指数与指数函数专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修一第四章 指数函数与对数函数专题01 指数与指数函数（专项训练）（全国通用）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．将化成分数指数幂为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式求解即可 【详解】解： 故选：A 【点睛】此题考查根式与分数指数幂的互化公式的应用，属于基础题 2．若，则化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于，故. 【详解】解：由于， 所以. 【点睛】本题考查根数指数幂的化简，是基础题. 3．设，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合幂的运算性质可得，，结合幂函数的单调性比较的大小. 【详解】因为，， 所以，， 因为函数为增函数，， 所以， 故. 故选：A. 4．已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算性质可判断①③；利用根式的运算性质可判断②. 【详解】因为，， 对于①，，①错； 对于②，因为，且， 当为奇数时，；当为偶数时，.②对； 对于③，，③错. 所以，正确的个数为. 故选：B. 5．函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件令，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答. 【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线， 若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾， 若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 6．下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、指数函数的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A选项.由于，故，A选项正确. 对于B选项，由于，所以B选项错误. 对于C选项，由于，所以C选项错误. 对于D选项，，由于，故，所以D选项错误. 故选A. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题. 7．函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性排除选项BD，再利用函数值排除选项C即得解. 【详解】解：因为，所以为奇函数，排除B，D；因为当时，，排除C； 故选：A. 8．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 考点：函数的单调性. 二、多选题 9．下列指数幂运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分数指数幂与根式的关系即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 11．若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数的单调性逐项比较指数式的大小关系即可得结论. 【详解】对A，当时，是减函数，所以，故A错误； 对B，当时，函数在上单调递增，故，故B正确； 对C，当时，，则是增函数，故，故C错误； 对D，当时，是减函数，，D正确． 故选：BD. 三、填空题 12．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】试题分析：因为，所以，所以函数的定义域为：． 考点：函数的定义域． 13．设命题p：关于x的方程的解为正解；命题q：函数是减函数.若p或q为真，p且q为假，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】 分别解出当命题、命题为真时，对应的的取值范围，再由命题与一真一假,即可得出答案. 【详解】 命题:且， 为真,即且，解得：，且； 命题为真时，，解得：. 又若p或q为真，p且q为假，即p与q为一真一假， ①当真，假时，,无解； ②当假，真时，，解得. 所以. 故答案为：. 14．正实数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】/2.5 【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由，有， 令函数，因为和都是增函数，则是增函数， 所以，则，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合完全平方公式可求得的值. （2）将代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 16．已知函数（，且，）是奇函数． (1)求t的值； (2)若，且对任意，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义列出方程即可得解； （2）根据指数函数的单调性可得的单调性，利用单调性可得恒成立，分离参数后利用对勾函数的单调性求函数的最小值即可得解. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即， 所以，所以，即. （2）由（1）知，， 因为，所以在上单调递增，且， 所以由可得在上恒成立， 即在上恒成立， 可化简得：在上恒成立， 令， 当时，， 由对勾函数性质知函数在上单调递增， 所以当时，即时，， 所以. 17．设，，试比较a、b的大小关系． 【答案】． 【分析】构造函数，判断出函数的单调性，利用单调性可得答案. 【详解】构造函数：令，则，， 因为，又在R上是严格增函数， 所以在R上是严格减函数，在R上也是严格减函数， 因此，即． 18．设函数（且）是定义域为的偶函数， (1)若，求实数的取值范围 (2)若在上的最小值为，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值，再由求出的值，最后求出函数的单调性结合奇偶性即可解出不等式； （2）利用换元法将原函数化为二次函数，讨论对称轴与所给区间的位置求出二次函数的最值，进而求出的值. 【详解】（1）解：由函数是定义域为的偶函数 满足 即 ，即 又，即 化简为： 解得：或者 设，且，则 由，得 ， ，即 在单调递增 又是上的偶函数， 在单调递增，在单调递减 即 两边平方得： 解得： 实数的取值范围为： （2）解：由（1）知， 将变形得： 令，因为，由对勾函数的性质得 则原函数化为：， 由题知，在上的最小值为 函数的对称轴为： ①当，即时， 解得：或，均不符合题意，舍去 ②当，即时，，不符合题意 ③当，即时， 解得：符合题意 所以的值为. 【点睛】思路点睛：本题第一问解不等式，需要利用函数的单调性，因此需要先用定义法证明函数的单调性再结合奇偶性进行求解；第二问由函数最值求参数值，需要先将原函数化为二次函数，再利用最值即可求出参数. 19．函数，函数，已知函数是定义域为的奇函数. (1)解不等式：； (2)求的值，并判断函数在上的单调性（不用证明）； (3)若存在使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2),在上单调递增 (3) 【分析】（1）结合指数函数的值域解指数型不等式即可； （2）根据奇函数的定义求参数值，然后根据定义判断函数的单调性； （3）结合（2）的函数单调性，分离参数，得到，然后根据不等式能成立的方法求解. 【详解】（1）由题知，，即，即， 根据指数函数的性质，恒成立，于是解得，解得， 即的解为 （2）由题知，，由于在上的奇函数， 则对于成立， 即， 即， 即； 于是.任取，结合指数函数性质， ， 即在上单调递增 （3）由（2）可知，根据可得， 由，整理可得， 存在，使得成立， 故需求不等式右边的最小值，由，则， 故当时，不等式右边取到最小值， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版必修一第四章 指数函数与对数函数专题01 指数与指数函数（专项训练）（全国通用）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．将化成分数指数幂为（    ） A． B． C． D． 2．若，则化简得（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 5．函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．下列结论正确的是 A． B． C． D． 7．函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 8．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 二、多选题 9．下列指数幂运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的定义域是 ． 13．设命题p：关于x的方程的解为正解；命题q：函数是减函数.若p或q为真，p且q为假，则实数m的取值范围是 . 14．正实数x，y满足，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 16．已知函数（，且，）是奇函数． (1)求t的值； (2)若，且对任意，恒成立，求实数k的取值范围． 17．设，，试比较a、b的大小关系． 18．设函数（且）是定义域为的偶函数， (1)若，求实数的取值范围 (2)若在上的最小值为，求的值 19．函数，函数，已知函数是定义域为的奇函数. (1)解不等式：； (2)求的值，并判断函数在上的单调性（不用证明）； (3)若存在使成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修一第四章 指数函数与对数函数专题01 指数与指数函数（专项训练）（全国通用）（原卷版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B B A A A BCD BD 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式求解即可 【详解】解： 故选：A 【点睛】此题考查根式与分数指数幂的互化公式的应用，属于基础题 2．A 【分析】由于，故. 【详解】解：由于， 所以. 【点睛】本题考查根数指数幂的化简，是基础题. 3．A 【分析】结合幂的运算性质可得，，结合幂函数的单调性比较的大小. 【详解】因为，， 所以，， 因为函数为增函数，， 所以， 故. 故选：A. 4．B 【分析】利用指数幂的运算性质可判断①③；利用根式的运算性质可判断②. 【详解】因为，， 对于①，，①错； 对于②，因为，且， 当为奇数时，；当为偶数时，.②对； 对于③，，③错. 所以，正确的个数为. 故选：B. 5．B 【分析】根据给定条件令，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答. 【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线， 若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾， 若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 6．A 【分析】根据对数函数、指数函数的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A选项.由于，故，A选项正确. 对于B选项，由于，所以B选项错误. 对于C选项，由于，所以C选项错误. 对于D选项，，由于，故，所以D选项错误. 故选A. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题. 7．A 【分析】先判断函数的奇偶性排除选项BD，再利用函数值排除选项C即得解. 【详解】解：因为，所以为奇函数，排除B，D；因为当时，，排除C； 故选：A. 8．A 【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 考点：函数的单调性. 9．BCD 【分析】根据分数指数幂与根式的关系即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 10．BD 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 11．BD 【分析】根据指数函数的单调性逐项比较指数式的大小关系即可得结论. 【详解】对A，当时，是减函数，所以，故A错误； 对B，当时，函数在上单调递增，故，故B正确； 对C，当时，，则是增函数，故，故C错误； 对D，当时，是减函数，，D正确． 故选：BD. 12． 【详解】试题分析：因为，所以，所以函数的定义域为：． 考点：函数的定义域． 13． 【分析】 分别解出当命题、命题为真时，对应的的取值范围，再由命题与一真一假,即可得出答案. 【详解】 命题:且， 为真,即且，解得：，且； 命题为真时，，解得：. 又若p或q为真，p且q为假，即p与q为一真一假， ①当真，假时，,无解； ②当假，真时，，解得. 所以. 故答案为：. 14．/2.5 【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由，有， 令函数，因为和都是增函数，则是增函数， 所以，则，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合完全平方公式可求得的值. （2）将代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 16．(1)1 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义列出方程即可得解； （2）根据指数函数的单调性可得的单调性，利用单调性可得恒成立，分离参数后利用对勾函数的单调性求函数的最小值即可得解. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即， 所以，所以，即. （2）由（1）知，， 因为，所以在上单调递增，且， 所以由可得在上恒成立， 即在上恒成立， 可化简得：在上恒成立， 令， 当时，， 由对勾函数性质知函数在上单调递增， 所以当时，即时，， 所以. 17．． 【分析】构造函数，判断出函数的单调性，利用单调性可得答案. 【详解】构造函数：令，则，， 因为，又在R上是严格增函数， 所以在R上是严格减函数，在R上也是严格减函数， 因此，即． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值，再由求出的值，最后求出函数的单调性结合奇偶性即可解出不等式； （2）利用换元法将原函数化为二次函数，讨论对称轴与所给区间的位置求出二次函数的最值，进而求出的值. 【详解】（1）解：由函数是定义域为的偶函数 满足 即 ，即 又，即 化简为： 解得：或者 设，且，则 由，得 ， ，即 在单调递增 又是上的偶函数， 在单调递增，在单调递减 即 两边平方得： 解得： 实数的取值范围为： （2）解：由（1）知， 将变形得： 令，因为，由对勾函数的性质得 则原函数化为：， 由题知，在上的最小值为 函数的对称轴为： ①当，即时， 解得：或，均不符合题意，舍去 ②当，即时，，不符合题意 ③当，即时， 解得：符合题意 所以的值为. 【点睛】思路点睛：本题第一问解不等式，需要利用函数的单调性，因此需要先用定义法证明函数的单调性再结合奇偶性进行求解；第二问由函数最值求参数值，需要先将原函数化为二次函数，再利用最值即可求出参数. 19．(1) (2),在上单调递增 (3) 【分析】（1）结合指数函数的值域解指数型不等式即可； （2）根据奇函数的定义求参数值，然后根据定义判断函数的单调性； （3）结合（2）的函数单调性，分离参数，得到，然后根据不等式能成立的方法求解. 【详解】（1）由题知，，即，即， 根据指数函数的性质，恒成立，于是解得，解得， 即的解为 （2）由题知，，由于在上的奇函数， 则对于成立， 即， 即， 即； 于是.任取，结合指数函数性质， ， 即在上单调递增 （3）由（2）可知，根据可得， 由，整理可得， 存在，使得成立， 故需求不等式右边的最小值，由，则， 故当时，不等式右边取到最小值， 即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $