专题04 指数和指数函数（期中真题汇编，黑龙江专用）高一数学上学期人教A版

专题04 指数和指数函数 3大高频考点概览 考点01 指数的运算 考点02指数函数的概念 考点03指数函数的图像和性质 ( 地 城 考点01 函数的概念 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江牡丹江市·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期中）定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）化简的值是（    ） A． B．－ C．± D．－ 二、多选题 5．（24-25高一上·黑龙江绥化市·期中）下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 7．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则f(f(-1))的值为 . 8．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）化简 ． ( 地 城 考点0 2 指数函数的概念 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．9 3．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 二、多选题 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·黑龙江鹤岗市·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 三、填空题 7．（24-25高一上·黑龙江大庆市·期中）下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 8．（24-25高三上·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为 ． 9．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）（1）若幂函数在区间上是减函数，求实数的值． （2）若为奇函数，求的值． 10．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）设函数f(x)= . (1)探索f(x)的单调性，并用定义证明你的结论; (2)是否存在实数使函数f(x)为奇函数，若存在，求出实数的值，并求出函数f(x)的值域;若不存在，请说明理由. ( 地 城 考点0 3 指数函数的图像和性质 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，则函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·黑龙江黑河·期中）若实数，满足，则的最小值是（ ） A．18 B．6 C． D． 6．（24-25高一上·黑龙江绥化市·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 8．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数过定点 C．若，则 D．函数为指数函数 三、非选择题 9．（24-25高一上·黑龙江七台河·期中）函数 的图象恒过定点 ． 10．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围是 . 11．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 12．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数和指数函数 3大高频考点概览 考点01 指数的运算 考点02指数函数的概念 考点03指数函数的图像和性质 ( 地 城 考点01 函数的概念 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【详解】对于A选项：，，故A错误； 对于B选项：，故B错误； 对于C选项：，故C正确； 对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一上·黑龙江牡丹江市·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分数指数幂与根式的互化及分数指数幂的运算法则即可直接求出答案. 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期中）定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可． 【详解】解：奇函数恒满足， ，即，则，即，即是周期为4的周期函数， 所以， 故选：B． 4．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）化简的值是（    ） A． B．－ C．± D．－ 【答案】B 【分析】根据根式的运算法则，即可容易求得结果. 【详解】＝ ＝－. 故选：B. 【点睛】本题考查根式的运算，属简单题. 二、多选题 5．（24-25高一上·黑龙江绥化市·期中）下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 【答案】ABC 【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得. 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 三、非选择题 7．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则f(f(-1))的值为 . 【答案】17 【分析】代入求解分段函数的函数值. 【详解】∵， ∴ 故答案为：17. 8．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）化简 ． 【答案】 【分析】根据根式与指数幂互化公式，结合指数的运算公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： ( 地 城 考点0 2 指数函数的概念 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，A不是； 对于B，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，B不是； 对于C，集合中的每个元素，按照，在集合中都有唯一元素与之对应，C是； 对于D，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，D不是. 故选：C 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．9 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果． 【详解】由题意，， 则. 故选：D. 3．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【详解】设（且），则， 解得，故. 故选：D 4．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解. 【详解】因为是指数函数， 所以，解得. 故选：C． 二、多选题 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数函数的概念依次判断即可得答案. 【详解】解：根据指数函数的定义，形如（且）的函数，其系数为， 故A选项不满足形式；B选项的指数为；C选项，满足；D选项满足. 故选：CD 6．（24-25高一上·黑龙江鹤岗市·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 【答案】BCD 【分析】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项. 【详解】由图象可知，，即，得， 所以， A.第三周，即时，感染人数为千人， 所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误； B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为， 则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确. C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确； D.第四周，即时，感染人数千人， 所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．（24-25高一上·黑龙江大庆市·期中）下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【答案】① 【分析】根据指数函数的定义，一一判断各函数，即得答案. 【详解】因为形如且的函数为指数函数，其中a为常数； 故①为指数函数；②不是指数函数； ③不是指数函数；④的底数不是常数，故不是指数函数； ⑤（是常数）为幂函数，不是指数函数； ⑥，由于取负值或0，1时，函数即不是指数函数，故不能确定为指数函数. 故答案为：①. 8．（24-25高三上·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据，求出，可得函数解析式. 【详解】因为函数解析式为，则，则， 由可得，，解得，所以. 9．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）（1）若幂函数在区间上是减函数，求实数的值． （2）若为奇函数，求的值． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）根据且求解即可； （2）对恒成立，可得，从而可得答案. 【详解】（1）幂函数在区间上为减函数， 且． ． （2）因为函数为奇函数， 所以对恒成立， 即对恒成立， 可得，经检验符合题意. 10．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）设函数f(x)= . (1)探索f(x)的单调性，并用定义证明你的结论; (2)是否存在实数使函数f(x)为奇函数，若存在，求出实数的值，并求出函数f(x)的值域;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)存在，a=1， 【分析】（1）定义法求解函数的单调性步骤：取点，作差，判号，下结论；（2）利用奇函数的定义来求解a的值，从入手，求出f(x)的值域. 【详解】（1）单调递增，理由如下：由题意知，函数的定义域为R 任取，，且 则 因为单调递增，，∴，而， 所以，，即 所以单调递增 （2）假设存在实数a，使函数f(x)为奇函数，则 f(x)+f(-x)=2a=0，      ∴2a==2， 所以，故f(x)=1-， ∵，∴，∴0<<2，    ∴-2<<0，则 ∴-1<f(x)<1 故f(x)的值域是(-1，1) ( 地 城 考点0 3 指数函数的图像和性质 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数与指数函数的性质比较． 【详解】根据指数运算法则，＝4． 比较a和b的大小，对于和， 因为函数，指数0.1＞0，此函数在单调递增． 又因为，所以，即． 比较a和c的大小，是增函数，， 故． 故选：A． 2．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，可得在的单调性，再根据其对称轴和区间端点值关系，即可求得参数范围. 【详解】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减， 故，解得. 故选：D. 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数的性质，要使关于x的方程有负根，可得，解出，再根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，， 要使关于x的方程有负根， 则，即，即， 即，解得， 分析选项有真包含于， 所以关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是. 故选：A. 4．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，则函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与幂函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】因为，所以指数函数过定点，且单调递增，故B不符合和不符合， 因为，所以幂函数在上单调递增，且增加的越来越快，， 故A符合，C不符合. 故选：A. 5．（24-25高一上·黑龙江黑河·期中）若实数，满足，则的最小值是（ ） A．18 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 6．（24-25高一上·黑龙江绥化市·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 二、多选题 7．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 8．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数过定点 C．若，则 D．函数为指数函数 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的定义，定义域，单调性，图象特征，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，当时，恒成立，即函数过定点，故B正确； 对于C，当时，由指数函数在上单调递减，且可得：，故C不正确； 对于D，函数，符合指数函数的定义，故D正确； 故选：ABD 三、非选择题 9．（24-25高一上·黑龙江七台河·期中）函数 的图象恒过定点 ． 【答案】 【分析】由 ，将代入函数表达式，可求出答案. 【详解】解：对于函数， 令 时，， 则图象恒过定点． 故答案为：． 10．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对任意，都存在，使得，只需即可，分别求出在的最大值及在上的最大值，则答案可求. 【详解】， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 在R上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，都存在，使得， 所以只需即可，即，解得， 即m的取值范围是． 故答案为：. 11．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义判断即可； （2）结合指数函数的单调性得是上的增函数，利用单调性即可求解最值； （3）将问题转化为在上恒成立，，换元令，，，进而利用单调性得，即可解答. 【详解】（1），函数定义域为R， 则， 所以是奇函数； （2）因为是R上的增函数， 所以是在R上的减函数， 所以是上的增函数， 所以，， 所以的值域为； （3）对任意的，不等式恒成立，转化为在上恒成立， 又， 令，，则，， 令，， 由对勾函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即实数a的取值范围为． 12．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）根据的奇偶性及单调性，把不等式转化为对于任意都成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）∵函数为奇函数，且定义域为， ∴，即， ∴，即， ∴解得． （2），在上单调递增． 证明：任取且， ， 因为，则，得，又， 于是，即， 所以在上单调递增． （3）对于任意都有成立， ∴对于任意都有成立， ∵在上单调递增，∴对于任意都成立， ∴对于任意都成立， ∵令，， ∴当时，是增函数，则，即， ∴，即实数的取值范围是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $