6.1 第1课时 空间向量的线性运算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第6章 空间向量与立体几何 6.1空间向量及其运算 第1课时 空间向量的线性运算 第1关练速度 15min为准，你的时间： 6.（多选)(2024·广东惠州高二月考)如图，E, F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB,CD 1.(多选)给出下列命题，正确的是 A.在空间中，零向量没有确定的方向 的中点，化简下列结果正确的是 () D B.在正方体ABCD-A,B,CD,中，AC=A1C C.若空间向量a与空间向量b的模相等，则 a,b的方向相同或相反 D.在空间四边形ABCD中，必有AB+AD=AC A.AA'-CB=AD B.AA'-AB+B'C=BD 2.（2024·浙江温州高二期中)在平行六面体 C.AB'-AD+B'D=0 D.AB+CF=AF ABCD-A,B,CD,中，化简AB+AD+BB=( 7.(2024·湖南郴州高二月考)《九章算术》中的 A.A C B.AC C.BD D.DB “商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种 形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角 3.(2024·湖南益阳高二期末)在三棱柱 三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-ABC ABC-AB1C1中，M为B,C1的中点，若AB=a, 中，M,N分别是AC,BB1的中点，G是MW C=b,A,A=c,则下列向量中与BM相等的是 的中点，若AG=xAB+yAA+zAC,则x+y+z= ( A.1.1 24-2b- B. 1 2a+bic 2 11 G c.-2a-2b+c D.Te-gose :>B 4.(2024·福建福州高二期中)已知空间向量a, B.2 3 A.1 b,HAB=3a+6b,BC=-10a+12b,CD=14a- C. 2 D. 4b,则一定共线的三点是 8.给出下列命题： A.A,B,C B.B,C,D C.A,B,DD.A,C,D ①若将空间中所有的单位向量移到同一个点 5.(2024·浙江温州高二期末)在空间四边 为起点，则它们的终点构成一个圆； 形ABCD中，点M,G分别是BC和CD的中 ②若空间向量a,b满足Ia|=1b1,则a=b; 点，则+（励+8） ( ③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ④空间中任意两个单位向量必相等 A.AD B.GA C.AC D.MC 其中真命题的序号是 第6章学霸001 9.如图，在长方体ABCD-A1B,C,D1中，设AA1=14.（多选)如图，平面ABC内的小方格均为边 1,AB=2,AD=3,I CC:-BD:I= 长是1的正方形，A,B,C,D,E,F均为正方 D 形的顶点，P为平面ABC外一点，则() D B D B (第9题) (第10题) 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，0为AC A.A正=PA-PC 的中点 （)化简4,0-28240 B=-ni+丽+时元 (2)用AB,A⑦，AA表示0C,则0C= C序-所 5 11.(2024·江苏连云港高二期中)设e1,e2是空 间两个不共线的非零向量，已知AB=2e,+ 0m=i店g元 ke2,BC=e1+3e2,DC=2e1-e2,且A,B,D三 15.(2024·河南洛阳高二月考)在四面体ABCD 点共线，则实数k的值为 中，点E满足DE=入DC,F为BE的中点，且 第2关练准确率 8题为准，你做对题 亦丽+}记+而，则实数=（) 12.(2024·福建福州高二期末)在平行六面 体ABCD-AB1C1D1中，E为BC延长线上一 B c 点，且BC=2C2,则D,E= 16.(2024·四川泸州高二期末)如图，OABC是 A.AB+3A而+A4 B而花- 四面体，G是△ABC的重心，G1是OG上一 点，且0G=30G1,则 () C而-+试 n而+- A.0G=0A+0B+0C (第12题) (第13题) 13.(2024·浙江绍兴高二期末)已知E,F分别 B.oG-goi+goBgod 0 是空间四边形ABCD的对角线AC,BD的中 点，点G是线段EF的中点，P为空间中任意 coacigoirarod 3 3 一点，则PA+P+P元+PD= ( A.PG B.2PG C.3PG D.4PG D.0G-i+i0c 4 4 选择性必修第二册·SJ学霸002 17.如图，在四面体ABCD中，M,N分别是线段20.(2023·安徽阜阳高二月考)如图所示，在正 BC,AD的中点，已知C=子丽，有如下 方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且 AE=2ED,F在对角线A,C上，且A,F= 结论： ①di=2(N店+Nd: 3F元.求证：6，E,B三点共线 D 2时=D呢+c, ③元=(++C). 其中正确的结论是 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ (第17题) (第18题) 21.(2024·江苏常州前黄高级中学 18.光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位 高三月考)在四面体PABC中，2 于山东省聊城市，始建于公元1374年，在 PD=PA+P店，5P2=2P+3P元，2P=-P元+ 《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀 楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱 3PA,设四面体PABC与四面体PDEF的体 阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十 大名楼其墩台为砖石砌成的正四棱台，直 积分别为业，，则长的值为 观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比 22.如图，在平行六面体ABCD-AB1C,D1中， 约为则成4i+)Dd- CC=2E元，A,C=3F元. (1)求证：A,F,E三点共线； 19.如图，已知正四棱锥P-ABCD,O是正方 (2)若点G是平行四边形B,BCC1的中心， 形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各 求证：D,F,G三点共线 式中x,y,z的值， (1)00=PO+y PC+z PA; (2)PA=x PO+y P0+PD. 第6章学霸003第6章 空间向 6.1空间向量及其运算 第1课时空间向量的线性运算 第1关（练速度） 1.AB解析：A正确；因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A花与AC 的大小和方向均相同，所以B正确：因为1αI=Ib1,不能确定其方 向，所以a与b的方向不能确定，C错误；D错误，只有当四边 形ABCD是平行四边形时，才有A店+A市=A心.综上可知，正确的 是AB. 2.B解析：如图所示，A应+A+BB=A+B武+CC=AC故选B. D c A 3.A解析：如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM=BB,B1C= 成，俄题意，成=丽+B立=子A,C=不+成=之（威+ d)-成-才e,放选入 Γ2 7 方法总结 1.用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是 解题的关篾。 2.在立体几何中，要灵活应用三角形法则、向量加法的平行四边形 法则，这些法则在空间中仍然成立 4.C解析：因为A=3a+6b,B元=-10a+12b,所以若A,B,C三点共 线则成-A硫，西（位。无解，放A错误因为成-10 12b,Ci=14a-4b,所以若B,C,D三点共线，则B武=Ci,而 {位0无锦放B结灵因为=a+成-10+12的，市 14u-b,所以励-成+动=4a+b,即励-所以AB,D三点 共线，故C正确.因为A=3a+6b,B元=-10a+12b,C=14a-4b,所 以Ad=A店+B武=-7a+18b,若A,C,D三点共线，则A元=AC,而 7=14M,无解，故D错误故选C (18=-4λ 5.C解析：如图，因为点G是CD的中点，所以B励+B武=2B武，所以 +(励+)=+成=花故选C 6.AB解析：A.A-C=+币=AD,因此本选项正确； B.A-A+B'C=BA+A'D=BD,因此本选项正确； 参考答案 <<<((< 参考答案 ANSWER ]量与立体几何 C.AB-A市+B'D=AD-A市=DD≠0，因此本选项不正确； D.AB+C京=AB-E=A龙≠A市，因此本选项不正确， 故选AB. 方法总结 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若 干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则. 7.C解析：连接AM,AN,如图： ”、 --B B :G是wN的中点花=子(+)=子（属+号花+破+ 子不)不+花花=+花 4 8.③解析：①为假命题，将空间中所有的单位向量移到同一个点为 起点时，它们的终点构成一个球面，而不是一个圆：②为假命题，根 据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向 还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同：③为真命题，向 量的相等满足传递性：④为假命题，空间中任意两个单位向量的模 均为1，但方向不一定相同，故不一定相等 9.√13解析：1CC-BDI=1BB-BD1=1D1B1=1D1= √32+22=√/13，故答案为√13. 10.(1)A才(2)22动 解折：(4d-}破-市-d-之（应+动）=d-动= A0+0A=AA. (2)因为-花=号（动，所以0C-成+d子( 动+试2成2动 11.-8解析：因为B元=e1+3e2,D元=2e1-e2,所以B励=B元+Ci=(e1+ 3e2)-(2e1-e2)=-e1+4e2 又因为A,B,D三点共线，所以可设A店=AB币， 即2e1+e2=入(-e1+4e2), 因为，9不共线，所以可得入所以=-8，所以实数k的值 k=4， 为-8.故答案为-8 第2关（练准确率） 12.B解析：0古花-=+成-(+动)=+成- 市=+市--市号市+成-故选B 13.D解析：由题知：P+P+P元+Pi=2P克+2P市=4P成故选D. 14.ABD解析：在平面ABC内选取两个互相垂直的单位向量i,j,且 A花=2i+j,则P元-P=2i+j,P-Pi=-3i+j,P元-P=5i,则i= 成-i号成 5 学霸01 所以应-2ijp成-p庇，市=-2ij=-p+4p+P心 市亦=i+ij=2成-子成-名元，市=p+市=+ 2=-号成P元故选ABD. 15.D解析：由F为B的中点，得矿2+2应，又亦：2+ 号花名市所以正=号花+办，由成=A成，得戒-市 A(花-动，即应=a衣+(1-A)市，所以A=子故选D 16B解折：G是△MC的重心，：花=子×子(+)- 号(d…0成=ai+花-+(+d)-0耐+（( oiod-动=号oi+号oi+o成，0底=号od=goi+ 号成)放选R 重难点拨 用已知向量表示所求向量的步骤： (1)结合已知向量和所求向量观察图形： (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中； (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示 出来 17.①⑧解析：①：M是线段BC的中点，=子（店+ N心)，正确； ②取CD的中点E,连接EN,EM,如图，则=+威-号A花+ }成，因此不正确； 8花-耐-+号：+号（减-减）=子×子(+ N心)+号=子（+花+，因此正确 故答案为①③. 18应解折，延长队，B,6c,D相交于一点0，侧则号0能 品成-成成成+)成-成品动+。成成动 101 。脉-脉。动-成+-成 19.解：(1)：动=成-p=P成-2（可减+P成）=成-2P元-2， y=z=-2 (2):0为正方形ABCD的中心，.0为AC的中点又Q为CD的 中点，.pi+P元=2Pi,P元+P币=2P, 选择性必修第二册·SJ pi=2Pi-P元，P元=2P-P市，：pi=2Pi-2P+P, .x=2,y=-2. 20.证明：连接AC,EF,EB,设A店=a,Ad=b,AM=c.A1龙=2ED, 4市-子武A在=子4可，4市子花在=子a动-子6， 市号（成花-=子市-=号+子0子市 号音子号（子）威-团， -号6-e帽=a号6-e…成号成B,B三点共线 重难点拨 1.判定三点共线，本质是找两向量共线，就是找x使a=xb,充分运 用空间向量运算法则并结合空间图形，化简得出a=xb,从而得出 a//b. 2.证明空间图形中的两线平行可以先证明两线所在的向量平行，然 后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直线上，则两直线 平行. 第3关（练思维宽度） 21.0解析：由2市=+应，得2市=+P-pi+可成，所以 7 2(P市-Pi)=P-Pi,则2A市=成； 由5P成=2P+3P元，得5P=2P+3P元-3P+3P,所以 5(P成-Pi=3(P元-P),则5B成=3B武； 由2P市=-P元+3P,得2P市=-P元+3P-3P元+3P元，所以 2(P市-P元)=3(Pi-P元)，则2C帝=3C成 显然四面体PABC与四面体PDEF共顶点且底面共面，则其高相 同，可设为h, 结合题意可作图如下： 在底面连接FB,作图如下： F D B 由d%子二瓷宁 动减哈器分黑行 SAFBC 6； 由成成贤号二二子 器子器宁兮高易器高 21 35 S△mE-1-SADBE S△B0 F SADRE_7,SAmE=7X3.7 SAFBC S△FBcS△BGFS△FBc30'SAARG30X220 所以了t5ag7 V:a 0故答案为品 22.证明：(1)由题意，C1乙=2E式，A1t=3F元，故A市=AA+A1市=AA+ 学霸02 子花=+子（硒+动-）=号硒+号动+号= 号(+动应=花+成-+动+风-+动 d,放亦子证，由于破，花有公共点4，散A,R,E三点 共线， (2)由题意，点G是平行四边形B1BCC1的中心，故D市=D元+C市= 号花-庙-子(+-)=子庙-号市+号= 号（筋}市+），成-成+成-店+子丽=+ 之(-动)=店}动+子瓜，故亦=号成，因为成，成有 3 公共点D,所以D,F,G三点共线. 第2课时空间向量的数量积 第1关（练速度） 1.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= lal2-lal·lb1cos(a,b〉=1-√2cos〈a,b〉=0，所以cos〈a,b）= 只又0心≤a,∈10，所以(a6)=45故选D 2.C解析：：|a-b12=a2-2a·b+b2=22-2×2×2×cos120°+22=12 ∴.1a-b|=√/12=23. 3.ABC解析：当侧面BCC,B1是正方形时，可得AD·B1亡=0，所 以A正确：当底面ABCD是正方形时，AC垂直于BD1,所以B正确： C明显正确：由题图可得，BD1与BC所成的角小于90°，D错误 易错提醒 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|al,Ib|和 (a,b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的 大小，才能使a·b计算准确. 4.B解析：由题意可得a·b=0,e1·e2=0,1e11=1e2l=1,所以 (2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,即2k-12=0,解得k=6.故选B. 5.B解析：因为点M为棱AD的中点，所以A店.C成=A.(C+ 动=.（市）小-砧.花+应.应 因为四面体A8CD的棱长都是2，所以店.d成。-22×寸+宁×2x 2×号-21=-1，故选B 6.B解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，向量B,B武，BB不共面， AB=BB-BA,BC=B武+BB,令1BB1=a,则1BI=1BC1=V2a, 而BB1BA,B武⊥BB,于是得AB,·BC=(BB-BA)·(B武+ BB)=BB·B武+BB-BA·B武-B·BB=a2-2a· 2acos60°=0，因此AB1BC,所以A店1与B元1所成角的大小为 90°.故选B. 7.A解析：如图，连接AC,BD,由柏拉图多面体的性质可知，侧面均 为等边三角形，四边形ABCD是边长为1的菱形，又△AEC≌ △BED,所以AC=BD,故四边形ABCD为正方形，同理，四边形 BEDF也为正方形. 取1正的中点K,连接K,0,则成心=成4动：+成，同理， 参考答案 亦+应，成.成(}成+成）·(}亦 应）=成+应+.成扇应子× 1x1Xams600+×1X1×1x1Xam60=分放选A 8.-61解析：(3a-2b)·(a+2b)=31a12+4a·b-41b12=31a12+ 41a11b1cos120°-41b12=3×9+4×3×4× -4×16=27-24- 64=-61. 9.5解析：由题意可得0i.O成=0,0i.0心=0心.0成=1x1xcos60°= 2o0i0d=√0脉-0+20.o20-0d2元.0 =√H1+1402x+7=5,放答案为5. 方法总结 利用空间向量求长度问题，主要是运用公式|a12=a·a,将线段长 度的计算问题转化为向量数量积的计算问题。 10.-13解析：因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,则a2+b2+c2+ 2(ab+b·c+c·a)=0,因此ab+b…c+ca=3+12+4 2 -13,故答案为-13. 1,2解析：底面ACD为菱形，A=4,∠DAB=市.店- 市.号-44（号）-8 M为棱C的中点成：分办+号花=办+（店+ 成.成(}市成市)成市}。 应+)市.店-市.+16+(-8)]-5，解得市.-2故 答案为2. 第2关（练准确率） 12.A解析：(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,a+b与a-b垂直. 13.D解析：1a1=√13,1b1=5,a与b夹角的余弦值为 ”图，。在。上的投影向量为6·合 9√13 V13x5x93 5 14.ACD解析：由题意可知，A店，A花，A两两垂直，所以(A店+A心)· A=0. 对于A选项，(A店+A心+)2=（应+A心）2+市+2（店+A花）· A=(AB+A心)2+A,(AB+A元-AD)2=(AB+A心)2+Ai-2(AB+ AC)·Ad=(A店+A心)2+A市，故1A店+A花+A1=1A店+A心-A1,所 以A选项正确； 对于B选项，(A+A花+)·B武=(A店+A花+A市)·(A花-A应)= A心也-A,当A心=A时，A心衣-A=0,否则不成立，所以选项B 不正确； 对于C选项，1A成+A心+A市12=1A12+1A心2+1A12+2A市.A花+ 2A店.A市+2A花.A市=A12+AC12+1A12,所以选项C正确； 对于D选项，A店.C市=A店·(A市-AC)=0,同理可得Ad.Bi=0, Ad·B武=0，所以A店.Ci=A花.B=Ai·B武，选项D正确， 故选ACD. 学霸03