专题01 指数和指数函数（十一大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题01指数和指数函数（十一大题型） 【题型1：指数的计算】 【题型2：指数函数的定点问题】 【题型3：指数函数图像的判断】 【题型4：已知指数函数图像求参数】 【题型5：指数函数的定义域问题】 【题型6：指数函数的单调性】 【题型7：指数函数的值域】 【题型8：指数幂比大小】 【题型9：根据指数函数的最值求参数】 【题型10：由指数(型)的单调性求参数】 【题型11：指数函数与不等式的恒成立问题】 【题型1：指数的计算】 1．（25-26高一上·天津滨海新·期中）计算： (1)； (2). 2．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）（1）； （2）． 3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段练习）化简求值: (1)； (2) 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 5．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2). 6．（2025高一·全国·专题练习）求值：. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【题型2：指数函数的定点问题】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（24-25高一下·云南·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点 ． 5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 【题型3：指数函数图像的判断】 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．   C．  D．   3．（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【题型4：已知指数函数图像求参数】 1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 5．（21-22高一上·宁夏吴忠·期中）如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，则，，，与1的大小关系是 ． 【题型5：指数函数的定义域问题】 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 4．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 【题型6：指数函数的单调性】 1．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·海南·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 7．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【题型7：指数函数的值域】 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）函数的最大值为 . 3.（25-26高一上·全国·课前预习）若，其中，则的值域为 ． 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 【题型8：指数幂比大小】 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广西柳州·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【题型9：根据指数函数的最值求参数】 1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 2．（25-26高一上·云南·期中）已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 4．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 5．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 6．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【题型10：由指数(型)的单调性求参数】 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽宣城·期末）函数，在上单调递减，则a的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【题型11：指数函数与不等式的恒成立问题】 1．（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数（）. (1)求a的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.（25-26高一上·河南南阳·期中）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数（且），则该函数的图象恒过定点 . 4．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 6．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01指数和指数函数（十一大题型） 【题型1：指数的计算】 【题型2：指数函数的定点问题】 【题型3：指数函数图像的判断】 【题型4：已知指数函数图像求参数】 【题型5：指数函数的定义域问题】 【题型6：指数函数的单调性】 【题型7：指数函数的值域】 【题型8：指数幂比大小】 【题型9：根据指数函数的最值求参数】 【题型10：由指数(型)的单调性求参数】 【题型11：指数函数与不等式的恒成立问题】 【题型1：指数的计算】 1．（25-26高一上·天津滨海新·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式的性质计算即可； （2）根据指数幂的性质、运算法则直接求解即可. 【详解】（1）. （2） . 2．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. （2）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1） . （2）原式 . 3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段练习）化简求值: (1)； (2) 【答案】(1)-0.5 (2)9 【分析】（1）根据指数幂运算公式计算即可; （2）根据指数幂运算公式及根式的运算公式即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将条件式子进行平方； （2）将（1）中式子进行平方得出； （3）将进行平方，计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 5．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据根式的性质及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】（1） . （2） . 6．（2025高一·全国·专题练习）求值：. 【答案】38 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算性质即可求解. 【详解】原式 . 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）由及计算可得； （2）由及计算可得. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2） ， ， . 【题型2：指数函数的定点问题】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案． 【详解】由函数（，且）恒过定点，可得， ∵函数图象过点， ∴，解得， 故． 故选：C． 2．（24-25高一下·云南·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 3．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质判断. 【详解】令，则，所以函数图象恒过定点. 故选：D. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点 ． 【答案】 【分析】根据，可得指数型函数定点. 【详解】令得，此时， 故函数（，且）的图象过定点． 故答案为：. 5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】利用可得的坐标. 【详解】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关， 故定点的横坐标为，故纵坐标为，故. 故答案为：. 【题型3：指数函数图像的判断】 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分段得出函数解析式，再应用指数函数图象计算判断各个选项. 【详解】依题意可得 ， 又，当，；当，，只有选项B符合. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．   C．  D．   【答案】A 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【详解】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 3．（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】的定义域为， ，所以是奇函数， 图象关于原点对称，所以B选项错误. ，所以C选项错误. 的增长速度比的增长速度慢， 所以时，，所以D选项错误. 故选：A 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 5．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 【题型4：已知指数函数图像求参数】 1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 3．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质即可判断得出结论. 【详解】由可得， 由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选：D. 4．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 5．（21-22高一上·宁夏吴忠·期中）如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，则，，，与1的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用取特殊交点的纵坐标就是各个底数的大小，即可比较大小. 【详解】作直线与四个指数函数图象相交， 由图可得，即． 故答案为： 【题型5：指数函数的定义域问题】 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 【题型6：指数函数的单调性】 1．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的图象和性质求解即可． 【详解】由题知，令，解得． 作出函数和的大致图象，如图，    由图可知，若，则． 故选：A. 3．（24-25高一上·海南·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解. 【详解】由, 所以. 当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增； 当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减. 所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）. 故选：A. 5．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 6．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 7．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求出减区间. 【详解】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选： 【题型7：指数函数的值域】 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 2．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）函数的最大值为 . 【答案】5 【分析】利用换元法，结合指数函数与二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 令，则，， 当，即时，取得最大值5. 故答案为：5. 3.（25-26高一上·全国·课前预习）若，其中，则的值域为 ． 【答案】 【分析】先根据求出的值域，再求出的值域即可. 【详解】因，且在上单调递增，则， 因在上单调递增，则， 故的值域为. 故答案为： 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 【答案】 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 【题型8：指数幂比大小】 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 4．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解. 【详解】因为，，则. 故选：D. 5．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可判断，利用幂函数的单调性可判断，得解. 【详解】因为是R上的减函数，又，所以，即， 因为函数在上单调递增，，所以，即， . 故选：D. 6．（24-25高一上·广西柳州·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性计算判断即可. 【详解】因为指数函数在R上单调递减， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 【题型9：根据指数函数的最值求参数】 1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． 2．（25-26高一上·云南·期中）已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，按分类，利用指数函数单调性求出最大值. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用单调性求出最大值并建立不等式求出范围. 【详解】（1）当时，在上单调递减，，则； 当时，在上单调递增，，则， 所以的值为或. （2）不等式，令函数， 依题意，对，恒成立，而当时，函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围是. 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 4．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法结合同增异减可求参数的取值范围； （2）利用换元法结合二次函数的性质可求参数的值. 【详解】（1）令，则该函数为增函数， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 故，即. （2）令，则函数的最大值为0， ①当即时，，解得； ②当即时，，解得，舍去； 综上， 5．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)1 【分析】（1）根据指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （3）令，由指数函数的单调性知二次函数有最小值，进而得，解之即得参数值. 【详解】（1）当时，， 由，得，即，解得， 所以不等式的解集 . （2）当时，， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （3）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得， 即有最大值3时，a为1. 6．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【详解】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 【题型10：由指数(型)的单调性求参数】 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 2．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽宣城·期末）函数，在上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数单调递减的特点，列出相应的不等式组，求解即可得到a的取值范围. 【详解】由题意可知，，所以. 所以. 故a的取值范围是. 4．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为函数在上单调递减， ∵，解得 ∴实数a的取值范围为 故答案为：. 【题型11：指数函数与不等式的恒成立问题】 1．（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数（）. (1)求a的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇函数性质求得，然后利用奇函数定义判定即可得解. （2）结合（1）根据指数函数单调性判断是上的单调递增且奇函数，然后将题干恒成立问题转化为恒成立，分离常数令，则对恒成立，然后结合不等式的性质利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 又是奇函数，所以，解得，此时， 故， 所以是定义域为的奇函数，所以. （2）因为在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又是上的奇函数， 所以等价于， 即，所以， 即，因为恒成立， 所以， 故， 令，因为，所以， 所以对于一切恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号，即m的取值范围为. 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据复合函数的单调性，即可求解； （2）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，易知其单调递增区间为，单调递减区间为. 又为增函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，在R上单调递增，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由已知有求参数，再应用单调性定义证明函数的单调性； （2）根据奇偶性的定义证明函数的奇偶性； （3）问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求左侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由在上单调，则，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下， 令，则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2），函数定义域为R， 则， 所以为奇函数； （3）， 所以，则恒成立， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以 . 所以实数m的取值范围为. 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即可. 【详解】由在上单调递增，得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2.（25-26高一上·河南南阳·期中）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC 3．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数（且），则该函数的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】根据指数函数的特征得到，求出定点坐标. 【详解】因为（且）的图象恒过点， 令得，则， 则的图象恒过点. 故答案为： 4．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依据函数的性质作出直线与函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】因为函数为定义在R上的增函数，且， 所以， 在同一坐标系作出直线与函数的图象如图所示， 由图可得，所以. 所以满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】利用换元法或反函数法求解得到答案； 【详解】解法1：换元拆分法 .令，所以 所以函数的值域为. 解法2：反函数法 由得，则， 故.所以函数的值域为. 6．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数单调性，结合二次函数求出值域. （2）将给定不等式作等价变形并分离参数，利用指数函数单调性，结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）当时，， 由，得，则，因此， 所以函数的值域是. （2），， 由（1）知，， ，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $