第三单元 因数与倍数（易错专项讲义）数学苏教版五年级下册

第三单元 因数与倍数易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 2 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 4 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 7 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 9 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 11 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 15 模块一 易错知识点梳理 1、没有理解因数和倍数是相互依存的关系。 2、2、3、5的倍数特征应用错误。 （1）3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数）记忆不准或计算错误。 （2）同时是2、3、5的倍数时，特征条件遗漏。 3、因数、倍数、奇偶数、质合数关系混乱，认为所有质数都是奇数，或所有合数都是偶数。 4、没有掌握用短除法分解质因数。用短除法分解质因数时，可以先用最小质因数去除，要分解到商是质数为止，再写成质因数相乘的形式。 5、对公因数的概念理解不透彻。准确理解公因数的意义，掌握找公因数的方法。 6、对最大公因数和最小公倍数理解不准确。正确理解最大公因数和最小公倍数的意义。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 【典例1】判断:因为5.7÷0.3=19，所以5.7是0.3的倍数，0.3是5.7的因数。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】因数和倍数是对于整数除法算式而言的，而题目中的被除数和除数都是小数，小数之间不存在因数和倍数的关系。 因数和倍数的概念是对于整数除法来说的。如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数和倍数的关系。 【易错专练1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【答案】B 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的。质数：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数：大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。据此解答。 【解答】因为a÷b＝13（a、b都是非零自然数），所以b是a的因数。 故答案为：B 【易错专练2】因为1.2÷3＝0.4，所以1.2是3和0.4的倍数。（ ） 【答案】× 【分析】解答这道题需熟知：整数除以整数（a、b都不为0）所得的商是整数而没有余数，就说是的倍数，是的因数。也就是说，倍数和因数的概念均限定在整数范围内。1.2÷3＝0.4中1.2和0.4都是小数，不满足整数的前提条件，因此不能用整除描述它们的关系。 【解答】1.2和0.4都是小数，所以1.2是3和0.4的倍数。这句话的描述是错误的。 故答案为：× 【易错专练3】一个数既是4的倍数，又是24的因数，这个数可能是12。（ ） 【答案】√ 【分析】因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。所以判断12能否被4整除、24能否被12整除即可。 【解答】根据分析： 12÷4＝3，3是整数，因此12是4的倍数； 24÷12＝2，2是整数，因此12是24的因数； 所以一个数既是4的倍数，又是24的因数，这个数可能是12。原说法正确。 故答案为：√ 【易错专练4】文文一家开车去距离石家庄360千米的北京看望奶奶，文文的爸爸开车从石家庄到北京，平均每小时行90千米。这句话中，（ ）是（ ）的倍数。 【答案】360 90 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，c是a、b的倍数，根据路程＝速度×时间，据此找出哪个数是哪个数的倍数即可。 【解答】360÷90＝4（小时） 90×4＝360（千米） 文文一家开车去距离石家庄360千米的北京看望奶奶，文文的爸爸开车从石家庄到北京，平均每小时行90千米。这句话中，360是90的倍数。 【易错专练5】下面各组数中，第二个数是第一个数的倍数的是（    ）。 A．42和8 B．12和4 C．1.8和0.9 D．16和32 【答案】D 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，由此即可选择。 【解答】A．42÷8＝5.25，商不是整数，则42不是8的倍数，不符合题意； B．12÷4＝3，12是4的倍数，第一个数是第二个数的倍数，不符合题意； C．1.8÷0.9＝2，1.8和0.9均为小数，不符合题意； D．32÷16＝2，32是16的倍数，满足题意。 故答案为：D 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 【典例2】在□里填上一个数字，使三位数“4□5”是3的倍数。 【错误答案 】3，6，9。 （只考虑了□本身是3的倍数） 【错解分析】误用了3的倍数特征。判断一个数是不是3的倍数，要看所有数位上的数字之和，而不是看某一位。正确做法是计算已知数位的和，再看□填什么能让总和是3的倍数。 【正确解答】已知数位和：4 + 5 = 9。 要使“4+□+5”是3的倍数，即“9+□”是3的倍数。 因为9已经是3的倍数，所以□里可以填的数字是：0，3，6，9。另外，因为9+0=9，9+3=12，9+6=15，9+9=18，都是3的倍数，但答案中必须明确是基于“各位数字之和是3的倍数”来判断的。 【易错专练1】用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 【答案】B 【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。 【解答】既是2的倍数，又是5的倍数，个位一定是0； 750＞570，则既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是750。 故答案为：B 【易错专练2】第三届亚洲青年运动会拳击比赛于当地时间2025年10月23日到10月30日在巴林举行，来自31个国家和地区的182名运动员参加，在男、女14个级别争夺赛中，中国小将斩获1银6铜佳绩，霍邱姑娘王晶晶获60公斤级铜牌，是我们霍邱人的骄傲。文中出现的数字，既是60的因数，又是3的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【答案】B 【分析】先从题目文中逐一提取出现的所有数字，分别是2025、10、23、30、31、182、14、1、6、60，再按照要求筛选出既是60的因数，又是3的倍数的数字，先列出60的全部因数，再从中找出是3的倍数的数，对照提取出的数字匹配后统计符合条件的个数，最终得出满足条件的数字数量。 【解答】文中出现的所有数字，分别是2025、10、23、30、31、182、14、1、6、60； 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60； 从60的因数里，找出是3的倍数的数有：3、6、12、15、30、60； 和题目原文提取的数字对照匹配，符合既是60的因数，又是3的倍数的数：6、30、60； 故答案为：B 【易错专练3】在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除； 3的倍数特征：一个数各个位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除； 5的倍数特征：一个数的末尾是0或5的数，能被5整除。 21□0的末尾是0，所以它是2、5的倍数，因为2＋1＋□的和是3的倍数，据此分析即可。 【解答】2＋1＋□＝3＋□，且□里只填一个数字，有如下几种情况： 当□＝0时，3＋□＝3＋0＝3，3是3的倍数； 当□＝3时，3＋□＝3＋3＝6，6是3的倍数； 当□＝6时，3＋□＝3＋6＝9，9是3的倍数； 当□＝9时，3＋□＝3＋9＝12，12是3的倍数； 所以在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有4种填法。 故答案为：C 【易错专练4】187至少减去（ ）就是2的倍数，至少减去（ ）就是5的倍数，至少加上（ ）就是3的倍数，至少加上（ ）就是2和5的共同倍数。 【答案】1 2 2 3 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数。 2和5的共同倍数特征：个位是0的数是2和5的共同倍数。 【解答】187的个位是7，要变成2的倍数，需要减去1，使个位变为6，即187－1＝186，186是2的倍数。 187的个位是7，要变成5的倍数，需要减去2，使个位变为5，即187－2＝185，185是5的倍数。 187各位数字之和为1＋8＋7＝16，比16大且最接近的3的倍数是18，所以需要加上18－16＝2，即187＋2＝189，189是3的倍数。 187的个位是7，要变成个位为0的数，需要加上3，即187＋3＝190，190是2和5的共同倍数。 所以187至少减去1就是2的倍数，至少减去2就是5的倍数，至少加上2就是3的倍数，至少加上3就是2和5的共同倍数。 【易错专练5】在方框里填上合适的数字。 （1）29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填（ ）。 （2）14□同时是2和3的倍数，□里可以填（ ）。 （3）581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填（ ）。 （4）42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填（ ）。 【答案】（1）0（2）4（3）4（4）0 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0、5的数是5的倍数；一个数各数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。 【解答】（1）是5的倍数，又是2的倍数，所以个位是0。 29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填0。 （2）2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，各数位上的数的和分别是：、、、、，其中9是3的倍数，所以个位上是4。 14□同时是2和3的倍数，□里可以填4。 （3）2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，各数位上的数的和分别是： 、 、 、 、 ，其中18、15是3的倍数，所以个位上是4。 581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填4。 （4）是5的倍数，又是2的倍数，所以个位是0，，6是3的倍数，所以个位上是0。 42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填0。 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 【典例3】判断:所有的奇数都是质数。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为有些奇数因数的个数不止两个，如15的因数有4个，所以不是所有的奇数都是质数。在分析此类问题时要注意一些特殊的数，如0，1，2，3，4等数的特征。 质数中除了2都是奇数，但并不是所有的奇数都是质数。 【正确答案】错误 【易错专练1】一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 【答案】C 【分析】9的最大因数是9，偶数中唯一的质数是2，1既不是质数也不是合数，所以△、〇、□分别是9，2，1。 【解答】由分析可知：△、□、〇分别代表一位数，△、〇、□分别是9，2，1。 确定这个车牌号是吉A•XX921。 故答案为：C 【易错专练2】小明掷骰子（六个面分别标1、2、3、4、5、6），掷出的结果是（    ）。 A．质数的可能性大 B．合数的可能性大 C．无法确定 【答案】A 【分析】每次掷骰子可能的结果为1、2、3、4、5、6，共6种。其中质数为2、3、5，共3种。合数为4、6，共2种。3＞2，就可以得到掷出结果是质数的可能性大还是合数的可能性大，据此解答。 【解答】掷出质数2、3、5。 掷出合数4、6。 因为3＞2，所以掷出结果是质数的可能性大。 故答案为：A 【易错专练3】在1～50的数中，如果质数有m个，则合数有个。（ ） 【答案】× 【分析】在1～50的数中，包括质数、合数和1。1既不是质数也不是合数。总数为50，质数有m个，则合数个数应为总数减去质数个数再减去1，即个。试题中给出的个包含了1，因此错误。 【解答】在1～50的自然数中，总共有50个数。根据质数和合数的定义，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的数；合数是大于1且有超过两个因数的数；1既不是质数也不是合数。因此，。设质数有m个，则合数个数为但试题中给出的合数个数为，这比实际合数个数多1，因为它未排除1。因此，该说法不正确。 故答案为：× 【易错专练4】在“1、2、5、7、9、11”中，质数和奇数的个数不相等。（ ） 【答案】√ 【分析】质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数；奇数是不能被2整除的整数。据此分别统计质数和奇数的个数，再比较判断， 【解答】质数有：2、5、7、11，共4个。 奇数有：1、5、7、9、11，共5个。 因为4≠5，因此质数个数与奇数个数不相等，故题干正确。 故答案为：√ 【易错专练5】第十五届全国运动会由国家体育总局主办，广东、香港、澳门三地联合承办，于2025年11月9日在广州开幕。该届运动会设竞体项目有34个大项（含游泳、海岸赛艇等7项增项）、群众项目有23个大项。 上面画横线的数中：奇数有（ ），偶数有（ ），质数有（ ）。34的因数有（ ）。 【答案】2025、11、9、23 34 11、23 1、2、17、34 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9，最小的奇数是1； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数； 求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。 【解答】分析可知，上面画横线的数中，奇数有2025、11、9、23，偶数有34，质数有11、23。 34÷1＝34 34÷2＝17 所以，34的因数有1、2、17、34。 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 【典例4】把15分解质因数。 【错误答案】3×5=15 【错解分析】错误解答错在没能正确把握什么是分解质因数，错误地写成乘法算式。把一个数用几个质因数相乘的形式表示出来才是分解质因数。 【正确答案】15=3×5 【易错专练1】下面分解质因数正确的是（    ）。 A．16＝4×4 B．40＝1×2×2×5 C．42＝2×3×7 【答案】C 【分析】分解质因数需将合数写成质数相乘的形式，据此解答。 【解答】A．16＝4×4，4不是质数（4＝2×2），错误。 B．40＝1×2×2×5，1不是质数，错误。 C．42＝2×3×7，2、3、7均为质数，且2×3×7＝42，正确。 故答案为：C 【易错专练2】在括号里填上不同的质数。 21＝（ ）＋（ ）＋（ ）      30＝（ ）×（ ）×（ ） 【答案】3 7 11 2 3 5 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，先写出21以内的所有质数，再找出和为21的三个不同的质数；每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式，据此解答。 【解答】21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中3＋7＋11＝21，3＋5＋13＝21。 分析可知，21＝3＋7＋11（答案不唯一），30＝2×3×5。 【易错专练3】你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝（ ）×（ ）×（ ）。 【答案】2 3 5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数；分解质因数只针对合数，写成几个质数相乘的形式，实际运算时可采用逐步分解的方式。 质数就是只能被1和它自身整除的数，合数就是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，据此分析即可。 【解答】30＝6×5＝2×3×5 所以把30也分解质因数：30＝2×3×5。 【易错专练4】把下面各数分解质因数。 32         55          87 【答案】32＝2×2×2×2×2；55＝5×11；87＝3×29 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，分解质因数就是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】32＝2×2×2×2×2                  55＝5×11                  87＝3×29                                         【易错专练5】先圈出下面的合数，再分解质因数。 49    73    91    89    60 【答案】见详解 【分析】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。然后找出合数，再把合数分解成几个质数相乘的形式，这就是分解质因数。 【解答】49除了能被1和49整除外，还能被7整除，所以49是合数。 73只能被1和73整除，所以73是质数。 91除了能被1和91整除外，还能被7和13整除，所以91是合数。 89只能被1和89整除，所以89是质数。 60除了能被1和60整除外，还能被2、3、4、5、6等数整除，所以60是合数。 综上，合数有49、91、60。 49＝7×7 91＝7×13 60＝2×2×3×5 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 【典例5】如果a和b是互质数，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【错误答案】a×b， 1 【错解分析】对“互质”这一特殊情况下的结论记忆不清。两个数互质，意味着它们只有公因数1，所以最大公因数是1。而它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，因为它们没有除了1以外的公因数。 【正确解答】最大公因数是 1，最小公倍数是 a×b。 【易错专练1】用短除法求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18    16和48    5和13 【答案】6、72；16、48；1、65 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，用两个数的公因数去除，除到所得的商只有公因数1为止；把所有除数连乘起来，结果就是这两个数的最大公因数；把所有除数和商连乘起来，结果就是这两个数的最小公倍数。据此解答。 【解答】24和18 24和18的最大公因数是：2×3＝6； 24和18的最小公倍数是：2×3×4×3＝72。 16和48 16和48的最大公因数是：2×2×2×2＝16； 16和48的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48。 5和13 5和13的最大公因数是：1； 5和13的最小公倍数是：5×13＝65。 【易错专练2】用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和24                    21和28 【答案】8，48；7，84 【分析】短除法就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。 根据短除法求取最大公因数和最小公倍数，最大公因数是短除左侧所有质因数相乘，最小公倍数是所有公有质因数和独有质因数的乘积，据此作答。 【解答】根据上述分析可得：                          16和24的最大公因数：2×2×2＝4×2＝8。 16和24的最小公倍数：2×2×2×2×3＝4×2×2×3＝8×2×3＝16×3＝48。 21和28的最大公因数：7 21和28的最小公倍数：7×3×4＝21×4＝84。 所以16和24的最大公因数是8，最小公倍数是48。 21和28的最大公因数是7，最小公倍数是84。 【易错专练3】找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和28           26和39            16和25 【答案】7和28的最大公因数是7，最小公倍数是28； 26和39的最大公因数是13，最小公倍数是78； 16和25的最大公因数是1，最小公倍数是400 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【解答】（1）7和28是倍数关系，所以7和28的最大公因数是7，最小公倍数是28； （2）26＝2×13，39＝3×13 26和39的最大公因数是13，最小公倍数是2×3×13＝78； （3）16和25是互质数，所以16和25的最大公因数是1，最小公倍数是16×25＝400。 【易错专练4】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36    75和15    9和21 【答案】12，72；15，75；3，63 【分析】先把每组数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。据此计算第一、第三题； 两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。据此计算第二题。 【解答】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以24和36的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×2×3×3＝72； 75÷15＝5，所以75和15的最大公因数是15，最小公倍数是75； 9＝3×3 21＝3×7 所以9和21的最大公因数是3，最小公倍数是3×3×7＝63。 【易错专练5】求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和11              10和25                17和51 【答案】最大公因数1；最小公倍数33；最大公因数5；最小公倍数50；最大公因数17；最小公倍数51 【分析】（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积； （2）把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数； （3）如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是两个数中的较小数，最小公倍数是两个数中的较大数，据此解答。 【解答】（1）3和11 3×11＝33 3和11是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是33。 （2）10和25 5×2×5＝50 10和25的最大公因数是5，最小公倍数是50。 （3）17和51 51÷17＝3 51是17的倍数，17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 【典例6】把长为20厘米、宽为16厘米的长方形剪成大小完全相同的小正方形(边长都是整厘米)，且面积尽可能大，纸没有剩余，至少可以剪多少个? 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在最后计算剪成的总个数时，将每行可以剪成的个数加上每列可以剪成的个数。将大长方形剪成小正方形时，因为20和16的最大公因数是4，所以每个小正方形的边长就是4厘米，20÷4=5(个)表示大长方形的长是小正方形的边长的5倍，这样就可以得出每行可以剪5个小正方形。而16÷4=4(个)表示大长方形的宽是小正方形边长的4倍，得出的是每列可以剪4个小正方形。因为每行可以剪5个正方形，可以剪4列，所以用乘法来计算，5×4=20(个)。 【正确答案】 【易错专练1】有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 【答案】6米 【分析】公因数是一个能被若干个整数同时整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。可用短除法求最大公因数（短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。） 要求36米和30米能剪成同样长的短绳且最长，就是求36和30的最大公因数，用短除法求解即可。 【解答】 2×3＝6（米） 答：每根短绳最长6米。 【易错专练2】园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【答案】8棵 【分析】把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行数量相同且无剩余，求每行最多栽的棵数，即求56和72的最大公因数。采用分解质因数法求56和72的最大公因数，先分别把两个数分解成质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将共有的质因数相乘就能得到最大公因数，这个数就是每行最多能栽的树的数量。 【解答】56＝2×2×2×7 72＝2×2×2×3×3 共有的质因数：2×2×2 ＝4×2 ＝8 所以56和72的最大公因数是8。 答：每行最多能栽8棵树。 【易错专练3】某校同学到湿地公园开展社会实践活动，到达后进行分组。五（1）班48名同学，四（1）班人数比五（1）班多6人。现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有多少人？ 【答案】6人 【分析】用48名学生加上6即可求出四（1）班人数；因为每组的人数必须相同，所以每组的人数一定是54和48的公因数：所有能同时被两个数所整除的数。每组最多就是54和48的最大公因数。 【解答】48＋6＝54（人） 54和48的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 答：现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有6人。 【易错专练4】2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 【答案】72人 【分析】根据题意，不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排，说明总人数必须是8和9的公倍数。要求至少有多少人在观看“天宫课堂”，即求8和9的最小公倍数。可以用枚举法求8和9的最小公倍数。 【解答】8的倍数：8、16、24、32、40、48、56、64、72…… 9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81…… 8和9的最小公倍数是72。 答：至少有72人在观看“天宫课堂”。 【易错专练5】从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 【答案】26次 【分析】要解决该问题需先求1路车（4分钟一班）和2路车（6分钟一班）发车间隔的最小公倍数，分解质因数得4＝2×2、6＝2×3，最小公倍数为12，即每12分钟两路车同时发车一次；从早晨6：00到上午11：00共5小时（300分钟），用300÷12＋1＝26（次）（“＋1”包含6：00初始发车），因此到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 【解答】4＝2×2，6＝2×3，最小公倍数为 2×2×3＝12。 11：006：00 ＝5小时 ＝ 5×60 ＝300 分钟。 300÷12＋1 ＝25＋1 ＝26（次） 答：到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数与倍数易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 2 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 3 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 5 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 6 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 7 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 8 模块一 易错知识点梳理 1、没有理解因数和倍数是相互依存的关系。 2、2、3、5的倍数特征应用错误。 （1）3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数）记忆不准或计算错误。 （2）同时是2、3、5的倍数时，特征条件遗漏。 3、因数、倍数、奇偶数、质合数关系混乱，认为所有质数都是奇数，或所有合数都是偶数。 4、没有掌握用短除法分解质因数。用短除法分解质因数时，可以先用最小质因数去除，要分解到商是质数为止，再写成质因数相乘的形式。 5、对公因数的概念理解不透彻。准确理解公因数的意义，掌握找公因数的方法。 6、对最大公因数和最小公倍数理解不准确。正确理解最大公因数和最小公倍数的意义。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 【典例1】判断:因为5.7÷0.3=19，所以5.7是0.3的倍数，0.3是5.7的因数。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】因数和倍数是对于整数除法算式而言的，而题目中的被除数和除数都是小数，小数之间不存在因数和倍数的关系。 因数和倍数的概念是对于整数除法来说的。如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数和倍数的关系。 【易错专练1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【易错专练2】因为1.2÷3＝0.4，所以1.2是3和0.4的倍数。（ ） 【易错专练3】一个数既是4的倍数，又是24的因数，这个数可能是12。（ ） 【易错专练4】文文一家开车去距离石家庄360千米的北京看望奶奶，文文的爸爸开车从石家庄到北京，平均每小时行90千米。这句话中，（ ）是（ ）的倍数。 【易错专练5】下面各组数中，第二个数是第一个数的倍数的是（    ）。 A．42和8 B．12和4 C．1.8和0.9 D．16和32 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 【典例2】在□里填上一个数字，使三位数“4□5”是3的倍数。 【错误答案 】3，6，9。 （只考虑了□本身是3的倍数） 【错解分析】误用了3的倍数特征。判断一个数是不是3的倍数，要看所有数位上的数字之和，而不是看某一位。正确做法是计算已知数位的和，再看□填什么能让总和是3的倍数。 【正确解答】已知数位和：4 + 5 = 9。 要使“4+□+5”是3的倍数，即“9+□”是3的倍数。 因为9已经是3的倍数，所以□里可以填的数字是：0，3，6，9。另外，因为9+0=9，9+3=12，9+6=15，9+9=18，都是3的倍数，但答案中必须明确是基于“各位数字之和是3的倍数”来判断的。 【易错专练1】用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 【易错专练2】第三届亚洲青年运动会拳击比赛于当地时间2025年10月23日到10月30日在巴林举行，来自31个国家和地区的182名运动员参加，在男、女14个级别争夺赛中，中国小将斩获1银6铜佳绩，霍邱姑娘王晶晶获60公斤级铜牌，是我们霍邱人的骄傲。文中出现的数字，既是60的因数，又是3的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【易错专练3】在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 【易错专练4】187至少减去（ ）就是2的倍数，至少减去（ ）就是5的倍数，至少加上（ ）就是3的倍数，至少加上（ ）就是2和5的共同倍数。 【易错专练5】在方框里填上合适的数字。 （1）29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填（ ）。 （2）14□同时是2和3的倍数，□里可以填（ ）。 （3）581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填（ ）。 （4）42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填（ ）。 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 【典例3】判断:所有的奇数都是质数。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为有些奇数因数的个数不止两个，如15的因数有4个，所以不是所有的奇数都是质数。在分析此类问题时要注意一些特殊的数，如0，1，2，3，4等数的特征。 质数中除了2都是奇数，但并不是所有的奇数都是质数。 【正确答案】错误 【易错专练1】一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 【易错专练2】小明掷骰子（六个面分别标1、2、3、4、5、6），掷出的结果是（    ）。 A．质数的可能性大 B．合数的可能性大 C．无法确定 【易错专练3】在1～50的数中，如果质数有m个，则合数有个。（ ） 【易错专练4】在“1、2、5、7、9、11”中，质数和奇数的个数不相等。（ ） 【易错专练5】第十五届全国运动会由国家体育总局主办，广东、香港、澳门三地联合承办，于2025年11月9日在广州开幕。该届运动会设竞体项目有34个大项（含游泳、海岸赛艇等7项增项）、群众项目有23个大项。 上面画横线的数中：奇数有（ ），偶数有（ ），质数有（ ）。34的因数有（ ）。 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 【典例4】把15分解质因数。 【错误答案】3×5=15 【错解分析】错误解答错在没能正确把握什么是分解质因数，错误地写成乘法算式。把一个数用几个质因数相乘的形式表示出来才是分解质因数。 【正确答案】15=3×5 【易错专练1】下面分解质因数正确的是（    ）。 A．16＝4×4 B．40＝1×2×2×5 C．42＝2×3×7 【易错专练2】在括号里填上不同的质数。 21＝（ ）＋（ ）＋（ ）      30＝（ ）×（ ）×（ ） 【易错专练3】你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝（ ）×（ ）×（ ）。 【易错专练4】把下面各数分解质因数。 32         55          87 【易错专练5】先圈出下面的合数，再分解质因数。 49    73    91    89    60 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 【典例5】如果a和b是互质数，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【错误答案】a×b， 1 【错解分析】对“互质”这一特殊情况下的结论记忆不清。两个数互质，意味着它们只有公因数1，所以最大公因数是1。而它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，因为它们没有除了1以外的公因数。 【正确解答】最大公因数是 1，最小公倍数是 a×b。 【易错专练1】用短除法求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18    16和48    5和13 【易错专练2】用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和24                    21和28 【易错专练3】找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和28           26和39            16和25 【易错专练4】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36    75和15    9和21 【易错专练5】求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和11              10和25                17和51 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 【典例6】把长为20厘米、宽为16厘米的长方形剪成大小完全相同的小正方形(边长都是整厘米)，且面积尽可能大，纸没有剩余，至少可以剪多少个? 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在最后计算剪成的总个数时，将每行可以剪成的个数加上每列可以剪成的个数。将大长方形剪成小正方形时，因为20和16的最大公因数是4，所以每个小正方形的边长就是4厘米，20÷4=5(个)表示大长方形的长是小正方形的边长的5倍，这样就可以得出每行可以剪5个小正方形。而16÷4=4(个)表示大长方形的宽是小正方形边长的4倍，得出的是每列可以剪4个小正方形。因为每行可以剪5个正方形，可以剪4列，所以用乘法来计算，5×4=20(个)。 【正确答案】 【易错专练1】有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 【易错专练2】园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【易错专练3】某校同学到湿地公园开展社会实践活动，到达后进行分组。五（1）班48名同学，四（1）班人数比五（1）班多6人。现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有多少人？ 【易错专练4】2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 【易错专练5】从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $