专项突破6 概率与不等式、数列、导数的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

心专项突破6 概率与不等式、数 题组概率与不等式的综合应用 1.（2024·四川成都高三月考)某小区有 3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝 病毒携带者，假设携带病毒的人占α%.为减 轻工作量，随机地按n人一组分组，然后将 各组n个人的血样混合在一起化验.若混合 血样呈阴性，说明这n个人全部阴性；若混 合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样 呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次. (1)若a=0.2,n=20,试估算该小区化验的 总次数； (2)若a=0.9,且每人单独化验一次花费 10元，n人混合化验一次花费(n+9) 元，求当n为何值时，每名居民化验的 平均费用最少， 注：假设每名居民的化验结果呈阴性还是阳 性相互独立.当0<p<0.01时，(1-p)”≈ 1-np. 2.(2024·广西南宁高三月考)为防范火灾， 对某仓库的灭火系统的3套喷淋装置进行 检查，发现各套装置能正常工作的概率为 且每套喷淋装置能否正常工作是相互独 3 立的.若有超过一半的喷淋装置正常工作， 则该仓库的灭火系统能正常工作，否则就需 要维修 (1)求该仓库灭火装置正常工作的个数的 均值与方差 （2)求系统需要维修的概率. 12黑白题数学|选择性必修第三册·RJ 列、导数的综合应用 (3)为提高灭火系统正常工作的概率，在仓 库内增加两套功能完全一样的其他品 牌的喷淋装置，每套新喷淋装置正常工 作的概率为p(0<p<1),且新增喷淋装 置后有超过一半的喷淋装置能正常工 作，则灭火系统可以正常工作.问：p满 足什么条件时可以提高整个灭火系统 的正常工作概率？ 题组已概率与数列的综合应用 3.(2024·河南郑州高二期中)“布朗运动”是 指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的 永不停息的无规则运动.在如图所示的试验 容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗 运动时每次会从所在仓的通道口中随机选 择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选 择后到达2号仓的概率为Pn.已知该粒子的 初始位置在2号仓， (1)证明数列{P.}是等比数列，并求数 列{Pn}的通项公式； (2)粒子经过4次随机选择后，记粒子在 1号仓出现的次数为X,求X的分布列 与数学期望 2 4.(2024·江西新余高三二模)近年来，某大 学为响应国家号召，大力推行全民健身运 动，向全校学生开放了A,B两个健身中心， 要求全校学生每周都必须利用课外时间去 健身中心进行适当的体育锻炼 (1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A,B 两个健身中心中选择其中一个进行健 身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健 身的概帘分别为分子，求这三人中 这一周恰好有一人选择A健身中心健 身的概率 (2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进 行体育锻炼，且这两天中每天只选择两 个健身中心的其中一个，其中周六选择 2 A健身中心的概率为了若丁周六选择 A健身中心，则周日仍选择A健身中心 的概率为写者周六选择B健身中心， 则周日选择A健身中心的概率为3求 丁周日选择B健身中心健身的概率 (3)现用健身指数k(k∈[0,10])来衡量各 学生在一个月的健身运动后的健身效 果，并规定k值低于1分的学生为健身 效果不佳的学生，经统计发现从全校学 生中随机抽取一人，其飞值低于1分的 概率为p(0<p<1).现从全校学生中随机 抽取一人，若抽取到的学生不是健身效 果不佳的学生，则继续抽取下一个，直 至抽取到一位健身效果不佳的学生为 止，但抽取的总次数不超过n(n足够 大)，求抽取次数X的分布列和数学 期望. 5.(2024·浙江台州高二期中)某商场拟在周 年店庆进行促销活动，对一次性消费超过 200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券” 的游戏，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一 枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过 4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮 游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得 到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏 结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮 游戏。 (1)当进行完3轮游戏时，总分为X,求X的 分布列和数学期望； (2)若累计得分为i的概率为p:(i=1,2,…, 9),初始分数为0分，记Po=1. (1)证明：数列{p:-p1}(i=1,2,…, 9)是等比数列； (ⅱ)求活动参与者得到纪念品的概率. 进阶突破·专项练3 题组目概率与导数的综合应用 6.某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管 理等因素影响.农民按照药材色泽、大小等 将药材分为上等药材、中等药材、普通药材， 并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其 中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普 通药材！ （1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱， 设X为上等药材的箱数，求X的分布列 和数学期望 (2)已知每箱药材的利润如表： 上等 中等 普通 等级 药材 药材 药材 利润/（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产 量，且生产的上等药材、中等药材、普通 药材所占比例不变，但需要的人力成本 增加，每增加m箱，成本相应增加 (1000m-2000lnm)元，假设你为该农 户决策，你觉得目前应不应该增加产 量？如果应该增加产量，增加多少箱最 好？如果不应该增加产量，请说明理由 14黑白题数学|选择性必修第三册·RJ .(2024·山东泰安高二期末)第十四届全国 冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月 17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这 是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、 标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承 办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛 会，内蒙古某大学组织大学生举办了一场主 题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会 知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场 选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过 后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院 参加该大学的冬运会知识竞赛 (1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参 赛大学生最多有7次答题机会，累计答 对4道题或答错4道题即终止比赛，答 对4道题则进入决赛，答错4道题则被 淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率 均为)，且回答各题的结果相互独立。 (ⅰ)求甲至多回答了5道题就进入决 赛的概率； (ⅱ)设甲在初赛中答题的道数为X,求 X的分布列和数学期望 (2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少 于2道，则胜出，代表学院参加学校比 赛；否则被淘汰.已知大学生乙进入了决 赛，他在决赛中前2道题答对的概率相 等，均为x(0<x<1),3道题全答对的概 率为g,且回答各题的结果相互独立，设 他能参加学校比赛的概率为f(x),求 f(x)的最小值：P(X=16)=0.2×0.2=0.04 所以X的分布列为 X 10 11 12 13 14 15 16 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)可知P(X≥12)=0.8，P(X≥13)=0.56，故n0=13. (3)由(2)可知n=no-1=12. 在灯带安全使用寿命期内，当=12时，设购买替换灯珠所需总费用 为u元，当n=13时，设购买替换灯珠所需总费用为"元，则 E(u)=24+0.24×4+0.2×8+0.08×12+0.04×16=28.16,E(v)=26+0.2× 4+0.08×8+0.04×12=27.92. E(v)<E(u),故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，n=no 比n=no-1的方案更优. 4.解：(1)记小李在路上遇到红灯为事件A,小李在第一个路口遇到红 灯为事件B, P(AB)=1 子，则小李在路上渴到了红灯的情况下，小李在第一个路口 P(A) 就遇到了红灯的概率为 5 (2)设路线1累计塔加时间的随机变量为y,则？-B(3,)),所 1 以E(Y,)=3×3=1.设路线2第i个路口遇到红灯为事件A(i= 1,2),则P(4)=子，P(4)=子，设路线2累计端加时间的随机变 量为Y2,则Y2的所有可能取值为0,1,2，则P(Y2=0)=P(A1)· P)=宁x时石，P=1)=P(a+P4雨)×号+ 111 P=2=P4)=×号-所以8)=0 17 因为E(Y1)<E(Y2),所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加 时间的期望最小，小李应选择路线1. 5.解：(1)设事件A1表示“某题的答案是BD,该考生得0分”，则A1= 3 11 {B,D,BD},所以P(A)=1-P(A)=1 C4+C2+C214 (2)设事件A2表示“某题的答案是ABD,该考生得正分”，则A2=A, 7 B,D,AB,AD,BD,ABD|,所以P(A2)= 4+C+C2' 设事件A3表示“某题的答案是ABD,该考生得2分”，则A3={A,B, 3 3 D,所以P(4,)C+心哈+04，所以在该考生此题已得正分的条 件下，该考生得2分的概率为P(A3lA2)= P(A2A3)P(A3)3 P(A2)P(A2)7 (3)设方案一、二、三的得分分别为X,Y,2, 方案-：江的所有可能取值为2,3，P(X=2)=号，P(X=3)=号，所 2 以X的分布列为 选择性必修第三册·RJ 3 3 2 17 则E(X)=2× 3+3x3=3 1221 方案二：Y的所有可能取值为0,4,6，P(Y=0)=3×行+行×3 (-子号-号P-60)×，所以的分有 2x2=4 -× 列为 Y046 41 999 则E(Y=0x 4 9+4x 4. .122 9+6x9=9i 方案三：Z的所有可能取值为0,6，P(Z=0)= 2x2+1x1= 7 3x3+3 9 21 2 P(Z=6)=3x3 ,所以Z的分布列为 = Z06 7 2 99 7 .24 则E(Z)=0xg+6x9=3 因为E(Y)>E(X)>E(Z),所以以得分的数学期望作为判断依据，选 择方案二更恰当。 专项突破6概率与不等式、数列、导数的综合应用 1.解：(1)设每组需要检验的次数为X,若混合血样呈阴性，则X=1,若 混合血样呈阳性，则X=21,所以P(X=1)=(1-0.002)20,P(X= 21)=1-(1-0.002)20,所以E(X)=1×(1-0.002)20+21×[1- (1-0.002)20]=21-20×(1-0.002)20≈21-20×(1-20×0.002)=1.8， 一共有3000÷20=150（组），故估计该小区化验的总次数是1.8× 150=270(次). (2)设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性，则Y=n+9, 若混合血样呈阳性，则Y=11n+9,故P(Y=n+9)=(1-0.009)",P(Y= 11n+9)=1-(1-0.009)n, E(Y)=(n+9)·0.991"+(11n+9)·(1-0.991n)=11n-10n×0.991"+ 9,每位居民的化验费用为()-11n-10mx0.91+9-11-10× 0.991°+9≈1-10×(1-0.009n)+9=11-10+0.09n+9≥1+ n n 2009n·9=2.8(元)，当且仅当0.09n=9,即n=10时取等号， 故n=10时，每名居民化验的平均费用最少. 2.解：(1)记X为系统中可以正常工作的喷淋装置的个数 3} 由题意知X~B(3,年)，所以该仓库灭火装置正常工作的个数的均 值为(0=3x?,方差(X0=3x×1-子）名 ,39 (2)记事件A为“该仓库灭火系统需要维修”，则P(A)=P(X=0)+ pwc()广c✉（任）八（广40品 黑白题46 所以系统满要维修的概率为品 (3)记事件B为“该仓库灭火系统能正常工作”，设X为系统中可 以正常工作的喷淋装置的个数 由题意可知，P(X=3)=c8x(）'·cg(1-p2+Cx(子）尸× (-）cnap+c×(）广×(1子）°cn- 641 P(x=4=c3x(）广·c1-p)+c8x(）×(1-) 则=r=3=4+P=5)=品 品品 由(2)可知，灭火系统原来可以正常工作的概率为1-P(A)=1- 527 3232, 若新增两个喷淋装置后整个系统的正常工作概率提高了，则有不等 式品贸品贸成立23，而01 家上，当一百1时，可以提高数个天大系统的正香工作既来 3.解：(1)记粒子经过n次随机选择后到达1号仓的概率为A,粒子经 过n次随机选择后到达3号仓的概率为B。,所以 (P+An+Bn=1, B得P1=子(1-P.),所以P1- 号(P4),即{P,4}是公比为-号的等比数列又P,=0, 所u()(5)”=(3)尸 (2)结合题意易得X可取0,1,2， 11111 3×2×354P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=6 21 119 108 ,所以X的 分布列为 012 11967 3654108 所以E(X)=0× 1号2品号 1 541 4.解：(1)由题意得，这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身 的概率为P2×(1-4)×(1-子)+（-分)×子×(1 )()(-4)是 参考答案 (2)记事件C为“丁周六选择A健身中心”，事件D“丁周日选择B健 身心，则P(G)=子，P(G=号，P(D1G)=1号，P(D 31 C)=1=4,由全概率公式得P(D)=P(C)P(DIC)+P(C)P(DI 石=号×号甘×品技丁用H港择8健身中心健身铃横车 - 为号 (3)已知从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳 的学生的概率为p,则X的可能取值为k=1,2,3,…,n,P(X=1)=P, P(X=2)=(1-p)p,…,P(X=k)=(1-p)k-1p(k=1,2,3,…,n-1), P(X=m)=(1-p)-1, 所以X的分布列为 X12 3 …n-1 n Pp(1-p)p(1-p)2p…(1-p)m-2p(1-p)1 故E(X)=p+(1-p)p×2+(1-p)2p×3+…+(1-p)m-2p×(n-1)+ (1-p)-lxn, 又(1-p)E(X)=(1-p)p+(1-p)2p×2+(1-p)3p×3+…+(1-p)-p× (n-1)+(1-p)n×n, 两式相减，得pE(X)=p+(1-p)p+(1-p)2p+…+(1-p)m-2p+ (1-p)p, 所以E(X)=1+(1-p)+(1-p)2+…+(1-p)m-2+(1-p)-1= 1-(1-p)”_1-(1-p)9 1-(1-p) 5.()解：由题意得，每轮游戏获得1分的概率为子，获得2分的概率 为子，所以随机变量X可能取值为3,45,6， 可得P(X=3)= P(X=5)=C3× 所以X的分布列为 345 4 279927 8 4 2 1 所以数学期望E(X)=3×27+4xg+5x)+6x27=4 (2)(1)证明：i=1,即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数 2 1 不超过4点的概率p1=了，则P1-o=-了累计得i分的情况有 两种： ①=(i-2)+2,即前一轮累计得(-2)分，又掷骰子点数超过4点得 2分，其概率为了， ②=(i-1)+1,即前一轮累计得(i-1)分，又掷骰子点数不超过4点 得1分，其概率为号1所以=了+号i=23,,9,所 .2 1 以pp1=3(P1p2)(i=2,3,…,9),所以数列p:p=(i= 1,2,9)是首项为-}，公比为-}的等比数列 黑白题47 (i)解：因为数列p,p1是首项为子，公比为}的等比数列， 所以A-A1=（号），所以Pw=子A=(号）广，， (号），名式相面得儿-（号）广门脂以 3 所以活动参与者得到纪念品的概率为Po=3Ps=3×4+4× ()]+(3月 6.解：(1)X的可能取值为0,1,2， C63 P(X=0)= C14,P(X=1)= CC 4 Cg7,P(X=2)= 3C%3 Cg141 所以X的分布列为 012 3 4 3 14714 g0=1x子+2x21 3 .4. (2)按原计划生产药材每箱平均利粥为子×40+子×20+宁 + (-1200)=900(元)，则增加m箱药材，利润增加900m元，成本相应 增加(1000m-2000lnm)元，所以增加净利润为900m-1000m+ 2000lnm=2000lnm-100m(meN).设f(x)=2000lnx-100x(x≥1 且xeN,则f'(x)=200-10,当1≤<20时，/”()>0：当>20 时f'(x)<0,且f20)>0,所以函数f(x)在[1,20)上单调递增，在 (20,+∞)上单调递减，所以当x=20时，f(x)取得最大值，所以应该 增加产量，增加20箱最好. 7.解：(1)()由题可得，甲回答了4道题进入决赛的概率为 甲目客了5道题法人洗案纷藏率为（行）广宁-日所 1 以甲至多回答了5道题就进人决赛的概率为6令G (i)由题可知，X的可能取值为4,5,6,7， 则x=4=2x(）广以x5列=2xx(）八x宁 (:)八）广8 所以X的分布列为 6 7 5 5 841616 厕X0=4x+5X4+6x6+7x52 8 1616 (2)设乙答对第3道题的概率为y,则xy=8, 选择性必修第三册·RJ 所以fx)=+(1-)+c(1-y=-2t2+2y=2+1 4x4 又因为0<<1，所以f'(x)=2x442 18x3-1(2x-1)(4x2+2x+1) 4x2 所以当0<x<2 时/"()<0：当1时（✉）>0， 所以)在(，)）上单调遥减，在（合小上单造，所以 专项突破7统计中的最值问题 昌-w 1.解：(1)由题意得，1 13.94 √厚-·√-13呼 V11.67×√21.22 0.8858,则1r11<1r21<1, 所以利用膜型了=+建立了关于：的经险回归方程更合适 (2)由(1)得B= 4152 =-10,a=y-Bi=109.94+10× -82 0.21 0.16=11.54,则y关于x的经验回归方程为=11.54-10 （9)由已知，利润函数=2y-了=20(-）宁 2230.8- 四）曲基本不等式=2√网 当且仅当200之即x=20时等号成立，所以当温度为20℃时，2的 预期最大. 2.解：(1)由题意知，采用促销的精英店的数量为50×(0.12+0.02)×5= 35,采用促销的非精英店的数量为50-35=15：没有采用促销的精英 店的数量为50×(0.06+0.02)×5=20，没有采用促销的非精英店的数 量为50-20=30，列联表为 采用促销 没有采用促销 合计 精英店 35 20 55 非精英店 15 30 45 合计 50 50 100 因为X2三 100×(35×30-15×20)2 ≈9.09>6.635， 50×50×55×45 所以有99%的把握认为“精英店与采用促销活动有关”. (2)①由公式可得6216：-3a=7-6而=395.5+号x2413.5- 1200,所以经验回归方程为了=-3x2+1200. ②诺售价为，单件利润为：15，日销量为弓+120， 故日利润=（2+1200(x-15),=-(x+30)(x-40)=0,解得 =40当xe(0,40)时=（号+1200）(-15)单调递增：当xe (40,+)时，=（+120）(x-15)单调遠减放当售价x=40 元时，日利榈达到最大.最大为0元 黑白题48