专项突破6 概率与不等式、数列、导数的综合应用-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019)

心专项突破6 概率与不等式、数列、导数的综合应用 题组口概率与不等式的综合应用 (3)为提高灭火系统正常工作的概率，在仓 1.(2024·四川成都高三月考)某小区有 库内增加两套功能完全一样的其他品 3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝 牌的喷淋装置，每套新喷淋装置正常工 病毒携带者，假设携带病毒的人占α%.为减 作的概率为p(0<p<1),且新增喷淋装 轻工作量，随机地按n人一组分组，然后将 置后有超过一半的喷淋装置能正常工 各组n个人的血样混合在一起化验.若混合 作，则灭火系统可以正常工作问：p满 血样呈阴性，说明这n个人全部阴性：若混 足什么条件时可以提高整个灭火系统 合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样 的正常工作概率？ 呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次 (1)若a=0.2,n=20,试估算该小区化验的 总次数； (2)若a=0.9,且每人单独化验一次花费 10元，n人混合化验一次花费(n+9) 元，求当n为何值时，每名居民化验的 平均费用最少 题组已概率与数列的综合应用 注：假设每名居民的化验结果呈阴性还是阳 3.(2024·河南郑州高二期中)“布朗运动”是 性相互独立.当0<p<0.01时，（1-p)≈ 指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的 永不停息的无规则运动.在如图所示的试验 1-np. 容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗 运动时每次会从所在仓的通道口中随机选 择一个到达相邻仓，且粒子经过n次随机选 择后到达2号仓的概率为P,.已知该粒子的 初始位置在2号仓 2.(2024·广西南宁高三月考)为防范火灾， 对某仓库的灭火系统的3套喷淋装置进行 ()证明数列{P.4}是等比数列，并求数 检查，发现各套装置能正常工作的概率为 列{P}的通项公式； ?,且每套喷淋装置能否正常工作是相互独 (2)粒子经过4次随机选择后，记粒子在 1号仓出现的次数为X,求X的分布列 立的若有超过一半的喷淋装置正常工作， 与数学期望， 则该仓库的灭火系统能正常工作，否则就需 要维修。 (1)求该仓库灭火装置正常工作的个数的 均值与方差 (2)求系统需要维修的概率 12黑白题数学1选择性必修第三册·RJ 4.(2024·江西新余高三二模)近年来，某大5.(2024·浙江台州高二期中)某商场拟在周 学为响应国家号召，大力推行全民健身运 年店庆进行促销活动，对一次性消费超过 动，向全校学生开放了A,B两个健身中心， 200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券” 要求全校学生每周都必须利用课外时间去 的游戏，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷 健身中心进行适当的体育锻炼。 枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过 (1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A,B 4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮 两个健身中心中选择其中一个进行健 游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得 身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健 到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏 身的展率分别为2子求这三人中 结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮 游戏 这一周恰好有一人选择A健身中心健 (1)当进行完3轮游戏时，总分为X,求X的 身的概率 分布列和数学期望； (2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进 (2)若累计得分为i的概率为p.(i=1,2,…, 行体育锻炼，且这两天中每天只选择两 9),初始分数为0分，记Po=1. 个健身中心的其中一个，其中周六选择 (1)证明：数列{p:-P-1}(i=1,2,…, A健身中心的概率为号若了周六选拼 9)是等比数列： (ⅱ)求活动参与者得到纪念品的概率 A健身中心，则周日仍选择A健身中心 的概率为了若周六选择B健身中心， 则周日选择A健身中心的概率为？求 丁周日选择B健身中心健身的概率， (3)现用健身指数k(k∈[0,10])来衡量各 学生在一个月的健身运动后的健身效 果，并规定k值低于1分的学生为健身 效果不佳的学生，经统计发现从全校学 生中随机抽取一人，其k值低于1分的 概率为p(0<印<1).现从全校学生中随机 抽取一人，若抽取到的学生不是健身效 果不佳的学生，则继续抽取下一个，直 至抽取到一位健身效果不佳的学生为 止，但抽取的总次数不超过n(n足够 大)，求抽取次数X的分布列和数学 期望. 进阶突破·专项练13 题组目概率与导数的综合应用 7.(2024·山东泰安高二期末)第十四届全国 6.某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管 冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月 理等因素影响.农民按照药材色泽、大小等 17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这 将药材分为上等药材、中等药材、普通药材， 是历届全国冬运会中规模最大、项目最多 并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其 标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承 中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普 办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛 通药材 会，内蒙古某大学组织大学生举办了一场主 (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱， 题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会 设X为上等药材的箱数，求X的分布列 知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场 和数学期望， 选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过 (2)已知每箱药材的利润如表： 后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院 上等 中等 普通 参加该大学的冬运会知识竞赛， 等级 药材 药材 药材 (1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参 赛大学生最多有7次答题机会，累计答 利润/（元/箱） 4000 2000 -1200 对4道题或答错4道题即终止比赛，答 今年市场需求增加，某农户计划增加产 对4道题则进入决赛，答错4道题则被 量，且生产的上等药材、中等药材、普通 淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率 药材所占比例不变，但需要的人力成本 增加，每增加m箱，成本相应增加 均为)，且回答各题的结果相互独立 (1000m-2000nm)元，假设你为该农 (i)求甲至多回答了5道题就进入决 户决策，你觉得目前应不应该增加产 赛的概率； 量？如果应该增加产量，增加多少箱最 (ⅱ)设甲在初赛中答题的道数为X,求 好？如果不应该增加产量，请说明理由， X的分布列和数学期望 (2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少 于2道，则胜出，代表学院参加学校比 赛：否则被淘汰.已知大学生乙进入了决 赛，他在决赛中前2道题答对的概率相 等，均为x(0<x<1),3道题全答对的概 率为？，且回答各题的结果相互独立，设 他能参加学校比赛的概率为f(x),求 f代x)的最小值 14黑白题数学1选择性必修第三册·RJP(X=16)=0.2×0.2=0.04 所以X的分布列为 10 11 12 13 14 16 3 17 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 则E(X)=2× 2+3 3 3=3 (2)由(1)可知P(X≥12)=0.8.P(X≥13)=0.56.放no=13. 2.21 方案二：Y的所有可能取值为0,4,6，P(Y=0)=3×亏+方×了 (3)由(2)可知n=n。-1=12 4 2.2 4 在灯带安全使用寿命期内.当n=12时，设购买营换灯珠所需总贤用 PY=4)= 33 6一×一=一，所人的分子五 为u元，当n=13时，设购买替换灯床所需总费用为：元，则 列为 E(m)=24+0.24×4+0.2×8+0.08×12+0.04×16=28.16.E(r)=26+0.2× 046 440.08×8+0.04×12=27.92. E()<E(u》.故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，n=。 999 比N=o-I的方案更优 4 4 122 则E(Y)=0× +4× 9 9+6x 991 4.解：(1)记小李在路上遇到红灯为事件A,小李在第一个路口遇到红 方案三：Z的所有可能取值为0,6.P(2=0)= 7 灯为事件B. 3+3×1= 9 P(AB)=7,P(A)=1-P(A)=1- =5 ,则P(B1A)= 2 236 P(Z=6)= 3*3 ,所以Z的分布列为 P八B》。,则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口 P(A)5 就遇到了红灯的概率为 5 7 24 (2)设路线1累计增加时间的随机变量为y,则~B(3,了)，所 则E(2=0xg+6xg=3 因为E(Y)>E(X)>EZ),所以以得分的数学期望作为判断依据，选 以5()=3x写=1设路线2第：个路口遇到红灯为事件4： 择方案二更恰当 1.2).则P八4，=子，代)-子，设路线2累计增加时间的随机变 专项突破6概率与不等式、数列、导数的综合应用 量为Y2,则Y2的所有可能取值为0,1,2，则P(Y2=0)=P(A1)· 1.解：(1)设每组需要检验的次数为X,若混合血样是阴性，则X=1,若 12 混合血样呈阳性，则X=21,所以P(X=1)=(1-0.002)0,P(X= P()=2×36,P(=1)=P(A4)+P(A)▣2×3 21)=1-(1-0.002)0,所以E(X)=1×(1-0.002)0+21×[1- 行7P5=2)=4,4=宁×号=分，所以3)=0胶 111 12 （1-0.002)01=21-20×(1-0.002)D=21-20×(1-20×0.002)=1.8. 一共有3000÷20=150（组），故估计该小区化验的总次数是L.8× 1 .17 150=270(次). 61×2+2x6 (2)设每组n人总费用为了元.若混合血样是阴性，则Y=n+9 因为E(Y,)<E(Y,),所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加 若混合血样呈阳性，则Y=11n+9,故P(Y=n+9)=(1-0.009),P(Y= 时间的期望最小，小李应选择路线1， 11n+9)=1-(1-0.009)° 5.解：(1)设事件A,表示“某题的答案是BD.该考生得0分”，则A1= E(=(n+9)·0.991+(11n+9)·(1-0.991n)=11n-10m×0.991"+ 311 |B,D,BD,所以P(A,)=1-P(A)=1- 9,每位居民的化验费用为(2.11m-10m×0.991+9 =11-10× C+C4+C14 (2)设事件A2表示“某题的答案是ABD,该考生得正分”，则A2=A, 0991*+9 1-10x1-a09)+g=1-10400+ -1+ 7 B,D,AB,AD,BD,ABD1,所以P(A2)= Cl+C+C2 2/a09m.9 =28(元)，当且仅当009m=9,即n=10时取等号. 设事件A3表示“某题的答案是ABD,该考生得2分”，则A3=A,B, 故n=10时，每名居民化验的平均费用最少. +C好+C,所以在该考生此题已得正分的条 3 3 D川，所以P(A)= 2,解：(1)记X为系统中可以正常工作的黄淋装置的个数 31 P(A2A3)P(A3)3 由题意知X-B(3,),所以该仓库灭火装置正常工作的个数的均 件下，该考生得2分的概率为P(A,IA:)= P(A)P(A2)7 39 值为E(X)=3× (3)设方案一、二，三的得分分别为X,Y,2, 2 1 (2)记事件A为“该仓库灭火系统需要维修”，则P(A)=P(X=0)+ 方案一：X的所有可能取值为2,3，P(X=2)= P(X=3)=3,所 以X的分布列为 e--广e(2)-)广aa 选择性必修第三册·RJ黑白题46 所以系统需要推修的高率为品 (2)记事件C为“丁周六选择A健身中心，事件D“丁周日选择B健 (3)记事件B为“该仓库灭火系统能正常工作”，设X为系统中可 身中心则PrG=子，P(G=号PD1C)=1号号r(D 以正常工作的喷淋装置的个数 O=1子由全概率公式得代D)=代GrDC)+rCP(DI 由题意可知，P(X=3)=C写× 广8x() G=号号宁片-品放T调日选释B健身中心健身的照水 (-）c+Gx(任）广x(）广cm 为 6 6432 64 (3)已知从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳 的学生的概常为p,则X的可能取值为=1,2,3，…，，P(X=1)=P, x=4=cx(）广·c1-p+cx()广x1-) P(X=2)=(1-p)p,…P(X=k)=(1-p)-p(k=1,2,3,,n-1), P(X=n)=(1-p)-l, 所以X的分布列为 则P(B)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=- 32 X12 3 … n-1 Pp(1-p)p(1-p)2p…(1-p)r2r(1-p)-1 27 故E(X)=p+(1-p)p×2+(1-p)2px3+…+(I-p)-2p×(n-1)+ 由(2)可知，灭火系统原来可以正常工作的概率为1-P(A)=1- (1-p)-1xn. 527 又(1-p)E(X)=(1-p)p+(1-p)p×2+(1-p)'px3++(1-p)-p× 32321 (n-1)+(1-p)"×n, 若新增两个喷淋装置后整个系统的正常工作概率提高了，则有不等 两式相减，得pE(X)=p+(1-p)p+(1-p)2p+…+(1-p)2p+ 式品品贸立制3 2< 2,而0<p<1. (1-p)p, 所以E(X)=1+(1-p)+(1-p)2+…+(1-p)2+(1-p)-1= 综上，一1时，可以提高整个天大系能的正省工作家 1-(1-p)"1-(1-p)" 1-(1-p) 3.解：(1)记粒子经过n次随机选择后到达1号仓的概率为A.,粒子经 5.(1)解：由题意得，每轮游戏铁得1分的概率为号，我得2分的餐率 过n次随机选择后到达3号仓的概率为B。,所以 P+A.+B。=1, 为了，所以随机变量X可能取值为3,45,6， g得P1=3(1-P,),所以P14 可得P(x=3)=(号广=P(x=4)=xx(号）广号 号(P）即{P}是公比为的等比数列又A,=0, 寸(（号）广（尸 所以X的分布列为 (2)结合题意易得X可取0，L,2, 45 x=0)=2×3×2×3=36,P(X==2 (对 279927 4 所以数学期望E(X)=3x74x】 2 +5x +6x274 ×2×34,PX=2)=1-P(X=0)-P(X=1 21119 67 (2)(1)证明：i=1,即累计得分为1分.是第1次掷般子，向上点数 所以X的 108 2 分布列为 不超过4点的概串=弓，则m%三3累计得：分的情况有 01 2 两种： ①=(i-2)+2,即前一轮累计得(i-2)分，又掷骰子点数超过4点得 11967 3654108 2分，其概常为宁 所以E(X)=0x ②i=(i-1)+1,即前一轮累计得(-1)分，又掷骰子点数不超过4点 4.解：(1)由题意得，这三人中这一周恰好有一人选择A键身中心健身 得1分，其餐米为号1所以n=e+号4(=23.-，9).所 的概*为P×(-4）小x(-子)（子）好×( 以p1=子（a(=2.3,9).所以数列g( 小(）(4）是 1,2…,9)是首项为-号公比为-号的等比数列 参考答案黑白题47 （)解：因为数列Pp-是首项为-了，公比为-号的等比数列， 所以)=+(1-y)+x(1-xr=-2y+r2+2g=2+-】 4r4 所以n4-(气号)所以w=子内-A=(号） 18xr3-1_(2x-1)(4r2+2x+1) 又因为0<<1，所以了'(=24家4 4x2 -(号)，各式咖得以%-（号）广门所以 所以当0<时()<0:当}1时'()>0， 所以)在(0，)上单调递减，在（行，1）上单湖适罐，所以 所以活动参与者得到纪念品的概率为P=了=号×[+ ()门（月 专项突破7 统计中的最值问题 6.解：(1)X的可能取值为0.1,2. 1.解：(1)由题意得，1= 多 139判 P(X=0)= g4P(X=1)= -,PX=2= CC哈3 √11.67×√21.22 所以X的分布列为 058.则lr<ir3<l. 01 2 所以利用模型y=+ 4建立y关于x的经验回归方程更合适 3 14714 (2)由(1)得B= =-10.c=下-Bi=109.94+10× 0.21 3 4 3 (0=0x4+1×7+2x4 -8 (2)按原计划生产药材每箱平均利弱为×400+ *2000+ Q16=11.54,则y关于x的经验回归方程为=11,5410 (-1200)=900(元)，则增加m箱药材.利洞增加900m元.成本相应 （6)由已知，利到两数：=20-子=如(154-0）子 增加(1(000m-2000lnm)元.所以增加净利润为900m-1000m+ 2230.8- 2000lnm=2000lnm-100m(m∈N).设f八x)=2000lnx-100x(x≥1 且xN).则f')=200-10m.当1≤r<20时.f“(>0:当20 当组仅当”子，母=20时等号成立.所以当度为0℃时：的 预期最大 时f'(x)<0,且20)>0，所以函数f八x)在[1,20)上单调递增，在 2.解：(1)由题意知，采用促销的精英店的数量为50×(0.12+0.02)×5= (20,+x)上单调递诚，所以当x=20时，(x)收得最大值，所以应该 35,采用促销的非精英店的数量为50-35=15：没有采用促销的精英 增加产量，增加20箱最好 店的数量为50×(0.06+0.02)×5=20.没有采用促销的非精英店的数 1解：(1)（由题可科，甲回答了4道题进入决完的概率为（行）广 量为50-20=30，列联表为 采用促销没有采用促销 合计 6甲回答了5道题进入决赛的概率为C×分）×，×了所 。111 精英店 35 20 55 非精英店 15 30 5 以甲至多回答了5道题就进入决赛的概率为 113 6816 合计 50 50 100 (i)由题可知，X的可能取值为4.5,6,7. 因为X2= 100×(35×30-15×20)2 =9.09>6.635 50×50×55×45 则P(X=4)=2× 所以有99%的把握认为“精英店与采用促销活动有关”. ,P(X=7)=C2 、(2)0油公式可得66=-子，6=-b而=39554,2135= (分6 120.所以经验间自方程为宁2+120 所以X的分布列为 ②若售价为x,单件利润为x15,日销量为产-了2+1200. 67 故日利润：=气2+1200x15)=-(+30)(x-40)=0,解得 5 841616 =40当xe(0,0)时=（24120小15)单递：当e 则E(X)=4× 6* 593 1616 (40,+)时.（子24120）=15）单周递放当售价=40 (2)设乙答对第3道题的概率为，则y产号 1 元时，日利润达到最大，最大为5000 3元 选择性必修第三册，RJ黑白题48