专项训练三 挑战压轴题（第三单元 因数和倍数）典型题集训-2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项题型训练

专项训练三 挑战压轴题（第三单元 因数和倍数） 【原卷版】 一、选择题 1．（24-25五年级下·江苏盐城·期末）小林和小军都去参加游泳训练，小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月4日一起训练后，下一次一起训练是（    ）。 A．7月27日 B．7月28日 C．7月29日 D．8月21日 2．（24-25五年级下·江苏盐城·期末）同学们给希望小学捐赠图书，刚好可以平均分给五年级3个班的同学。他们一共捐赠了（    ）本图书。 A．214 B．246 C．349 D．373 3．（24-25五年级下·江苏南通·期末）下面四个选项运用的策略与推导圆的面积公式所用策略不同的是（    ）。 A． B．为了找出36的全部因数，写出所有积是36的整数乘法算式 C．计算2.25×1.7时，先算225×17，再在积中添上小数点 D．计算下图阴影部分面积（单位：cm），就是计算边长为4cm的正方形面积 4．（24-25五年级下·江苏镇江·期末）古希腊数学家认为：如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如15有1，3，5，15四个因数，除本身15以外，还有1，3，5三个因数，15＞1＋3＋5，所以15就是“亏数”。下列数中是“亏数”的是（    ）。 A．12 B．18 C．22 D．36 5．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）若X是奇数，Y是偶数，且X＞Y＞0，下面选项的结果一定是奇数的是（    ）。 A．X－Y B．X×Y C．2X＋Y D．4X－3Y 6．（24-25五年级下·江苏淮安·期末）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，这两个数可能是（    ）。 A．8和12 B．18和12 C．16和12 D．8和24 7．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）在大于5的自然数中，个位上是0、2、4、5、6、8的数都是（    ）。 A．合数 B．质数 C．偶数 D．5的倍数 8．（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．（24-25五年级下·山东滨州·期末）a和b是两个非零自然数，它们的关系如图，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 10．（24-25五年级下·湖南怀化·期末）在1，2，5，11，12，46，51，78，91这9个自然数中，( )是奇数，( )不是合数，( )是偶数但不是质数。 11．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）24的因数有( )，其中质数有( )，( )既不是质数也不是合数。 12．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）在括号里填上适当的质数。 24＝( )＋( )        91＝( )×( ) 13．（24-25五年级下·江苏盐城·期末）盐城的新四军纪念馆是全国唯一一座全面反映新四军十年抗战历史的综合性纪念馆。同学们去新四军纪念馆参观，分组时如果每8人一组或每6人一组，都刚好分完。去参观的人数在40～60人之间，一共有( )人。 14．在被除数小于100的情况下，下面算式中的□＝( )。 □÷A＝3……3 □÷B＝4……4 □÷C＝5……5 （□代表同一个数，A，B，C代表不同的数。） 15．一个两位数除以2、3、5，结果都余1。这个数最小是( )，最大是( )。 16．甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果3月5日这天他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆借书是( )月( )日。 三、判断题 17．（24-25五年级下·内蒙古通辽·期末）王老师买了一些单价是2元的绘画笔，她给收银员100元，收银员找给她37元。( ) 18．（24-25五年级下·四川绵阳·期末）最小的完全数不是3的倍数。( ) 19．（24-25五年级下·江西吉安·期末）在算式中，24是1.2的倍数，1.2是24的因数。( ) 20．（2025·广东湛江·小升初真题）两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( ) 四、计算题 21．（23-24五年级下·山东青岛·期中）用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 9和15              19和57          42和35 22．（24-25五年级下·全国·课后作业）先计算下面各题，再探究几个数相乘积的奇偶性。 3×9×11        2×6×8×10        2×7×9×4        5×7×11×2 我发现：乘数都是奇数，积也是（    ），乘数都是偶数，积也是（    ）。几个数相乘，只要有一个偶数，积一定是（    ）。 五、解答题 23．（24-25五年级下·广西柳州·期末）劳动基地有一块长15米、宽9米的长方形菜地。同学们划分成大小相同的正方形（边长为整米数）种植不同的蔬菜。正方形地的最大边长是多少？ 24．（24-25五年级下·江苏南通·期中）李奶奶家门前有个长16米、宽12米的长方形池塘。李奶奶要在池塘的周围围一圈栅栏，为了美观，李奶奶要求所用的每块栅栏的长度相同。至少需要几块相同的栅栏？ 25．（24-25五年级下·江苏南通·期中）通师一附小学举行广播操比赛，五年级二班设计的队形方案：1名学生在前面领操，其他学生既可以正好排成每行12人，也可以正好排成每行16人。五二班至少有学生多少人？ 26．（24-25五年级下·河南信阳·期末）下图所示为一种长方形拼板，该拼板长是18厘米，宽是12厘米，你能用若干块这样的拼板拼出正方形吗？如果能，最少需要多少块？请你画出拼成的正方形的草图。 27．（24-25五年级下·江西抚州·期末）学校举办了以“绿色发展，低碳创新”为主题的环保宣传活动，老师打算将报名的同学分成若干小组，结果发现无论是按6人一组，还是按8人一组，都恰好能分完。如果参加活动的同学人数在40到50人之间，那么报名参加此次活动的同学有多少人？ 28．（24-25五年级下·江苏南京·期末）李老师要将一根长36厘米的红彩带和一根长48厘米的绿彩带剪成长度一样且没有剩余的短彩带。每根短彩带最长是多少厘米？一共剪出几根短彩带？ 29．（24-25五年级下·四川巴中·期末）乐乐、康康、安安住在同一个小区同一栋楼。他们家的楼层号是三个不同的质数且和是42，这三个质数的积最大是多少？（写出解题的分析过程） 30．（24-25五年级下·四川巴中·期末）五2班同学到敬老院大扫除，无论18人一组还是12人一组都多2人。这个班的人数在30至50之间，这个班有学生多少人？ 31．（24-25五年级下·天津滨海新区·期末）李伯伯要将一块长为18分米、宽为12分米的长方形木板，截成同样大的边长为整分米的正方形小木板。如果木板没有剩余，那么所截成的正方形小木板的边长最大是多少分米？一共能截成多少块这样的小木板？（切割时损耗忽略不计） 32．（24-25五年级下·全国·课后作业）80可以是哪两个数的最小公倍数？你能找出几组？（至少写出3组）。 33．一个长方形的长和宽分别是18厘米和12厘米，用这样的长方形拼一个正方形。正方形的边长最少是多少？至少几个这样的长方形才能拼成正方形？ 34．爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 35．工人师傅装修房子，要用一种长方形的地砖铺地，地砖长48cm，宽32cm，用这种地砖铺一个正方形，至少需要多少块？ 36．植树节到了，何老师带五（1）班同学去植树，一共植了123棵，已知五（1）班人数不超过50人，何老师植树的棵数和每个同学植树棵数一样。这个班有多少名同学？每个同学植树多少棵？ 37．放假时，杭老师用216元钱买了若干支钢笔当奖品发给“三好学生”，如果每支钢笔便宜1元，那么他可以多买3支。杭老师买了多少支钢笔？每支钢笔多少元？ 38．32□□0是有两个相同数字的五位数，它同时是2、3和5的倍数，这个五位数最小是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练三 挑战压轴题（第三单元 因数和倍数） 【解析版】 一、选择题 1．（24-25五年级下·江苏盐城·期末）小林和小军都去参加游泳训练，小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月4日一起训练后，下一次一起训练是（    ）。 A．7月27日 B．7月28日 C．7月29日 D．8月21日 【答案】B 【思路引导】本题先求6和8的最小公倍数，即从7月4日到下次一起训练间隔的天数，然后用已知的一起训练的日期加上间隔的天数，就能推算出下一次一起训练的日期。 【规范解答】6＝2×3，8＝2×2×2 6和8的最小公倍数为：2×2×2×3＝24 即他们每隔24天会一起训练一次。 7月4日＋24天＝7月28日 下一次一起训练是7月28日。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·江苏盐城·期末）同学们给希望小学捐赠图书，刚好可以平均分给五年级3个班的同学。他们一共捐赠了（    ）本图书。 A．214 B．246 C．349 D．373 【答案】B 【思路引导】题中说刚好可以平均分给五年级3个班的同学，也就是捐赠图书的数量是3的倍数，一个数是3的倍数的特征：这个数的各位数字之和是3的倍数。因此把每个选项的数的各个数位上的数字相加，判断结果是否是3的倍数，即可解答。 【规范解答】A．214：2＋1＋4＝7，7不是3的倍数，所以214不是3的倍数。错误； B．246：2＋4＋6＝12，12是3的倍数，所以246是3的倍数。正确； C．349：3＋4＋9＝16，16不是3的倍数，所以349不是3的倍数。错误； D．373：3＋7＋3＝13，13不是3的倍数，所以373不是3的倍数。错误。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·江苏南通·期末）下面四个选项运用的策略与推导圆的面积公式所用策略不同的是（    ）。 A． B．为了找出36的全部因数，写出所有积是36的整数乘法算式 C．计算2.25×1.7时，先算225×17，再在积中添上小数点 D．计算下图阴影部分面积（单位：cm），就是计算边长为4cm的正方形面积 【答案】B 【思路引导】推导圆的面积公式用的是转化策略，即将圆转化为近似的长方形来推导面积。逐项判断各个选项所运用的数学策略，与“转化”策略进行对比即可。 【规范解答】推导圆的面积公式的策略：把圆平均分成若干份，拼成近似的长方形，通过长方形的面积（长×宽，长是圆周长的一半，宽是圆的半径）推导出圆的面积，核心是转化策略（将未知的圆面积转化为已知的长方形面积）。 A．，是将异分母分数转化为同分母分数（通分），运用了转化策略，和圆面积推导策略一致。 B．为了找出36的全部因数，写出所有积是36的整数乘法算式，这是列举策略（直接列举出所有可能的乘法算式来找因数），没有用到转化策略，和圆面积推导策略不同。 C．计算2.25×1.7时，先算225×17，再在积中添上小数点，是将小数乘法转化为整数乘法，运用了转化策略，和圆面积推导策略一致。 D．计算阴影部分面积时，转化为计算边长为4cm的正方形面积，是将不规则的阴影图形转化为规则的正方形，运用了转化策略，和圆面积推导策略一致。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·江苏镇江·期末）古希腊数学家认为：如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如15有1，3，5，15四个因数，除本身15以外，还有1，3，5三个因数，15＞1＋3＋5，所以15就是“亏数”。下列数中是“亏数”的是（    ）。 A．12 B．18 C．22 D．36 【答案】C 【思路引导】应用列乘法算式法找出各选项的所有因数，再比较各个数与它的所有因数（本身除外）相加的和的大小，根据亏数的定义判断即可解答。 【规范解答】A．12的因数（本身除外）有1，2，3，4，6；12＜1＋2＋3＋4＋6，所以12不是亏数； B．18的因数（本身除外）有1，2，3，6，9；18＜1＋2＋3＋6＋9，所以18不是亏数； C．22的因数（本身除外）有1，2，11；22＞1＋2＋11，所以22是亏数； D．36的因数（本身除外）有1，2，3，4，6，9，12，18；36＜1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18，所以36不是亏数。 故答案为：C 5．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）若X是奇数，Y是偶数，且X＞Y＞0，下面选项的结果一定是奇数的是（    ）。 A．X－Y B．X×Y C．2X＋Y D．4X－3Y 【答案】A 【思路引导】奇数：不能被2整除的数，偶数：能被2整除的数；据此可以举例逐项判断。 【规范解答】若X是奇数，Y是偶数，且X＞Y＞0，假设X是5，Y是2； A．X－Y＝5－2＝3，3是奇数；     B．X×Y＝5×2＝10，10是偶数；     C．2X＋Y＝2×5＋2＝10＋2＝12，12是偶数； D．4X－3Y＝4×5－3×2＝20－6＝14，14是偶数； 若X是奇数，Y是偶数，且X＞Y＞0，结果一定是奇数的是X－Y。 故答案为：A 6．（24-25五年级下·江苏淮安·期末）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，这两个数可能是（    ）。 A．8和12 B．18和12 C．16和12 D．8和24 【答案】A 【思路引导】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，分别求出选项中两个数的最大公因数和最小公倍数，再找出符合题意的选项，据此解答。 【规范解答】 A． 8和12的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×2×3＝24。 B． 18和12的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×3×2＝36。 C． 16和12的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×4×3＝48。 D． 8和24的最大公因数是2×2×2＝8，最小公倍数是2×2×2×1×3＝24。 综上所述，两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，这两个数可能是8和12。 故答案为：A 7．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）在大于5的自然数中，个位上是0、2、4、5、6、8的数都是（    ）。 A．合数 B．质数 C．偶数 D．5的倍数 【答案】A 【思路引导】根据合数，质数，偶数，5的倍数的特征解决题目。合数是指一个数除了1和它本身还有其它的因数，质数是指一个数只有1和它本身两个因数，偶数是指个位上是0、2、4、6、8的数，5的个倍数特征：一个数的个位是0或5的倍数。 【规范解答】A．合数是最少有3个因数的数，题中给的数都满足，选项正确； B．根据质数的定义，题中给出的数都不是质数，选项错误； C．根据偶数的定义，题中给出的数中15，25等都不是偶数，选项错误； D．大于5的自然数中，个位上是2、4、6、8的数，不是5的倍数，选项错误； 故答案为：A 【考点剖析】本题中，给出的条件，注意包含个位是5且大于5的自然数，不仅是个位上是0、2、4、6、8的数。 8．（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①除2之外，所有的质数都是奇数，因为奇数加奇数等于偶数， 所以除2之外，任意两个质数的和一定是偶数，表述正确； ②一个质数和一个合数不一定是互质数，例如2和4，其中2是质数，4是合数，它们公因数除了1还有2，2和4不是互质数 ，所以一个质数和一个合数一定是互质数，表述不正确； ③假设a和b是相邻的两个连续自然数，且a＞b， 若c为它们的公因数， 则c一定能整除a －b，由于a－b＝1，所以c ＝1，所以两个连续的非零自然数一定是互质数，表述正确； ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，假设a＝4，b＝2，则a的因数有1，2和4，b的因数有1和2，则a的因数个数一定多于b的因数个数。所以a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数，表述正确。 【规范解答】根据分析可得①③④正确，所以有3句是正确的。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查因数与倍数、质数与合数、奇数与偶数，解答本题的关键是掌握这些知识点。 二、填空题 9．（24-25五年级下·山东滨州·期末）a和b是两个非零自然数，它们的关系如图，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 24 4 【思路引导】从图中倍数关系可知：a的倍数有8、16、32、40…，一个数的最小倍数就是它本身，这些数中8最小，所以a为8；b的倍数有12、36、60…，这些数中12最小，所以b为12。 这两个数的共有倍数是：24、48、72…，24最小，所以a和b的最小公倍数是24。利用分解质因数法求8和12的最大公因数，8＝2×2×2；12＝2×2×3。最大公因数是两个数公有的质因数的乘积。8和12公有的质因数是2和2，所以它们的最大公因数为2×2＝4。 【规范解答】a的倍数有8、16、32、40…，所以a为8；b的倍数有12、36、60…，所以b为12。 这两个数的共有倍数是：24、48、72…，24最小，所以a和b的最小公倍数是24。 8＝2×2×2 12＝2×2×3 2×2＝4 a和b的最小公倍数是24，最大公因数是4。 10．（24-25五年级下·湖南怀化·期末）在1，2，5，11，12，46，51，78，91这9个自然数中，( )是奇数，( )不是合数，( )是偶数但不是质数。 【答案】 1、5、11、51、91 1、2、5、11 12、46、78 【思路引导】奇数是不能被2整除的数（个位为1、3、5、7、9）；偶数是能被2整除的数（个位为0、2、4、6、8）；质数是只有1和它本身两个因数的数；合数是除了1和它本身，还有其他因数的数，1既不是质数也不是合数。 【规范解答】奇数有：1、5、11、51、91 1不是合数；2不是合数；5不是合数；11不是合数；12是合数；46是合数；51是合数；78是合数；91是合数。不是合数的数有：1、2、5、11； 偶数有：2、12、46、78； 2是偶数，也是质数；12是偶数，不是质数；46是偶数，不是质数；78是偶数，不是质数）。是偶数但不是质数有：12、46、78。 在1，2，5，11，12，46，51，78，91这9个自然数中，1、5、11、51、91是奇数，1、2、5、11不是合数，12、46、78是偶数但不是质数。 11．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）24的因数有( )，其中质数有( )，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 1，2，3，4，6，8，12，24 2，3 1 【思路引导】找24的因数可以一对一对的地找，即乘积为24的两个整数为其因数；只有1和它本身两个因数的就是质数，只有1既不是质数也不是合数。 【规范解答】①，所以1和24是24的因数；，所以2和12是24的因数；，所以3和8是24的因数；，所以4和6是24的因数。因此24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 ②1不符合质数的要求；2的因数为1和2，符合质数的要求；3的因数为1和3，符合质数的要求；4的因数有1、2、4，三个因数不符合质数的要求；6的因数有1、2、3、6，四个因数不符合质数的要求；8的因数有1、2、4、8，四个因数不符合质数的要求；12的因数有1、2、3、4、6、12，六个因数不符合质数的要求；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，八个因数不符合质数的要求。所以24的因数中质数有：2、3。 ③1只有1个因数既不是质数也不是合数。 12．（24-25五年级下·江苏连云港·期末）在括号里填上适当的质数。 24＝( )＋( )        91＝( )×( ) 【答案】 5 19 13 7 【思路引导】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；找出24以内的质数，找出两个质数的和为24即可（答案不唯一）；分解91为两个质数之积时，需找到能整除91的质数对。 【规范解答】24以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23。 24＝5＋19 91＝13×7 24＝5＋19       91＝13×7 13．（24-25五年级下·江苏盐城·期末）盐城的新四军纪念馆是全国唯一一座全面反映新四军十年抗战历史的综合性纪念馆。同学们去新四军纪念馆参观，分组时如果每8人一组或每6人一组，都刚好分完。去参观的人数在40～60人之间，一共有( )人。 【答案】48 【思路引导】因为每8人一组或每6人一组，都刚好分完，所以总人数是8和6的公倍数，利用分解质因数法先求出8和6的公倍数，再结合人数范围确定一共的人数。 【规范解答】8＝2×2×2 6＝2×3 2×2×2×3＝24 8和6的公倍数：24、48、72… 在40～60之间的公倍数只有48。 所以去参观的人数一共有48人。 14．在被除数小于100的情况下，下面算式中的□＝( )。 □÷A＝3……3 □÷B＝4……4 □÷C＝5……5 （□代表同一个数，A，B，C代表不同的数。） 【答案】60 【思路引导】根据题意，商和余数相同，设商和余数为a。被除数＝除数×商＋余数，被除数＝除数×a＋a，被除数＝a×（除数＋1），即a＝被除数÷（除数＋1）；由此可知，被除数是a的倍数，a＝3，a＝4，a＝5，被除数就是3、4、5的倍数，据此解答。 【规范解答】商＝余数 设商与余数为a； 被除数＝除数×a＋a 被除数＝a×（除数＋1） 被除数是a的倍数；被除数小于100； a＝3，a＝4，a＝5，被除数是3，4，5的最小公倍数， 3、4，5的最小公倍数是：3×4×5＝60，即□＝60。 在被除数小于100的情况下，下面算式中的□＝60。 □÷A＝3……3 □÷B＝4……4 □÷C＝5……5 （□代表同一个数，A，B，C代表不同的数）。 【考点剖析】解答本题的关键是求出被除数与商之间的关系，进而利用求最小公倍数的方法进行解答。 15．一个两位数除以2、3、5，结果都余1。这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 31 91 【思路引导】由题意可知，这个两位数减掉1之后是2、3、5的倍数，所以先求出2、3、5的公倍数且要求公倍数是两位数，再加上1，就得到了原来的两位数。 【规范解答】2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，而30的2倍数60，3倍数90也都是2、3、5的倍数，因此满足条件的最小的两位数是30＋1＝31，最大两位数是90＋1＝91。 【考点剖析】本题考查用公倍数和最小公倍数的知识解决，所求量与几个量的倍数有关的问题。 16．甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果3月5日这天他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆借书是( )月( )日。 【答案】 5 16 【思路引导】由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日这天他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书的天数是6的倍数、也是8的倍数、还是9的倍数，即是6、8、9的公倍数，下一次就是6、8、9的最小公倍数的天数；根据年月日的知识可知：3月是大月有31天，4月是小月有30天，5月是大月有31天，然后用它们的最小公倍数减去3月里剩下的天数，再减去4月里的30天，最后剩下的天数就到了五月，剩下的天数小于31日，说明同去的日子就在五月里，是几就是5月几日，据此解答。 【规范解答】6＝2×3 8＝2×2×2 9＝3×3 所以6、8、9的最小公倍数＝2×3×3×2×2＝72 3月还有：31－5＝26（天） 72－26－30＝16（天），16＜31 所以下一次都到图书馆的时间是5月16日。 【考点剖析】解答本题关键是先理解下一次都到图书的天数，是6、8、9的最小公倍数，然后减去3月里的剩下的天数再减去4月里的天数，剩下的天数小于31，就在五月里，是几就是5月几日。 三、判断题 17．（24-25五年级下·内蒙古通辽·期末）王老师买了一些单价是2元的绘画笔，她给收银员100元，收银员找给她37元。( ) 【答案】× 【思路引导】王老师支付100元，找回37元，用支付的钱数减去找回的钱数计算出实际花费的钱数；已知每支绘画笔2元，用实际花费的钱数除以单价计算出购买数量，要求购买数量必须是整数；据此判断。 【规范解答】100－37＝63（元） 63÷2＝31.5（支） 31.5不是整数，说明收银员找钱错误。 故答案为：× 18．（24-25五年级下·四川绵阳·期末）最小的完全数不是3的倍数。( ) 【答案】× 【思路引导】完全数的定义是除自身外的所有因数之和等于它本身的数。最小的完全数是6，用6除以3看结果是否为3的倍数即可判断。 【规范解答】最小的完全数是6。6的因数有1、2、3、6，且1＋2＋3＝6，符合完全数的定义。因为6÷3＝2，余数为0，所以6是3的倍数。因此，题目中的判断错误， 故答案为：× 19．（24-25五年级下·江西吉安·期末）在算式中，24是1.2的倍数，1.2是24的因数。( ) 【答案】× 【思路引导】根据因数和倍数的定义，它们只在整数范围内讨论。题目中除数是1.2（小数），不符合整数条件，因此结论错误。 【规范解答】通过分析可得：在因数和倍数的概念中，被除数、除数、商必须均为整数且无余数。算式24÷1.2＝20中，除数1.2是小数，不符合因数和倍数的整数性要求。因此，24不是1.2的倍数，1.2也不是24的因数。原题说法错误。 故答案为：× 20．（2025·广东湛江·小升初真题）两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( ) 【答案】× 【思路引导】根据两个数的乘积等于它们最大公因数与最小公倍数的乘积，用两个数的积除以它们的最大公因数，再根据两个数的最小公倍数是最大公因数的整数倍进行验证，用两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数看是否为整数即可验证。 【规范解答】480÷8＝60 60÷8＝7.5 说明两数的最小公倍数不是两数的最大公因数的整数倍，所以两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60的说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题看似简单，解答本题如果只是用两个数的积除以它们的最大公因数，得出的结果就是最小公倍数，但经过验证发现是错误的。 四、计算题 21．（23-24五年级下·山东青岛·期中）用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 9和15              19和57          42和35 【答案】9和15 的最大公因数是3，最小公倍数是45； 19和57的最大公因数是19，最小公倍数是57； 42和35的最大公因数是7，最小公倍数是210 【思路引导】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，把这两个数写在短除号里面，除以它们的公有的质因数，一直除到所得的两个商互质，只有公因数1为止。把所有的除数相乘，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到两个数的最小公倍数。 【规范解答】（1）9和15     9和15 的最大公因数是3，最小公倍数是3×3×5＝45； （2）19和57 19和57的最大公因数是19，最小公倍数是19×3＝57； （3）42和35 42和35的最大公因数是7，最小公倍数是7×6×5＝210。 22．（24-25五年级下·全国·课后作业）先计算下面各题，再探究几个数相乘积的奇偶性。 3×9×11        2×6×8×10        2×7×9×4        5×7×11×2 我发现：乘数都是奇数，积也是（    ），乘数都是偶数，积也是（    ）。几个数相乘，只要有一个偶数，积一定是（    ）。 【答案】297；960；504；770； 奇数；偶数；偶数 【思路引导】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；先根据整数乘法的计算，先算出每个算式的结果，再根据判断每个数的奇偶性以及结果的奇偶性，进而推出几个数相乘积的奇偶性。 【规范解答】3×9×11         ＝27×11           ＝297 3、9和11是奇数，297是奇数。 2×6×8×10 ＝12×8×10 ＝96×10 ＝960 2、6、8和10是偶数，960也是偶数。 2×7×9×4             ＝14×9×4             ＝126×4 ＝504 2、4是偶数，7和9是奇数，504是偶数。 5×7×11×2 ＝35×11×2 ＝385×2 ＝770 5、7、11是奇数，2是偶数。 我发现：乘数都是奇数，积也是奇数，乘数都是偶数，积也是偶数。几个数相乘，只要有一个偶数，积一定是偶数。 五、解答题 23．（24-25五年级下·广西柳州·期末）劳动基地有一块长15米、宽9米的长方形菜地。同学们划分成大小相同的正方形（边长为整米数）种植不同的蔬菜。正方形地的最大边长是多少？ 【答案】3米 【思路引导】根据题意，要找能将长15米、宽9米的长方形划分成大小相同的正方形（边长为整米数）的最大边长，就是求15和9的最大公因数，据此解答。 【规范解答】15的因数：1、3、5、15 9的因数：1、3、9 15和9的最大公因数是3。 答：正方形地的最大边长是3米。 24．（24-25五年级下·江苏南通·期中）李奶奶家门前有个长16米、宽12米的长方形池塘。李奶奶要在池塘的周围围一圈栅栏，为了美观，李奶奶要求所用的每块栅栏的长度相同。至少需要几块相同的栅栏？ 【答案】14块 【思路引导】栏杆越少需要的越少，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数，据此求出长和宽的最大公因数是栏杆最长的长度。据此根据长方形周长＝（长＋宽）×2，先求出池塘周长，池塘周长÷栏杆长度＝需要的栏杆数量。 【规范解答】16＝2×2×2×2 12＝2×2×3 2×2＝4（米） （16＋12）×2÷4 ＝28×2÷4 ＝14（块） 答：至少需要14块相同的栅栏。 25．（24-25五年级下·江苏南通·期中）通师一附小学举行广播操比赛，五年级二班设计的队形方案：1名学生在前面领操，其他学生既可以正好排成每行12人，也可以正好排成每行16人。五二班至少有学生多少人？ 【答案】49人 【思路引导】由题意可知，如果把五二班的总人数去掉1人，那么剩余人数既是12的倍数，也是16的倍数，由此可知，五二班的总人数比12和16的公倍数多1，则最少人数比这两个数的最小公倍数多1，据此解答。 【规范解答】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数：2×2×3×2×2＝48 48＋1＝49（人） 答：五二班至少有学生49人。 26．（24-25五年级下·河南信阳·期末）下图所示为一种长方形拼板，该拼板长是18厘米，宽是12厘米，你能用若干块这样的拼板拼出正方形吗？如果能，最少需要多少块？请你画出拼成的正方形的草图。 【答案】能；6块；图见详解 【思路引导】求最少需要的块数，则正方形的边长就是18和12的最小公倍数；先把这两个数分解质因数，用独有质因数和共有质因数的乘积就是最小公倍数，再根据长方形的面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，之后用正方形面积除以长方形面积即可求出需要多少块。然后用正方形的边长除以长方形的长，正方形的边长除以长方形的宽，即可求出长有几个，宽有几个。再画图。 【规范解答】18＝2×3×3 12＝2×2×3 18和12的最小公倍数2×2×3×3＝36；正方形的边长是36厘米。 36÷18＝2（块） 36÷12＝3（块） （36×36）÷（18×12） ＝1296÷216 ＝6（块） 如图： 答：能拼成正方形，至少需要6块。 27．（24-25五年级下·江西抚州·期末）学校举办了以“绿色发展，低碳创新”为主题的环保宣传活动，老师打算将报名的同学分成若干小组，结果发现无论是按6人一组，还是按8人一组，都恰好能分完。如果参加活动的同学人数在40到50人之间，那么报名参加此次活动的同学有多少人？ 【答案】48人 【思路引导】“按6人或8人一组都恰好分完”，说明同学人数能同时被6和8整除，即这个数是6和8的公倍数。通过分解质因数找它们的最小公倍数，再据此找符合范围的公倍数。 分解6和8的质因数：6＝2×3；8＝2×2×2，最小公倍数是：2×2×2×3＝24。在40到50之间的只有：24×2＝48，符合条件且在人数范围内。 【规范解答】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 答：报名参加此次活动的同学有48人。 28．（24-25五年级下·江苏南京·期末）李老师要将一根长36厘米的红彩带和一根长48厘米的绿彩带剪成长度一样且没有剩余的短彩带。每根短彩带最长是多少厘米？一共剪出几根短彩带？ 【答案】12厘米；7根 【思路引导】要让红、绿彩带剪完后“长度相同且无剩余”，短彩带的长度必须是36和48的公因数；而“最长长度”就是两数的最大公因数。用分解质因数法计算最大公因数，36＝2×2×3×3；48＝2×2×2×2×3，最大公因数为2×2×3＝12，即每根短彩带最长是12厘米。然后用36和48分别除以12后，再把商相加即可解答。 【规范解答】36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 2×2×3＝12（厘米） 36÷12＋48÷12 ＝3＋4 ＝7（根） 答：每根短彩带最长是12厘米，一共剪出7根短彩带。 29．（24-25五年级下·四川巴中·期末）乐乐、康康、安安住在同一个小区同一栋楼。他们家的楼层号是三个不同的质数且和是42，这三个质数的积最大是多少？（写出解题的分析过程） 【答案】782；过程见详解 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 已知三个不同的质数的和是42，42是偶数，因为质数中只有唯一一个偶数即2，根据偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，可确定这三个质数中必有一个质数是2，则另外两个质数的和是42－2＝40，分情况讨论得出符合要求的三个质数，再把这三个质数相乘，比较积的大小，求出最大的积。 【规范解答】分情况讨论： ①42＝2＋3＋37，2×3×37＝222 ②42＝2＋11＋29，2×11×29＝638 ③42＝2＋17＋23，2×17×23＝782 782＞638＞222 答：这三个质数的积最大是782。 30．（24-25五年级下·四川巴中·期末）五2班同学到敬老院大扫除，无论18人一组还是12人一组都多2人。这个班的人数在30至50之间，这个班有学生多少人？ 【答案】38人 【思路引导】根据题意，无论18人一组还是12人一组都多2人，说明这个班的学生总人数比18、12的公倍数还多2；先求出18和12的最小公倍数，再求最小公倍数在30~50以内的倍数，最后加上2，就是这个班的学生总人数。 【规范解答】18＝2×3×3 12＝2×2×3 18和12的最小公倍数是2×2×3×3＝36 36＋2＝38（人） 30＜38＜50，满足条件。 答：这个班有学生38人。 31．（24-25五年级下·天津滨海新区·期末）李伯伯要将一块长为18分米、宽为12分米的长方形木板，截成同样大的边长为整分米的正方形小木板。如果木板没有剩余，那么所截成的正方形小木板的边长最大是多少分米？一共能截成多少块这样的小木板？（切割时损耗忽略不计） 【答案】 6分米；6块 【思路引导】首先分解质因数：18＝2×3×3，12＝2×2×3，得到18和12的最大公因数为2×3＝6，这个最大公因数就是能截成的正方形小木板的最大边长； 已知长方形木板的长是18分米，正方形边长是6分米，所以长的方向能截成18÷6＝3块，长方形木板的宽是12分米，所以宽的方向能截成12÷6＝2块； 最后将长和宽方向能截成的块数相乘就得到了一共能截成的小木板数量。 【规范解答】18＝2×3×3 12＝2×2×3 因此18和12的最大公因数是2×3＝6 答：所截成的正方形小木板的边长最大是6分米。 （18÷6）×（12÷6） ＝3×2 ＝6（块） 答：一共能截成6块这样的小木板。 32．（24-25五年级下·全国·课后作业）80可以是哪两个数的最小公倍数？你能找出几组？（至少写出3组）。 【答案】80可以是80和1，80和2，80和4，80和5，80和8，80和10，80和16，80和20，80和40，16和5，16和10，16和20，16和40的最小公倍数，可以找出13组。 【思路引导】先按从小到大顺序写出80的所有因数：1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，然后从中依次观察哪两个数的最小公倍数是80，可以看出80和它每一个因数的最小公倍数都是80，另外还有16和5，16和10，16和20，16和40的最小公倍数也是80，由此可求解。 【规范解答】 答：80可以是80和1，80和2，80和4，80和5，80和8，80和10，80和16，80和20，80和40，16和5，16和10，16和20，16和40的最小公倍数，可以找出13组。 【考点剖析】考查了求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。 33．一个长方形的长和宽分别是18厘米和12厘米，用这样的长方形拼一个正方形。正方形的边长最少是多少？至少几个这样的长方形才能拼成正方形？ 【答案】画图见详解；36厘米；6个 【思路引导】根据题意，正方形的边长长度最少等于18和12的最小公倍数，也就是求18和12的公有质因数与每个独有质因数的连乘积；求出正方形的边长再分别除以18和12，看能放几排，几列，然后相乘即可；据此解答。 【规范解答】18＝2×3×3 12＝2×2×3 正方形的边长是： 2×2×3×3 ＝4×3×3 ＝12×3 ＝36（厘米） （36÷18）×（36÷12） ＝2×3 ＝6（个） 画图如下： 答：正方形的边长最少是36厘米，至少6个这样的长方形才能拼成正方形. 【考点剖析】此题考查了两个数的最小公倍数的应用，可以用分解质因数的方法解答，也可以用短除法解答。 34．爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 【答案】3天；3月5日；3月25日；4月14日 【思路引导】爸爸每工作3天轮休1天，4天一个循环，最后一天休息；妈妈每工作4天轮休1天，5天一个循环，最后一天休息；要让爸爸妈妈同时休息，找到4和5的最小公倍数20，即从3月5日算起第20天，爸爸、妈妈下一次同时休息，共有3天，分别是3月5日；3月25日；4月14日。 【规范解答】3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是；4×5＝20。 即20天后，爸爸和妈妈同时休息。 5＋20＝25（日） 即3月25日爸爸和妈妈会再次同时休息。 3月有31天，31－25＝6（天） 20－6＝14（日） 即4月14日爸爸和妈妈会再次同时休息。 答：3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有3天，分别是3月5日，3月25日，4月14日。 【考点剖析】此题的解题关键是通过最小公倍数的求法以及时间的推算解决实际的问题。 35．工人师傅装修房子，要用一种长方形的地砖铺地，地砖长48cm，宽32cm，用这种地砖铺一个正方形，至少需要多少块？ 【答案】6块 【思路引导】求出地板砖长和宽的最小公倍数是正方形图案的最小边长，根据正方形和长方形的公式，用正方形的面积÷地砖面积即可。 【规范解答】48＝2×2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 48和32的最小公倍数是2×2×2×2×3×2＝96。 这个正方形的最小边长是96cm。 96×96÷（48×32） ＝9216÷1536 ＝6（块） 答：至少需要6块。 【考点剖析】此题考查了有关最小公倍数的实际应用，一般用分解质因数法求最小公倍数。 36．植树节到了，何老师带五（1）班同学去植树，一共植了123棵，已知五（1）班人数不超过50人，何老师植树的棵数和每个同学植树棵数一样。这个班有多少名同学？每个同学植树多少棵？ 【答案】40名；3棵 【思路引导】由何老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数×人数＝植树总棵数；每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，123＝3×41；依此可知学生人数43－1＝40名，据此解答。 【规范解答】123＝41×3 学生人数：41－1＝40（名） 答：这个班有40名同学，每个同学植树3棵。 【考点剖析】解答本题的关键是把123分解质因数，从而得到这个班的学生人数。 37．放假时，杭老师用216元钱买了若干支钢笔当奖品发给“三好学生”，如果每支钢笔便宜1元，那么他可以多买3支。杭老师买了多少支钢笔？每支钢笔多少元？ 【答案】24支；9元 【思路引导】先把216分解质因数：216＝3×3×3×2×2×2＝9×24＝8×27；考虑到降价1元，可以多买3支钢笔，9－8＝1，原来钢笔的价钱为9元，27－24＝3，降价1元后多买了3支，杭老师买了24支钢笔，据此解答。 【规范解答】216＝3×3×3×2×2×2 ＝9×24 ＝8×27 9－8＝1 27－24＝3，符合题意，每支钢笔的原价是9元，买了24支。 答：杭老师买了24支钢笔，每支钢笔9元。 【考点剖析】解答本题的关键是分析题意，找到关键描述语，利用分解质因数的方法解答问题。 38．32□□0是有两个相同数字的五位数，它同时是2、3和5的倍数，这个五位数最小是多少？ 【答案】32010 【思路引导】同时是2、3和5的倍数的数的特征是：个位上的数是 0，并且是这个数各个数位上的数相加的和是3的倍数，据此解答。 【规范解答】由分析得，3＋2＋0＝5，还需加上1、4、7，也就是两个数字的和是1、4、7，其中最小是1，则两个数字是1和0，要使这个五位数最小，“0”在百位上，“1”在十位上得32010。 答：这个五位数最小是32010。 【考点剖析】此题考查的是整除的性质的应用，解答此题关键是掌握同时是2、3和5的倍数的数的特征。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $