4.4.2 对数函数的图象和性质(一)-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

4.4.2　对数函数的图象和性质(一) [学习目标]　1．初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象、数学抽象) 2．会利用对数函数的单调性比较大小．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log2x与y＝的图象吗？ 问题2．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？ 探究1　对数函数的图象和性质 问题1　请同学们先完成下列表格，再利用描点法在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝图象． x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝log2x … … y＝ … … 提示： x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y＝ … 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 … 对数函数y＝log2x和y＝的图象如图． 问题2　在问题1所画图象的基础上，再画出函数y＝log3x和y＝的图象，并说出这四个函数图象的特征． 提示：同一坐标系中函数的图象如图． (1)函数y＝log2x和y＝log3x的图象从左到右是上升的． (2)函数y＝的图象从左到右是下降的． (3)函数y＝log2x和y＝的图象关于x轴对称，同样，函数y＝log3x和y＝的图象也关于x轴对称． (4)这四个函数的定义域均为(0，＋∞)，值域为R，都过定点(1，0)． [新知生成] 对数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【教用·微提醒】　(1)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (3)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． [典例讲评]　1．(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0<a<b<1　　 B．0<b<a<1 C．a>b>1 　 D．b>a>1 (2)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象． (1)B　[作直线y＝1(图略)，其与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1．故选B．] (2)[解]　因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f (x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． [母题探究]　把本例(2)改为f (x)＝|log2(x＋1)|＋2，试画出其图象． [解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示． ①　　　　　　　　② 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示． 第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示． 第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示． ③　　　　　　　　④ 　函数图象的变换规律 (1)作y＝f (|x|)的图象时，保留y＝f (x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f (|x|)的图象与y＝f (x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f (x)|的图象时，保留y＝f (x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f (－x)与y＝f (x)的图象关于y轴对称，y＝－f (x)与y＝f (x)的图象关于x轴对称，y＝－f (－x)与y＝f (x)的图象关于原点对称． [学以致用]　1．(1)函数f (x)＝loga(2x＋1)(a>0，且a≠1)的图象一定过点(　　) A． 　 B．(1，0) C．(0，0) 　 D．(0，1) (2)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0，b<－1 B．a>0，－1<b<0 C．0<a<1，b<－1 D．0<a<1，－1<b<0 (1)C　(2)D　[(1)因为对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)， 所以令2x＋1＝1，解得x＝0， 此时f (0)＝loga1＝0， 即f (x)的图象过定点(0，0)． 故选C． (2)因为函数f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以0<a<1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴上，所以令x－b＝1，则x＝1＋b>0，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1<b<0．故选D．] 探究2　比较对数值的大小 [典例讲评]　【链接教材P133例3】 2．(源自北师大版教材)比较下列各题中两个数的大小： (1)log25.3，log24.7； (2)log0.27，log0.29； (3)log3π，logπ3； (4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)． [解]　(1)因为2>1，所以函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上单调递增．由5.3>4.7，得log25.3>log24.7． (2)因为0<0.2<1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上单调递减． 由7<9，得log0.27>log0.29． (3)因为3>1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上单调递增． 由π>3，得log3π>log33＝1． 同理可得1＝logππ>logπ3． 因此log3π>logπ3． (4)当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上单调递增， 此时由3.1<5.2，得loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上单调递减， 此时由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2． 【教材原题·P133例3】 例3　比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)． [解]　(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2>1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4<8.5，所以 log23.4<log28.5． (2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3<1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8<2.7， 所以log0.31.8>log0.32.7． (3)loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论． 当a>1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1<5.9， 所以loga5.1<loga5.9； 当0<a<1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1<5.9， 所以loga5.1>loga5.9． 　比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． [学以致用]　【链接教材P135练习T2】 2．比较下列各组值的大小： (1)log5； (2)lo2； (3)log23与log54． [解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增，而<，所以log5<log5． 法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0， 所以log5<log5． (2)法一(单调性法)：由于lo，lo， 对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 且，所以0>log2， 所以， 所以lo2． 法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝及y＝的图象，由图易知：． (3)取中间值1， 因为log23>log22＝1＝log55>log54， 所以log23>log54． 【教材原题·P135练习T2】比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 0.6，lg 0.8； (2)log0.56，log0.54； (3)logm5，logm7． [解]　(1)y＝lg x为增函数，∵0.6<0.8， ∴lg 0.6<lg 0.8． (2)y＝log0.5x为减函数，∵6>4，∴log0.56<log0.54． (3)当m>1时，y＝logmx为增函数． ∵5<7，∴logm5<logm7． 当0<m<1时，y＝logmx为减函数． ∵5<7， ∴logm5>logm7． 探究3　解对数不等式 [典例讲评]　3．解不等式： (1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)； (2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0，且a≠1)． [解]　(1)原不等式等价于 解得<x≤3． 所以不等式的解集为． (2)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)． 当a>1时， 不等式等价于无解． 当0<a<1时， 不等式等价于解得x>4． 综上可知，当a>1时，解集为⌀； 当0<a<1时，解集为{x|x>4}． 　常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解． [学以致用]　【链接教材P141习题4.4T12】 3．若－1<loga<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围． [解]　∵－1<loga<1，∴loga<logaa， 当a>1时，<a，则a>； 当0<a<1时，>a，则0<a<． 综上所述，实数a的取值范围是． 【教材原题·P141习题4.4T12】已知＜1，求实数a的取值范围． [解]　∵loga<logaa， 当a>1时，loga<logaa成立； 当0<a<1时， 解得0<a<． 又＜1⇒＜⇒a＞0， ＜1⇒＜1⇒0≤a＜1， ∴a的取值范围是． 【教用·备选题】　解下列关于x的不等式： (1)lo(4－x)； (2)loga(2x－5)>loga(x－1)． [解]　(1)由题意可得 解得0<x<2． 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}． (2)当a>1时，原不等式等价于 解得x>4． 当0<a<1时，原不等式等价于 解得<x<4． 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}； 当0<a<1时，原不等式的解集为． 1．下列图象对应的函数可能是对数函数的是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D A　[对数函数的定义域为(0，＋∞)，四个选项中最有可能是对数函数的是A选项． 故选A．] 2．下列不等式成立的是(　　) A．log32＜log23＜log25 B．log32＜log25＜log23 C．log23＜log32＜log25 D．log23＜log25＜log32 A　[由题意，对数函数y＝log3x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 故1＝log22＜log23＜log25，log32＜log33＝1，即log32＜log23＜log25．故选A．] 3．若a>0，且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________． (2，1)　[令loga(x－1)＝0，得x＝2，此时y＝1． ∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2，1)．] 4．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________． (2，7]　[由题意可得lg (2x－4)≤lg 10， ∴0<2x－4≤10， 即2<x≤7．] 1．知识链： 2．方法链：分类讨论法、数形结合法． 3．警示牌：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝，y＝，y＝，y＝的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？ [提示]　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小为a4>a3>1>a2>a1>0． 2．比较对数值大小的常用方法有哪些？ [提示]　(1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法． 3．如何解对数不等式logaf (x)>logag(x)(a>0，且a≠1)? [提示]　分0<a<1和a>1两类分别求解． 当0<a<1时，logaf (x)>logag(x)⇔0<f (x)<g(x)． 当a>1时，logaf (x)>logag(x)⇔f (x)>g(x)>0． 课时分层作业(三十五)　对数函数的图象和性质(一) 一、选择题 1．函数y＝log0.25x与y＝log4x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 A　[由y＝log0.25x得y＝lox＝－log4x， 所以函数y＝log0.25x与y＝log4x的图象关于x轴对称．故选A．] 2．已知f (x)＝log3x，则f ，f (2)的大小关系是(　　) A．f >f >f (2) B．f <f <f (2) C．f >f (2)>f D．f (2)>f >f B　[因为f (x)＝log3x是增函数，且<<2，故f <f <f (2)．故选B．] 3．若函数f (x)＝logax＋1(a＞0，且a≠1)的图象过定点A(m，n)，则m＋n＝(　　) A．－1 　 B．1 C．2 　 D．3 C　[由对数函数的性质可知，f (x)＝logax＋1(a＞0，且a≠1)过定点A(1，1)，则m＋n＝2．故选C．] 4．若log3a<log3b<0，则(　　) A．0<b<a<1 　 B．0<a<b<1　 C．b>a>1 　 D．a>b>1 B　[∵y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，且log31＝0， ∴由log3a<log3b<0，得0<a<b<1．故选B．] 5．(多选)若0<a<1，则函数y＝loga(x＋5)的图象经过(　　) A．第一象限 　 B．第二象限 C．第三象限 　 D．第四象限 BCD　[∵y＝loga(x＋5)的图象过定点(－4，0)且单调递减，∴此函数图象不过第一象限．故选BCD．] 二、填空题 6．比较大小： (1)log22________log2； (2)log8π________logπ8． (1)>　(2)<　[(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，且2＞，所以log22＞log2． (2)因为函数y＝log8x为增函数，且π＜8， 所以log8π＜log88＝1． 同理1＝logππ＜logπ8，所以log8π＜logπ8．] 7．若实数a满足则a的取值范围为_________． 　[根据对数函数的性质，由loga ＞1，可得＜a＜1； 由＜1，得a＞． 综上，＜a＜1．] 8．已知函数f (x)＝是R上的减函数，则a的取值范围是________． 　[由题意可得，函数y＝(2a－3)x＋2在(－∞，1]上单调递减，函数y＝logax在(1，＋∞)上单调递减，且(2a－3)×1＋2≥loga1，即有解得≤a＜1．] 三、解答题 9．(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？ (2)在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象(不要求写作法)； (3)设函数y＝与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M与0的大小关系． [解]　(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位长度得到的． (2)在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象，如图所示． (3)不妨设x1＜x2，则1＜x1＜2，2＜x2＜3． ∴M＝(x1－2)(x2－2)＜0． 10．已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f (x)＝与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D B　[因为log2a＋log2b＝0， 所以log2(ab)＝0，所以ab＝1． 当a＞1时，0＜b＜1， 函数f (x)＝与g(x)＝logbx均为减函数，四个图象均不满足； 当0＜a＜1时，b＞1， 函数f (x)＝与g(x)＝logbx均为增函数，排除ACD．故在同一坐标系中的图象可能是B．] 11．设a＞0，a≠1，若函数f (x)＝ax满足f (2)＞f (3)，则不等式loga(x－1)＞0的解集为(　　) A．(1，2) 　 B．(2，3) C．(2，＋∞) 　 D．(3，＋∞) A　[∵f (2)＞f (3)，∴指数函数f (x)＝ax在R上单调递减，即0＜a＜1． ∴函数y＝loga(x－1)在其定义域上为减函数． ∴由loga(x－1)＞0＝loga1，得解得x∈(1，2)， 故不等式loga(x－1)＞0的解集为(1，2)．故选A．] 12．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c 　 B．b>a>c C．c>a>b 　 D．b>c>a B　[因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b． 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c．故选B．] 13．已知函数f (x)＝|lg x|，若f (m)＝f (n)(n＜m)，则2m＋3n的取值范围为________． [2，＋∞)　[因为函数f (x)＝|lg x|， 若f (m)＝f (n)，则|lg m|＝|lg n|， 因为n＜m，所以n＜1＜m，lg m＝－lg n， 所以lg m＋lg n＝lg (mn)＝0，所以mn＝1， 则2m＋3n≥2＝2，当且仅当2m＝3n且mn＝1，即m＝时取等号．] 14．已知函数f (x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)． (1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域； (2)试确定不等式f (x)≤g(x)中x的取值范围． [解]　(1)由解得1<x<3， ∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}． (2)不等式f (x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)， ①当a＞1时，不等式等价于 解得1<x≤； ②当0＜a＜1时，不等式等价于 解得≤x<3． 综上可得，当a＞1时，不等式的解集为； 当0＜a＜1时，不等式的解集为． 15．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围． [解]　由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示． 要使x2<logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2图象的上方，于是0<m<1． ∵x＝时，y＝x2＝， ∴只要x＝时，y＝logm＝logmm， ∴≤m，即≤m．又0<m<1，∴≤m<1． 即实数m的取值范围是． [点评]　数形结合是求解此类问题的关键，注意y＝logmx的图象随m的变化的趋势． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$