31.利用奇偶性求函数值【基础】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 31利用奇偶性求函数值（已知求）【基础】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的奇偶性定义 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，且关于原点对称，若对任意，都有，则称为偶函数；若对任意，都有，则称为奇函数 ￮ 数学符号/表达式： 奇函数： 偶函数： ￮ 关键特征：定义域关于原点对称是前提，与的等量关系是核心 ￮ 跨章节关联：适用于二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】利用奇偶性求函数值的核心原理 ￮ 定义表述：已知函数的奇偶性和的值，直接代入奇偶性定义式，即可求解的值 ￮ 数学符号/表达式： 若是奇函数，则；若是偶函数，则 ￮ 关键特征：无需函数解析式，只需明确奇偶性和的值 ￮ 跨章节关联：可结合函数单调性、周期性综合求解函数值 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 奇偶性的前提条件 函数定义域必须关于原点对称 忽略定义域检验，直接套用 函数，，虽满足，但定义域不关于原点对称，非偶函数，无法用 奇函数的取值 若奇函数在处有定义，则 误认为所有奇函数都满足 奇函数，处无定义，故不存在 复合函数的奇偶性 奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 混淆复合函数的奇偶性判定规则 （奇），（奇），则（偶） 与的关系 仅由函数奇偶性决定，与的正负无关 误认为时，时 （偶），；（奇）， 三、题型分类与例题精析 题型1： 已知具体函数奇偶性，求的值 题型特征：给出函数具体解析式，判定奇偶性后，代入的值求 解题步骤： 1. 检验函数定义域是否关于原点对称； 2. 判定函数的奇偶性（计算，与比较）； 3. 代入奇偶性定义式，由求。 例题1 已知函数，且，求的值。 解析： 1. 定义域为，关于原点对称； 2. ，故是奇函数； 3. 由奇函数定义得。 答案： 举一反三1-1 已知函数，且，求的值。 解析： 1. 定义域为，关于原点对称； 2. ，故是偶函数； 3. 由偶函数定义得。 答案： 举一反三1-2 已知函数，且，求的值。 解析： 1. 定义域为，关于原点对称； 2. 当时，，；同理时也满足，故是奇函数； 3. 由奇函数定义得。 答案： 举一反三1-3 已知函数，且，求的值。 解析： 1. 定义域为，关于原点对称； 2. ，既不等于也不等于，故是非奇非偶函数； 3. 直接代入计算：。 答案： 题型2： 已知抽象函数奇偶性，求的值 题型特征：无函数具体解析式，已知函数奇偶性和的值，直接求 解题步骤： 1. 确认函数定义域关于原点对称（题目隐含或直接给出）； 2. 明确函数的奇偶性； 3. 套用奇偶性定义式求解。 例题2 已知函数是定义域为的奇函数，且，求的值。 解析： 1. 定义域关于原点对称； 2. 是奇函数； 3. 由得。 答案： 举一反三2-1 已知函数是定义域为的偶函数，且，求的值。 解析： 1. 定义域关于原点对称； 2. 是偶函数； 3. 由得。 答案： 举一反三2-2 已知函数是奇函数，且，求的值。 解析： 1. 定义域关于原点对称（隐含条件）； 2. 是奇函数； 3. 令，则，故。 答案： 举一反三2-3 已知函数是偶函数，且，若，求的值。 解析： 1. 定义域关于原点对称（隐含条件）； 2. 是偶函数； 3. 由偶函数定义得。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数是奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 解析：是奇函数，故，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数是偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 定义域一定关于原点对称 D. 在和处的函数值相等 解析：偶函数满足，定义域关于原点对称，A、C、D正确，B错误。 答案：ACD 3. 填空题 已知函数是偶函数，且，则__________。 解析：偶函数满足。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，判定的奇偶性，并求当时的值。 解析：定义域为，关于原点对称；，故是偶函数；。 答案：偶函数， (2) 已知函数是定义域为的奇函数，且，求的值。 解析：奇函数满足。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 解析：令，则是奇函数，；；，选B。 答案：B 2. 多选题 已知函数满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. （若在定义域内） 解析：即，是奇函数，A、B、C正确；若在定义域内，则，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数是偶函数，且当时，，则__________。 解析：。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数是奇函数，且，，求的值。 解析：奇函数满足，；故。 答案： (2) 已知函数，若，求的值。 解析：，是奇函数；故。 答案： （三）拔高突破卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，且是偶函数，若，则（ ） A. B. C. D. 解析：是偶函数，则；令，得，选C。 答案：C 2. 多选题 已知函数满足，且在上单调递增，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 解析：是偶函数，A正确；在单调递增，则，B正确；，C错误；，D正确。 答案：ABD 3. 填空题 已知函数是奇函数，且是偶函数，若，则__________。 解析：是奇函数，直接得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数是偶函数，且，，求的值。 解析：偶函数满足，；故。 答案： (2) 已知函数是定义域为的奇函数，且，若，求和的值。 解析：奇函数满足；周期为4，故。 答案：， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 31利用奇偶性求函数值（已知求）【基础】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的奇偶性定义 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，且关于原点对称，若对任意，都有，则称为偶函数；若对任意，都有，则称为奇函数 ￮ 数学符号/表达式： 奇函数： 偶函数： ￮ 关键特征：定义域关于原点对称是前提，与的等量关系是核心 ￮ 跨章节关联：适用于二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】利用奇偶性求函数值的核心原理 ￮ 定义表述：已知函数的奇偶性和的值，直接代入奇偶性定义式，即可求解的值 ￮ 数学符号/表达式： 若是奇函数，则；若是偶函数，则 ￮ 关键特征：无需函数解析式，只需明确奇偶性和的值 ￮ 跨章节关联：可结合函数单调性、周期性综合求解函数值 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 奇偶性的前提条件 函数定义域必须关于原点对称 忽略定义域检验，直接套用 函数，，虽满足，但定义域不关于原点对称，非偶函数，无法用 奇函数的取值 若奇函数在处有定义，则 误认为所有奇函数都满足 奇函数，处无定义，故不存在 复合函数的奇偶性 奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 混淆复合函数的奇偶性判定规则 （奇），（奇），则（偶） 与的关系 仅由函数奇偶性决定，与的正负无关 误认为时，时 （偶），；（奇）， 三、题型分类与例题精析 题型1： 已知具体函数奇偶性，求的值 题型特征：给出函数具体解析式，判定奇偶性后，代入的值求 解题步骤： 1. 检验函数定义域是否关于原点对称； 2. 判定函数的奇偶性（计算，与比较）； 3. 代入奇偶性定义式，由求。 例题1 已知函数，且，求的值。 举一反三1-1 已知函数，且，求的值。 举一反三1-2 已知函数，且，求的值。 举一反三1-3 已知函数，且，求的值。 题型2： 已知抽象函数奇偶性，求的值 题型特征：无函数具体解析式，已知函数奇偶性和的值，直接求 解题步骤： 1. 确认函数定义域关于原点对称（题目隐含或直接给出）； 2. 明确函数的奇偶性； 3. 套用奇偶性定义式求解。 例题2 已知函数是定义域为的奇函数，且，求的值。 举一反三2-1 已知函数是定义域为的偶函数，且，求的值。 举一反三2-2 已知函数是奇函数，且，求的值。 举一反三2-3 已知函数是偶函数，且，若，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数是奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数是偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 定义域一定关于原点对称 D. 在和处的函数值相等 3. 填空题 已知函数是偶函数，且，则__________。 4. 解答题 (1) 已知函数，判定的奇偶性，并求当时的值。 (2) 已知函数是定义域为的奇函数，且，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. （若在定义域内） 3. 填空题 已知函数是偶函数，且当时，，则__________。 4. 解答题 (1) 已知函数是奇函数，且，，求的值。 (2) 已知函数，若，求的值。 （三）拔高突破卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，且是偶函数，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数满足，且在上单调递增，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 3. 填空题 已知函数是奇函数，且是偶函数，若，则__________。 4. 解答题 (1) 已知函数是偶函数，且，，求的值。 (2) 已知函数是定义域为的奇函数，且，若，求和的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $