导数与三次函数课件-2026年高考数学二轮复习

　导数与三次函数 高中数学 二轮复习 返回导航 三次函数是教材中利用导数重点研究的内容之一，也是高考的热点问题，主要考查三次函数的单调性、极值、最值、零点及其图象的对称中心等，各种题型均有出现，难度中等或偏上． 返回导航 内容索引 第一部分 热点分类　考向探究 教考衔接练1 第二部分 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 一 返回导航 考向 1 三次函数的零点 返回导航 B 返回导航 返回导航 (－2，1) 返回导航 对于三次函数f(x)，其导函数为f ′(x)． 1．若方程f ′(x)＝0的判别式Δ≤0，则函数f(x)在R上是单调函数，无极值，值域为(－∞，＋∞)，函数f(x)在R上有唯一的零点． 2．若方程f ′(x)＝0的判别式Δ＞0，则f ′(x)有两个零点x1，x2，它们是函数f(x)的极值点． (1)f(x)有一个零点⇔f(x1)f(x2)＞0，如下图所示． 反思感悟 返回导航 (2)f(x)有两个零点⇔f(x1)f(x2)＝0，如下图所示． (3)f(x)有三个零点⇔f(x1)f(x2)<0，如下图所示． 返回导航 C 返回导航 返回导航 考向 2 三次函数图象的切线 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 一般地，如图，过三次函数f(x)图象的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域，有以下结论： 1．过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作曲线f(x)的切线，有且仅有3条； 2．过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作曲线f(x)的切线，有且仅有1条； 3．过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作曲线f(x)的切线，有且仅有2条． 反思感悟 返回导航 D 返回导航 考向 3 三次函数图象的对称中心 返回导航 返回导航 AD 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 C 返回导航 返回导航 教考衔接练1 第 分 部 二 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 BC 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 AC 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 ACD 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 12．(5分)函数f(x)＝x3－3x2＋5x－1图象的对称中心的坐标为__________． 解析：由f(x)为三次函数，得其图象的对称中心的横坐标等于f(x)的二阶导函数的零点，f ′(x)＝3x2－6x＋5，f ″(x)＝6x－6，令f ″(x)＝0，解得x＝1，又f(1)＝2，所以f(x)的图象的对称中心的坐标为(1，2)． (1，2) 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 －3 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 11 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 [教材母题]　(人教B版选择性必修第三册P102习题6－2BT4)已知函数f(x)＝x3－x2－x－1的图象与直线y＝c有3个不同的交点，求实数c的取值范围． 解：∵f(x)＝x3－x2－x－1，∴f ′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)， 当x∈时，f ′(x)>0，函数f(x)在上单调递增， 当x∈时，f ′(x)<0，函数f(x)在上单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 则f(x)的极大值为f＝－，极小值为f(1)＝－2，根据题意可得实数c的取值范围为． [链接真题]　(1)(2023·全国乙卷文)若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　 　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3，0) 解析：f(x)＝x3＋ax＋2，则f ′(x)＝3x2＋a，若f(x)存在3个零点，则f(x)存在极大值和极小值，f ′(x)＝0有2个不同的根，则a＜0，令f ′(x)＝3x2＋a＝0，解得x＝－或x＝，且当x∈∪时，f ′(x)>0，当x∈时，f ′(x)＜0，故f(x)的极大值为f，极小值为f，若f(x)存在3个零点，则即解得a＜－3．故选B． (2)(2024·全国甲卷文)当x>0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，则a的取值范围是________． 解析：令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)，则g ′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，令g ′(x)＝0(x>0)得x＝1，当x∈(0，1)时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，又g(0)＝1，g(1)＝－2，作出y＝g(x)的大致图象和直线y＝a如图，因为曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个交点，所以等价于直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个交点，所以a∈(－2，1)． 跟踪训练 若曲线y＝x3与直线y＝3ax＋2有3个不同的交点，则实数a的取值范围是(　 　) A．(－∞，1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：若曲线y＝x3与直线y＝3ax＋2有3个不同的交点，则方程x3－3ax－2＝0有3个不同的解，令f(x)＝x3－3ax－2，则f(x)有3个零点，可得f ′(x)＝3x2－3a，若a≤0，f ′(x)≥0，则f(x)＝x3－3ax－2是增函数，不可能有3个零点；若a>0，由f ′(x)＝0得x2＝a，则x＝±，当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f ′(x)>0，当x∈(－，)时，f ′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－)上单调递增，在(－，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．要使f(x)有3个零点，则f(x)的极大值f(－)大于0，极小值f()小于0，即解得a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞)．故选C． [教材母题]　(人教B版选择性必修第三册P113复习题T8)已知x轴为函数f(x)＝x3＋ax＋的图象的一条切线，求实数a的值． 解：设切点为(x0，0)，易知f ′(x)＝3x2＋a， 则解得 [链接真题]　(2021·全国乙卷文)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1． (1)讨论f(x)的单调性； 解：(1)由题意知f(x)的定义域为R，f ′(x)＝3x2－2x＋a，令f ′(x)＝0，则Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)． ①当a≥时，f ′(x)≥0，f(x)在R上单调递增． ②当a＜时，由3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝， 令f ′(x)>0，则x＜x1或x>x2； 令f ′(x)＜0，则x1＜x＜x2． 所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增； 当a＜时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． (2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标． 解：(2)设曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1)，因为f ′(x0)＝3x－2x0＋a， 所以切线l的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)， 由l过坐标原点，得2x－x－1＝0， 解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x． 令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x， 则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1，所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a)． 跟踪训练 经过点P(1，－2)且与曲线2x3－3x－y＝0相切的不同直线共有(　 　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：设切点为(x0，2x－3x0)，y ′＝6x2－3，则切线的斜率为6x－3，又切线过点P(1，－2)，所以2x－3x0＋2＝(6x－3)(x0－1)，则4x－6x＋1＝0．设g(x0)＝4x－6x＋1，则g ′(x0)＝12x－12x0，令g ′(x0)＝0，解得x0＝0或x0＝1，当x0∈(－∞，0)和x0∈(1，＋∞)时，g ′(x0)>0，函数g(x0)单调递增，当x0∈(0，1)时，g ′(x0)<0，函数g(x0)单调递减，又g(－1)＝－4－6＋1＝－9<0，g(0)＝1>0，g(1)＝4－6＋1＝－1<0，g(2)＝4×8－6×4＋1＝9>0，所以存在x1∈(－∞，0)，g(x1)＝0；x2∈(0，1)，g(x2)＝0；x3∈(1，＋∞)，g(x3)＝0．所以g(x0)＝4x－6x＋1的图象与x轴有3个交点，则经过点P(1，－2)有3条切线．故选D． [教材母题]　(人教A版必修第一册P87习题3．2T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； 解：(1)∵f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x．设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，∴f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称．即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)． (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 解：(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数． [链接真题]　(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　 　) A．当a＞1时，f(x)有三个零点 B．当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 解析：对于A，f ′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，由于a>1，故当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，a)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．则f(x)在x＝0处取得极大值，在x＝a处取得极小值，由f(0)＝1>0，f(a)＝1－a3＜0，则f(0)f(a)＜0，根据函数零点存在定理知f(x)在(0，a)上有一个零点，又f(－1)＝－1－3a＜0，f(2a)＝4a3＋1>0，则f(－1)·f(0)＜0，f(a)f(2a)＜0，则f(x)在(－1，0)，(a，2a)上各有一个零点，于是当a>1时，f(x)有三个零点，A正确．对于B，f ′(x)＝6x(x－a)，a＜0，当x∈(a，0)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，此时f(x)在x＝0处取得极小值，B错误．对于C，假设存在这样的a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，则存在这样的a，b，使得f(x)＝f(2b－x)，即2x3－3ax2＋1＝2(2b－x)3－3a(2b－x)2＋1，根据二项式定理， 等式右边2(2b－x)3的展开式中含有x3的项为2C(2b)0(－x)3＝－2x3，等式左右两边x3的系数不相等，原等式不可能恒成立，所以不存在这样的a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，C错误．对于D，方法一(利用对称中心的表达式化简)，f(1)＝3－3a，若存在这样的a，使得点(1，3－3a)为曲线y＝f(x)的对称中心，则f(x)＋f(2－x)＝6－6a，又f(x)＋f(2－x)＝2x3－3ax2＋1＋2(2－x)3－3a(2－x)2＋1＝(12－6a)x2＋(12a－24)x＋18－12a，于是6－6a＝(12－6a)x2＋(12a－24)x＋18－12a，即解得a＝2，即存在a＝2，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确． 方法二(直接利用拐点结论)，任何三次函数图象都有对称中心，对称中心的横坐标是其二阶导数的零点，f(x)＝2x3－3ax2＋1，f ′(x)＝6x2－6ax，f″(x)＝12x－6a，由f″(x)＝0⇔x＝，得该三次函数图象的对称中心为点，由题意点(1，f(1))为其图象的对称中心，故＝1⇔a＝2，即存在a＝2，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确．故选AD． 三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象一定有对称中心，其对称中心横坐标为x＝－，即f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c图象的顶点的横坐标，也即f″(x)＝6ax＋2b的零点，即三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c的图象的对称轴上． 跟踪训练 已知函数f(x)＝－x3＋3x＋1，则下列结论正确的是(　 　) A．f(x)有2个零点 B．点(1，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 C．f(x)有2个极值点 D．直线y＝3x＋2是曲线y＝f(x)的切线 解析：f ′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)，令f ′(x)>0，解得－1<x<1，令f ′(x)<0，解得x<－1或x>1，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－1<0，f(1)＝3>0，且f(－2)＝3>0，f(2)＝－1<0，所以f(x)在(－2，－1)，(－1，1)，(1，2)上各有1个零点，共3个零点，A错误；y＝－x3＋3x为奇函数，所以其图象关于点(0，0)对称，所以f(x)＝－x3＋3x＋1的图象关于点(0，1)对称，B错误；由单调性可知f(x)有2个极值点，即x＝－1，x＝1，C正确；对于D，令f ′(x)＝－3x2＋3＝3，解得x＝0，则f(0)＝1，但是当x＝0时，对于直线y＝3x＋2，有y＝2≠1，即直线不经过点(0，1)，D错误．故选C． 1．(5分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋c有3个零点，则c的取值范围是(　 　) A． B．∪(0，＋∞) C． D．∪(0，＋∞) 解析：函数f(x)＝x3＋x2＋c，则f ′(x)＝3x2＋9x，令f ′(x)>0，解得x>0或x<－3，令f ′(x)<0，解得－3<x<0，所以f(x)在(－∞，－3)和(0，＋∞)上单调递增，在(－3，0)上单调递减．又f(－3)＝＋c，f(0)＝c，要使f(x)有3个零点，则c<0<c＋，解得－<c<0．故选C． 2．(5分)(2025·黑龙江鸡西二模)已知函数f(x)＝－x3＋3x－1，下列说法错误的是(　 　) A．f(x)在x＝－1处取得极小值 B．f(x)有3个零点 C．f(x)在区间(－2，2)上的值域为(－3，1) D．曲线y＝f(x)的对称中心为点(0，－1) 解析：由f(x)＝－x3＋3x－1，可得f ′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，当x<－1或x>1时，f ′(x)<0，当－1<x<1时，f ′(x)>0，即函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增．对于A，由上分析知f(x)在x＝－1处取得极小值，故A正确；对于B，结合以上分析，f(－2)＝1>0，f(－1)＝－3<0，f(1)＝1>0，f(2)＝－3<0，由函数零点存在定理知，f(x)有3个零点，故B正确；对于C，f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，而f(－2)＝f(1)＝1，f(－1)＝f(2)＝－3，故f(x)在区间(－2，2)上的值域为[－3，1]，故C错误；对于D，f(－x)＋f(x)＝－(－x)3＋3×(－x)－1＋(－x3＋3x－1)＝－2，即f(－x)＝－2－f(x)，故曲线y＝f(x)的对称中心为点(0，－1)，故D正确．故选C． 3．(5分)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，现给出定义：设f ′(x)是函数f(x)的导数，f″(x)是f ′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)图象的“拐点”．经过探究发现：任意一个三次函数的图象都有“拐点”，任意一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝－x2＋，则g＋g＋…＋g＝(　 　) A． B． C．17 D．34 解析：由函数g(x)＝－x2＋，可得g ′(x)＝x2－2x，所以g″(x)＝2x－2，令g″(x0)＝2x0－2＝0，可得x0＝1，又g(1)＝－1＋＝1，所以函数g(x)图象的对称中心为点(1，1)，所以g(x)＋g(2－x)＝2，则g＋g＋…＋g＝＝×2×17＝17．故选C． 4．(5分)函数f(x)＝x3－3x＋2的零点的个数是(　 　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：f(x)＝x3－3x＋2的定义域为R，且f ′(x)＝3x2－3，当x>1或x<－1时，f ′(x)＝3x2－3>0，当－1<x<1时，f ′(x)＝3x2－3<0，故f(x)＝x3－3x＋2在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，又f(－1)＝－1＋3＋2＝4>0，f(1)＝1－3＋2＝0，f(－2)＝－8＋6＋2＝0，故函数f(x)＝x3－3x＋2的零点的个数是2．故选C． 5．(5分)已知函数f(x)＝x3－4x＋6，则(　 　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0，3)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线x＋y－6＝0是曲线y＝f(x)的切线 解析：由已知得f ′(x)＝x2－4，令f ′(x)>0得x>2或x<－2，令f ′(x)<0得－2<x<2，所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，所以x＝±2是极值点，故A正确；因为f(－2)＝－＋8＋6>0，f(2)＝－8＋6>0，f(－10)＝－＋40＋6<0，所以函数f(x)在(－∞，－2)上有一个零点，当x≥2时，f(x)≥f(2)>0，即函数f(x)在(2，＋∞)上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)＝x3－4x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－4(－x)＝－x3＋4x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)图象的对称中心，将h(x)的图象向上平移6个单位长度得到f(x)的图象，所以点(0，6)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C错误；令f ′(x)＝x2－4＝－1， 可得x＝±，又f()＝6－3，当切点为(，6－3)时，切线方程为y＝－x＋6－2，f(－)＝6＋3，当切点为(－，6＋3)时，切线方程为y＝－x＋6＋2，故D错误．故选A． 6．(5分)(2025·湖北武汉二模)点P在曲线y＝x3－x＋上，设曲线在点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是(　 　) A． B．∪ C． D．∪ 解析：y ′＝3x2－1，设P(m，n)，则曲线在点P处切线的斜率为3m2－1≥－1，则tan α≥－1，又α∈[0，π)，切线斜率存在，故α≠，则α∈∪．故选B． 7．(5分)若函数f(x)＝2x3－3ax2＋1有3个零点，则a的取值范围为(　 　) A．a>1 B．a>2 C．a<1 D．a<0 解析：因为f(x)＝2x3－3ax2＋1，所以f(0)＝1≠0，所以0不是f(x)的零点，当x≠0时，令f(x)＝0，即2x3－3ax2＋1＝0，得到a＝，令g(x)＝，则g ′(x)＝＝，易知x2＋x＋1>0恒成立，由g ′(x)＝0，得x＝1，当x∈(－∞，0)时，g ′(x)>0，当x∈(0，1)时，g ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，又易知，当x∈(－∞，0)，且x→－∞时，g(x)→－∞，x→0时，g(x)→＋∞，当x∈(0，1)，x→0时，g(x)→＋∞，g(1)＝＝1，当x∈(1，＋∞)，x→＋∞时，g(x)→＋∞，画出g(x)＝的大致图象及直线y＝a如图所示，由题知直线y＝a与g(x)＝的图象有三个交点，所以a>1．故选A． 8．(5分)关于函数f(x)＝x3－x2－2x＋1，下列说法正确的是(　 　) ①f(x)的图象在点(3，f(3))处的切线方程为8x－2y－25＝0； ②f(x)的图象关于原点对称； ③若函数y＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是； ④f(x)在(－1，1)上单调递减． A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 解析：函数f(x)＝x3－x2－2x＋1，求导得f ′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．对于①，f ′(3)＝4，f(3)＝－，则f(x)的图象在点(3，f(3))处的切线方程为y＋＝4(x－3)，即8x－2y－25＝0，①正确；对于②，f(－3)＝－≠－f(3)，则f(x)的图象不关于原点对称，②错误；对于③，当x<－1或x>2时，f ′(x)>0，当－1<x<2时，f ′(x)<0，即函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝，在x＝2处取得极小值，极小值为f(2)＝－，函数y＝f(x)－m有3个零点，即直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以m∈，③正确；对于④，f(x)在(－1，1)上单调递减，④正确．故选D． 9．(8分，多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋4，x∈，则下列结论正确的是(　 　) A．函数f(x)在区间上单调递增 B．函数f(x)的值域为[2，6] C．函数f(x)的图象在点处的切线方程为y＝x－ D．当a∈时，关于x的方程f(x)＝a有2个不同的实数根 解析：f ′(x)＝3x2－3，由f ′(x)<0，得≤x<1，则f(x)在上单调递减，由f ′(x)>0，得1<x≤2，则f(x)在(1，2]上单调递增，故A错误；f＝，f(1)＝2，f(2)＝6，所以f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(2)＝6，故函数f(x)的值域为[2，6]，故B正确；f ′＝，f＝，则函数f(x)的图象在点处的切线方程为y＝x－，故C正确；若关于x的方程f(x)＝a有2个不同的实数根，则f(x)的图象与直线y＝a有2个交点，画出f(x)的大致图象及直线y＝a如图，则要使f(x)的图象与直线y＝a有2个交点，应满足a∈，故D错误．故选BC． 10．(8分，多选)(2025·重庆渝北区二模)已知函数f(x)＝x3－4x，则(　 　) A．f(x)有3个零点 B．f(x)的图象在原点处的切线方程为y＝－x C．f(x)的图象关于点(0，0)对称 D．f(x)在[0，3]上的最大值为4 解析：对于A，令f(x)＝x3－4x＝0，解得x1＝0，x2＝2，x3＝－2，A正确；对于B，f ′(x)＝x2－4，则f ′(0)＝－4，又f(0)＝0，所以f(x)的图象在原点处的切线方程为y＝－4x，B错误；对于C，f(－x)＝(－x)3－4(－x)＝－x3＋4x＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以f(x)为奇函数，可知f(x)的图象关于点(0，0)对称，C正确；对于D，当x∈[0，2)时，f ′(x)<0，当x∈(2，3]时，f ′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，又f(0)＝0，f(3)＝－3，所以f(x)在[0，3]上的最大值为0，D错误．故选AC． 11．(8分，多选)(2025·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x－m有3个零点，记为x1，x2，x3(x1<x2<x3)，则(　 　) A．－5<m<27 B．过点(－2，23－m)可作曲线y＝f(x)的三条切线 C．x1＋x2>－6 D．x2＋x3<2 解析：对于A，由题意，得f ′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，令f ′(x)>0，得x>1或x<－3，令f ′(x)<0，得－3<x<1，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)，所以f(x)的极大值为f(－3)＝27－m，极小值为f(1)＝－5－m，因为函数f(x)有3个零点，所以解得－5<m<27，故A正确；对于B，设切点为T(x0，x＋3x－9x0－m)，则切线的斜率k＝3x＋6x0－9，所以切线方程为y－(x＋3x－9x0－m)＝(3x＋6x0－9)(x－x0)，将(－2，23－m)代入切线方程，得2x＋9x＋12x0＋5＝0，设g(x)＝2x3＋9x2＋12x＋5，则g ′(x)＝6x2＋18x＋12＝6(x＋1)(x＋2)，由g ′(x)＝0，得x＝－2或x＝－1，当x<－2或x>－1时，g ′(x)>0，当－2<x<－1时，g ′(x)<0，则g(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(－2，－1)，所以g(x)的极大值为g(－2)＝1>0，极小值为g(－1)＝0，又x→－∞时， g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→＋∞，所以g(x)＝0有两个不同的实数解，即过点(－2，23－m)可作曲线y＝f(x)的两条切线，故B错误；对于C，令h(x)＝f(x)－f(－6－x)(－3<x<1)，则h ′(x)＝f ′(x)＋f ′(－6－x)＝6(x＋3)2>0，所以h(x)在区间(－3，1)上单调递增，因为x1<－3<x2<1<x3，所以h(x2)>h(－3)＝0，即f(x2)>f(－6－x2)，因为f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)>f(－6－x2)，因为x1<－3，－6－x2<－3且f(x)在(－∞，－3)上单调递增，所以x1>－6－x2，即x1＋x2>－6，故C正确；对于D，令t(x)＝f(x)－f(2－x)(－3<x<1)，则t ′(x)＝f ′(x)＋f ′(2－x)＝6(x－1)2>0，所以t(x)在区间(－3，1)上单调递增，因为x1<－3<x2<1<x3，所以t(x2)<t(1)＝0，即f(x2)<f(2－x2)，因为f(x2)＝f(x3)，所以f(x3)<f(2－x2)，因为x3>1，2－x2>1且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x3<2－x2，即x2＋x3<2，故D正确．故选ACD． 13．(5分)(2025·湖北黄冈二模)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为______． 解析：由题意得f(0)＝1，f ′(x)＝6x2－2ax＝6x，a≠0，由f ′(x)＝0得x＝0或x＝a，所以函数f(x)在x＝0或x＝a处取得极值，欲使函数在(0，＋∞)内有且只有一个零点，当且仅当解得a＝3，所以f(x)＝2x3－3x2＋1，f ′(x)＝6x2－6x，当x∈[－1，0)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，1]时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又f(－1)＝－4，f(0)＝1，f(1)＝0，所以当x∈[－1，1]时，f(x)max＝1，f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3． 14．(6分)已知曲线f(x)＝x3－3x2＋6x＋2在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为_____． 解析：方法一　f(x)＝x3－3x2＋6x＋2，则f ′(x)＝3x2－6x＋6，设P(m，1)，Q(n，f(n))，依题意得f ′(m)＝f ′(n)，所以3m2－6m＋6＝3n2－6n＋6，则m2－n2＝2(m－n)，显然m≠n，则m＋n＝2．因为f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)＋6，所以f(x)的图象关于点(1，6)中心对称，所以点P与点Q关于点(1，6)对称，所以＝6，则f(n)＝11，所以点Q的纵坐标为11． 方法二　f(x)＝x3－3x2＋6x＋2，则f ′(x)＝3x2－6x＋6，因为f ′(x)＝3(x－1)2＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，令x3－3x2＋6x＋2＝1，设其根为xP，则x－3x＋6xP＝－1．因为f(x)在点P处的切线与在点Q处的切线平行，所以f ′(x)＝k存在两个不同的实根，其中一个为xP，设另一个为xQ，即3x2－6x＋6＝k的两个根为xP，xQ，则xP＋xQ＝2，则xQ＝2－xP，所以f(xQ)＝x－3x＋6xQ＋2＝(2－xP)3－3(2－xP)2＋6(2－xP)＋2＝－x＋6x－12xP＋8－3x＋12xP－12＋12－6xP＋2＝－(x－3x＋6xP)＋10＝11，所以点Q的纵坐标为11． $