6.1.2 空间向量的数量积（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

6.1.2　空间向量的数量积 1.对于向量a，b，c和实数λ，下列说法中正确的是（　　） A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D.若a·b＝a·c，则b＝c 2.已知单位向量a，b满足｜a｜＝｜a＋b｜，则（a＋b）·b＝（　　） A. B.1 C. D.0 3.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝（　　） A.6 B.6 C.12 D.144 4.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.〔多选〕如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（　　） A.2· B.2· C.2· D.2· 6.〔多选〕设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是（　　） A.（a·b）·c－（c·a）·b＝0 B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ C.（b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直 D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 7.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则＜，＞＝　　　　，＜，＞＝　　　　，＜，＞＝　　　　. 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则在直线CB1上的投影向量是　　　　，·＝　　　　. 9.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·＝　　　，·　　·.（填“＜”“＝”或“＞”） 10.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且SA＝2，SA⊥底面ABCD. （1）确定向量在平面SAD上的投影向量，并求·； （2）确定向量在向量上的投影向量，并求·. 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（即A1A⊥平面ABC）中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 12.〔多选〕已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（　　） A.（＋＋）2＝3 B.·（－）＝0 C.向量与向量的夹角是60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜··｜ 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是　　　　. 14.如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a. （1）用向量法证明BD⊥PC； （2）求｜＋｜的值. 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） A.8 B.4 C.2 D.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.2　空间向量的数量积 1.B　若a⊥b，则a·b＝0，故A错误，B正确；由a2＝b2，得｜a｜＝｜b｜，长度相等，但方向不定，故C错误；由a·b＝a·c，得a·（b－c）＝0，所以a＝0或b＝c或a⊥（b－c），故D错误. 2.D　∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1.∵｜a｜＝｜a＋b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－，∴（a＋b）·b＝a·b＋b2＝－＋＝0. 3.C　因为＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12. 4.B　因为＋－2＝（－）＋（－）＝＋，所以（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形. 5.BC　对于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，错误；对于B，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，正确；对于C，2·＝·＝a2，正确；对于D，2·＝·＝－·＝－a2，错误. 6.BD　A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D. 7.0°　0°　90°　解析：由题意得，方向相同，且在同一条直线AC上，故＜，＞＝0°；可平移到直线AC上，与方向相同，故＜，＞＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜，＞＝90°. 8.　a2　解析：如图，连接BC1交B1C于O，因为BO⊥B1C，A1B1⊥B1C，所以向量在直线CB1上的投影向量是，·＝·＝a·a＝a2. 9.0　＜　解析：由题易知AE⊥BC，所以·＝0，而·＝（＋）·＝·（－）＋·＝｜｜·｜｜·cos 120°－｜｜·｜｜·cos 120°＋｜｜·｜｜·cos 120°＜0，所以·＜·. 10.解：（1）向量在平面SAD上的投影向量是，·＝·＝2×2×cos 135°＝－4. （2）向量在向量上的投影向量是，·＝·＝｜｜2＝4. 11.C　∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC.又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴＝（＋）.∵AA1＝，∴A1C＝2.∵·＝（＋）·（－）＝｜｜2＝1，∴cos＜，＞＝＝，∴＜，＞＝60°，即异面直线AE，A1C所成的角是60°. 12.AB　由向量的加法得到：＋＋＝，∵A1C2＝3A1，∴＝3，∴A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故｜··｜＝0，因此D不正确. 13.[0，1]　解析：依题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·（＋）＝·（＋λ）＝＋λ·＝1＋λ×1××（－）＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1]. 14.解：（1）证明：∵＝＋， ∴·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜｜｜cos 60°＋｜｜｜｜cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC. （2）∵＋＝＋＋， ∴｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2， ∴｜＋｜＝a. 15.D　·＝·（＋）＝＋·，∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴·＝0，∴·＝｜｜2＝1，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1. 学科网（北京）股份有限公司 $