥O2B,则AB= A.-913 b B.93 b 13 13 B D.、9 18.（2024·河北石家庄高二月考)如图，球0为 14.(多选)(2023·江苏常州一中高二月考)已 长方体ABCD-A,B,C,D1内能放入的体积最 知四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直，则 大的球，且AA1=2AB=2AD=4,则球0的表 以下结论中一定成立的是 面积为 若EF是球O的一条直径， A.1AB+A元+AD1=1AB+A元-AD P为该长方体表面上的动点，则P尼·PF的最 B.(AB+AC+AD)·BC=0 大值为 C.IAB+AC+AD12=14B12+14C12+1AD12 D D.AB.CD=A元.BD=AD.BC .01 15.（2024·福建莆田高二月考)在棱长为1 的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+ 19.（2024·河南开封高二期末)如图，在空间四 yAC+(1-x-y)AD(x,y∈R),点N满足D= 边形ABCD中，AB=3,BC=4,AD=5, 入DA+(1-A)DC(入∈R),当AM和DN的长 ∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC. 度都为最短时，AM·AN的值是 ( (1)求BA.BC; Bc子 (2)求CD的长. 16.（2023·四川资阳高二月考)如图，已知正方 体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，点P是四边 形AB1C,D1的内切圆上一点，0为四边 形ABCD的中心，则OP.DP的最大值为 第6章学霸005 20.(2024·江苏常州高二月考)如图所示，在平 在正方体ABCD-A,B,C,D1中，有以下四个 行六面体ABCD-AB1C,D1中，AB=AD= 结论，正确的有 () 1,AM:=2,∠BAD=2,∠BAM1=∠DAM1=3 A.1AB×AC1=1AD,×DBI B.A1C×AD与BD共线 (1)用向量AB,AD,AA表示向量BD,并 C.ABxAD=ADxAB 求IBD; D.61 BCXAC1与正方体表面积的数值相等 (2)求cos(BD1,AC). 22.如图，M,N分别是四面体OABC D 的棱OA,BC的中点，P,Q是MN 讲解 B 的三等分点 (1)用向量04A,0店，0C表示0P和00； (2)若四面体OABC的所有棱长都等于1，求 0P.00的值. 第3关练思维宽度 )难度级别：☆☆☆女☆ 21.（多选)(2024·安徽黄山高二月考)在三维 空间中，定义向量的外积：a×b叫作向量a 与b的外积，它是一个向量，满足下列两个 条件： ①aL(axb),bL(a×b),且a,b和a×b构成 右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇 指、食指、中指的指向一致，如图所示)； a×b ②axb的模1axbl=lallb1sina,b〉((a,b》 表示向量a,b的夹角). 选择性必修第二册·SJ学霸006