专项突破5 概率中的决策问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

心专项突破5 概率中的决策问题 1.（全国高考)某学校组织“一带一路”知识竞 赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学 先在两类问题中选择一类并从中随机抽取 一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛 结束；若回答正确，则从另一类问题中再随 机抽取一个问题回答，无论回答正确与否， 该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回 答正确得20分，否则得0分；B类问题中的 每个问题回答正确得80分，否则得0分.已 知小明能正确回答A类问题的概率为0.8， 能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正 确回答问题的概率与回答次序无关 (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的 累计得分，求X的分布列： (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择 先回答哪类问题？并说明理由 2.（2024·山东德州高二期末)某物流公司专 营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近 500天内每天的可配送货物量，按照可配送 货物量T(单位：箱)分成了以下几组：[65， 75),[75,85),[85,95),[95,105),[105, 115),[115,125),[125,135],并绘制了如 图所示的频率分布直方图。 ↑频率/组距 0.033 883删 0.009 0.008 0.002 065758595105115125135T/箱 (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公 司每日的可配送货物量T(单位：箱)服 从T~N(u,σ2)的正态分布，经计算 近似为100，σ2近似为150. ①利用该正态分布，求P(87.8≤T≤ 124.4); ②试利用该正态分布，估计该物流公司 2000天内每日的可配送货物量在区间 (87.8,124.4)内的天数（结果保留整数）. (2)该物流公司负责人根据每日的可配送 货物量为装卸员工制定了两种不同的 工作奖励方案 方案一：利用该频率分布直方图获取相 关概率（将图中的频率视为概率），采用 直接发放奖金的方式奖励员工，按每日 的可配送货物量划分为三级：T<95时， 奖励50元；95≤T<115时，奖励80元； T≥115时，奖励120元；方案二：利用正 态分布获取相关概率，采用抽奖的方式 奖励员工，其中每日的可配送货物量不 进阶突破·专项练09 低于心时有两次抽奖机会，每日的可配 送货物量低于时只有一次抽奖机会， 每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 4 1 5 5 小张为该公司装卸货物的一名员工，试 从员工所得奖金的数学期望角度分析， 小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：√150≈12.2，若Z~N(u,σ2)，则P(u 0≤Z≤u+o）≈0.6827，P(u-2σ≤Z≤u+ 2o）≈0.9545. 10黑白题数学|选择性必修第三册·RJ 3.(2024·四川成都高三模拟)灯带是生活中 一种常见的装饰材料.已知某款灯带的安全 使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损 配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买 灯带时可以以零售价五折的价格购买备用 灯珠该灯带销售老板为了给某顾客节省装 饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯 带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数 据，数据如图所示.以这150条灯带在安全 使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替 1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该 顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记 X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换 的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的 同时购买的备用灯珠数量 忄更换灯珠数量/只 102030405060灯带/条 (1)求X的分布列； (2)若满足P(X≥n)≤0.6的n的最小值为 no,求no; (3)在灯带安全使用寿命期内，以购买替换 灯珠所需总费用的期望值为依据，在 (2)的条件下，比较n=n-1与n=n哪 种方案更优 4.(2024·重庆第八中学高二期中)小李下班 后驾车回家的路线有两条.路线1经过三个 红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是 3;路线2经过两个红绿灯路口，第一个路 口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红 灯的概率是子假设两条路线全程绿灯时的 驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否 遇到红灯相互独立， (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已 知小李在路上遇到了红灯的情况下，求 小李在第一个路口就遇到了红灯的 概率； (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就 会增加1min,为使小李下班后驾车回 家时长的累计增加时间（单位：min)的 期望最小，则小李应选择哪条路线？请 说明理由 5.（2024·江西九江高二期末)新高考数学试 卷增加了多项选择题，每小题有A,B,C,D 四个选项，原则上至少有2个正确选项，至 多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分.”其中“部分选对的得部分 分”是指：若正确答案有2个选项，则只选 1个选项且正确得3分；若正确答案有3个 选项，则只选1个选项且正确得2分，只选 2个选项且都正确得4分， (1)若某道多选题的正确答案是BD,一考 生在解答该题时，完全没有思路，随机 选择至少一个选项，至多三个选项，求 该考生得0分的概率； (2)若某道多选题的正确答案是ABD,一考 生在解答该题时，完全没有思路，随机 选择至少一个选项，至多三个选项，在 该考生此题已得正分的条件下，求该考 生得2分的概率； (3)若某道多选题的正确答案是2个选项 的概率是？，一考生只能判断出Λ选项 是正确的，其他选项均不能判断正误， 给出以下方案，请你以得分的数学期望 作为判断依据，帮该考生选出恰当 方案： 方案一：只选择A选项； 方案二：选择A选项的同时，再随机选 择一个选项； 方案三：选择A选项的同时，再随机选 择两个选项. 进阶突破·专项练11,各A解析：设x表示向前移动的次数，则X-B(,子)） 若行走6步回到原点，则向前、后各移动3次，所以回到原点的概率 Px-0=*(传）-）广-总 因为机器人走完设定的步后所在位置对应数为随机变量Xn,X表 示向前移动的次数，则n-X表示向后移动的次数，则X,=X-(n- 0=2-(宁）则D0=g1-p=宁分号所 以D(X)=D(2X-n)=2x0()=4x号=m放答案为 16n CC2 5.解：(1)由题意知，甲恰好正确完成2个程序的概率为P1= 乙检好正确完设2个器序的：率为月=G(仔)× 3 (3)' (2)x的可能取值为12,3，则P(X=1)=C4C3_1 Cg=5P(X=2)= CC 3 Cg5;P(X=3)= 8c81 所以(0=1x写2x3+3x写-2.00=(1-2x写+(2-2)2× +-23x写-号 x55 易知Y-B,号)），所以B(n=3x号=2.D0(n=3x子x写号 因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以甲与乙编写程序正确的平均水平相当，但甲比乙更稳定，所以选 择甲 6.解：(1)由题意知，专服从超几何分布，可能的取值有0,1,2,3,4， c%2P(5=1)=cC5 所以P(6=0)=c3C91 C%27,P(5=2)=c3C C30 2i,P(5=3)= 1 CC 5 C6c41 Cio 21,P(5=4) Ci042 所以专的分布列为 专01234 151051 4221212142 10 5 1 所以E()=0x 21 +3× 422 (2)记确定所有潜在用户所需要的联系次数为X, 则P(X=4)= C41 i210,P(X=5)= C612 C06=105,P(K=6)= C8C哈1，C%11 c%c210 所以小刘6次内即可确定所有潜在用户的概率为。+之8 210105210105 7.解：(1)由题意知，X的所有可能值为0,1,2,3， 则P(X=0)=0.2(1-p)2=0.2p2-0.4p+0.2, P(X=1)=0.8×(1-p)2+0.2×C2×px(1-p)=0.8(1-p)2+0.4p(1-p)= 0.4p2-1.2p+0.8, P(X=2)=0.2p2+0.8×C2×p×(1-p)=0.2p2+1.6p(1-p)=-1.4p2+1.6p, P(X=3)=0.8p2. 参考答案 由此得X的分布列为 0 1 2 3 P0.2p2-0.4p+0.20.4p2-1.2p+0.8-1.4p2+1.6p0.8p2 所以E(X)=1×(0.4p2-1.2p+0.8)+2×(-1.4p2+1.6p)+3×0.8p2=2p 0.8. (2)根据0.7≤p≤0.9，由(1)知当p=0.9时，E(X)取得最大值 ①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9+0.1×0.75×0.8=0.96. ②记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润， 则Y~B(n,0.96),所以E(Y)=0.96n,所以M(n)=300Y-50(n-Y)= 350Y-50n,故E(M(n))=350E(Y)-50n=286n.要使E(M(n))≥ 2060,则有≥6铝，所以该农户应至少引种70模日种时直 专项突破5概率中的决策问题 1.解：(1)由题可知，X的所有可能取值为0,20,100 P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)= 0.8×0.6=0.48. 所以X的分布列为 X020100 P0.20.320.48 (2)由(1)知，E(X)=0×0.2+20×0.32+100x0.48=54.4. 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取 值为0,80,100. 所以P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y= 100)=0.8×0.6=0.48,所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6. 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题. 2.解：(1)①由题意得，T~N(100,150),其中4=100,0=√150≈12.2， 所以P(87.8≤T≤124.4)=P(100-12.2≤T≤100+2×12.2)≈ 0.6827+0.9545=0.8186. 2 ②该物流公司2000天内每日的可配送货物量在区间(87.8,124.4) 内的天数为2000×0.8186=1637.2≈1637（天）. (2)易知P(TK小=P(T)=宁 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为 50,80,120,其对应的概率分别为0.33,0.57,0.10，故E(X)=50× 0.33+80×0.57+120×0.10=74.1. 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值 为50,100,150,200， 放P=0=号-号P=1m)日5宁g号别 :1x4-2 P=150=2x分×兮×号若Pya0)=分写*写0所 1144 21 4 1 以E(Y)=50×2+100×50+150×25+200×50=90 因为E(Y)>E(X),所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更 有利 3.解：(1)设专表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，则 P(=5)=P(5=7)=P(=8)=0.2,P(=6)=0.4,X的取值范围是 {10,11,12,13,14,15,16}, P(X=10)=0.2×0.2=0.04,P(X=11)=2×0.2×0.4=0.16,P(X=12)= 0.42+2×0.2×0.2=0.24,P(X=13)=2×(0.2×0.2+0.2×0.4)=0.24, P(X=14)=0.22+2×0.4×0.2=0.2,P(X=15)=2×0.2×0.2=0.08, 黑白题45 P(X=16)=0.2×0.2=0.04 所以X的分布列为 X 10 11 12 13 14 15 16 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)可知P(X≥12)=0.8，P(X≥13)=0.56，故n0=13. (3)由(2)可知n=no-1=12. 在灯带安全使用寿命期内，当=12时，设购买替换灯珠所需总费用 为u元，当n=13时，设购买替换灯珠所需总费用为"元，则 E(u)=24+0.24×4+0.2×8+0.08×12+0.04×16=28.16,E(v)=26+0.2× 4+0.08×8+0.04×12=27.92. E(v)<E(u),故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，n=no 比n=no-1的方案更优. 4.解：(1)记小李在路上遇到红灯为事件A,小李在第一个路口遇到红 灯为事件B, P(AB)=1 子，则小李在路上渴到了红灯的情况下，小李在第一个路口 P(A) 就遇到了红灯的概率为 5 (2)设路线1累计塔加时间的随机变量为y,则？-B(3,)),所 1 以E(Y,)=3×3=1.设路线2第i个路口遇到红灯为事件A(i= 1,2),则P(4)=子，P(4)=子，设路线2累计端加时间的随机变 量为Y2,则Y2的所有可能取值为0,1,2，则P(Y2=0)=P(A1)· P)=宁x时石，P=1)=P(a+P4雨)×号+ 111 P=2=P4)=×号-所以8)=0 17 因为E(Y1)<E(Y2),所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加 时间的期望最小，小李应选择路线1. 5.解：(1)设事件A1表示“某题的答案是BD,该考生得0分”，则A1= 3 11 {B,D,BD},所以P(A)=1-P(A)=1 C4+C2+C214 (2)设事件A2表示“某题的答案是ABD,该考生得正分”，则A2=A, 7 B,D,AB,AD,BD,ABD|,所以P(A2)= 4+C+C2' 设事件A3表示“某题的答案是ABD,该考生得2分”，则A3={A,B, 3 3 D,所以P(4,)C+心哈+04，所以在该考生此题已得正分的条 件下，该考生得2分的概率为P(A3lA2)= P(A2A3)P(A3)3 P(A2)P(A2)7 (3)设方案一、二、三的得分分别为X,Y,2, 方案-：江的所有可能取值为2,3，P(X=2)=号，P(X=3)=号，所 2 以X的分布列为 选择性必修第三册·RJ 3 3 2 17 则E(X)=2× 3+3x3=3 1221 方案二：Y的所有可能取值为0,4,6，P(Y=0)=3×行+行×3 (-子号-号P-60)×，所以的分有 2x2=4 -× 列为 Y046 41 999 则E(Y=0x 4 9+4x 4. .122 9+6x9=9i 方案三：Z的所有可能取值为0,6，P(Z=0)= 2x2+1x1= 7 3x3+3 9 21 2 P(Z=6)=3x3 ,所以Z的分布列为 = Z06 7 2 99 7 .24 则E(Z)=0xg+6x9=3 因为E(Y)>E(X)>E(Z),所以以得分的数学期望作为判断依据，选 择方案二更恰当。 专项突破6概率与不等式、数列、导数的综合应用 1.解：(1)设每组需要检验的次数为X,若混合血样呈阴性，则X=1,若 混合血样呈阳性，则X=21,所以P(X=1)=(1-0.002)20,P(X= 21)=1-(1-0.002)20,所以E(X)=1×(1-0.002)20+21×[1- (1-0.002)20]=21-20×(1-0.002)20≈21-20×(1-20×0.002)=1.8， 一共有3000÷20=150（组），故估计该小区化验的总次数是1.8× 150=270(次). (2)设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性，则Y=n+9, 若混合血样呈阳性，则Y=11n+9,故P(Y=n+9)=(1-0.009)",P(Y= 11n+9)=1-(1-0.009)n, E(Y)=(n+9)·0.991"+(11n+9)·(1-0.991n)=11n-10n×0.991"+ 9,每位居民的化验费用为()-11n-10mx0.91+9-11-10× 0.991°+9≈1-10×(1-0.009n)+9=11-10+0.09n+9≥1+ n n 2009n·9=2.8(元)，当且仅当0.09n=9,即n=10时取等号， 故n=10时，每名居民化验的平均费用最少. 2.解：(1)记X为系统中可以正常工作的喷淋装置的个数 3} 由题意知X~B(3,年)，所以该仓库灭火装置正常工作的个数的均 值为(0=3x?,方差(X0=3x×1-子）名 ,39 (2)记事件A为“该仓库灭火系统需要维修”，则P(A)=P(X=0)+ pwc()广c✉（任）八（广40品 黑白题46