专项突破1 计数原理与概率的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

心专项突破1 计数原理与概率的 1.（2024·山东烟台高二月考)我国数学家陈 景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界 领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如4= 2+2,6=3+3,8=3+5,…,在不超过30的素 数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是 1 2 A.45 B. 45 1 C.15 D.45 2.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳 动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数 法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子 (用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制 成)以不同的排列方式来表示数字，如图所 示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的 两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和 十位上的算筹一样多的概率为 () 纵式：I!WⅧTTT而 桃了号胃片吉诗 1 11 A.9 B. 81 81 0.9 3.(2024·山东滨州高二月考)某人翻开电话 本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号 码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决 定随机拨号进行尝试，那么该人尝试两次但 都拨不对电话号码的概率为 () 81 B. 8 A. 100 5 4 C. D. 5 综合应用 题课 4.（2024·河南郑州高三月考)某地博物馆所 展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中， 马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，若从图中每行 任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至 少有1个属于六畜的概率为 )》 ￥ 光 免 p 谿 寸 猴 29 29 7 A.110 B 3-4 32 D. 5.(2024·重庆沙坪坝区高二期末)班长准备 对本班元旦晚会的7个表演节目进行演出 排序，则节目甲与乙中间恰好间隔2个节目 的概率为 () 20 A.21 6. 4 2 0.21 D 6.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于 一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲 从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行 走路线中不连续向上攀登的概率为（) B 5 A. 28 B C. D. 14 9 2 进阶突破·专项练0例 7.（2024·江西景德镇高三三模)六位爸爸站 在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋 友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸 爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿 园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通 过插队就能接到自己家的小朋友的概率为 ( 、1 、1 36 c D成 8.（多选)(2024·黑龙江哈尔滨高二月考)现 有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张 有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、 丙、丁4人，则 ()》 A.2张有奖券分给同一个人的概率是 B.2张有奖券分给不同的人的概率是 1 C.2张有奖券都没有分给甲和乙的概率 为品 D.2张有奖券分给甲和乙各一张的概率 蝎 9.（2024·广西南宁高三月考)寒假里5名同 学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人 一座，恰在同一排A,B,C,D,E五个座位 (一排共五个座位)，上车后5人在这五个 座位上随意坐，共有 种不同的坐 法，其中恰有一人坐对与自己车票相符座位 的概率为 .（用数字作答) 10.(2024·山东威海高二月考)50张彩票中 只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使 这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于 0.5,n至少为 02黑白题数学|选择性必修第三册·RJ 11.(2023·山西吕梁高三二模)现有小赵、小 钱、小孙、小李、小刘5人去北京、上海、广 州三地参加研讨会，每人只能去一个城市， 每个城市至少去一人，则小赵不去北京的 概率为 12.(2024·四川成都高二期中)为激发同学 们对校园的热爱、对艺术的追求，学校某学 生社团举办了“校园一隅”自然景观摄影 比赛经过初赛的激烈角逐，有3名女生和 2名男生的摄影作品（每人一件）闯入决 赛决赛采用抽签的方式决定顺序，由5名 选手依次对自己的摄影作品进行创作陈 述，最终评出特等奖2件（事先假定每件作 品获奖的可能性相同)。 (1)求至少有1名男生的摄影作品最终获 得特等奖的概率； (2)求决赛时，恰好有2名女生相邻进行 创作陈述的概率； (3)若当2名男生都陈述结束时，还有k名 女生没有陈述的概率为0.2，求k.进阶突破·专 专项突破1计数原理与概率的综合应用 1.C解析：设“在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等 于30”为事件A,不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29， 共10个，随机选取两个不同的数共有C=45(种)，其中和等于30 的有7+23,1+19,3+17，共3种情况，所以P(A-=5故选C 2.C解析：用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十 位用横式，共可以摆出9×9=81（个）两位数，其中个位和十位上的算 筹都为1的有1×1=1（种），个位和十位上的算筹都为2的有2×2= 4(种)，个位和十位上的算筹都为3的有2×2=4（种），个位和十位上 的算筹都为4的有2×2=4（种），个位和十位上的算筹都为5的 有2×2=4（种），共有4×4+1=17（种），所以个位和十位上的算筹 样多的既率为8品故选C 3.C解析：记“该人尝试两次但都拨不对电话号码”为事件A,则 P(A)二AO 4 冬，则该人尝试两次但都拔不对电话号码的概率 故选C. 4.C解析：若第三行选择猴，则前两行至少要选1个六畜中的生肖，则 有CC4+CC2=10(种)选法；若第三行不选择猴，则有CC4C4= 48(种)选法，放所求概率为CCC=罗放选C. 5.B解析：根据题意，先从除甲乙外的5个节目中选2个节目放在甲 乙之间，看成一个整体，再将这个整体和剩余的3个节目，进行全排 列，共有C?AA3A4=960(种)，所以节目甲与乙中间恰好间隔2个节 目的概率P=960.4 A2放选B. 6.B解析：从A处的方向看，行走方向有三个：左、前、上从A到B的 最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次所以 从A到B的最近的行走线路，总的方法有CCC=560(种).不连续 向上攀登的安排方法是先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进 行插空.故方法有CCC哈=200（种）.所以最近的行走路线中不连续 向上攀登的概率为P一测子放选B 7.B解析：不妨假设六位小朋友已经站好了位置，不同站位方法 为A?=720(种)，小孩找到各自的爸爸，则其为定序问题，爸爸的不 同站位方法为 A8A =20(种)，所以爸爸们不需要插队的概率P= AA 201 72036故选B. 8.BD解析：对于A选项，将10张没有奖的奖券按照1,3,3,3分成三 组，不同的分法种数为C品·CC·C,然后分配给4个人的分法 A 为A4,所以2张有奖券分给同一个人的概率是 C3o·C·C·C ·A4 C品·CCg·C斤，故A选项错误；对于B选项，由A可 A 2 得，2聚有奖券分给不同的人的概率是1子品，放B选项正确；对 于C选项和D选项，由A可知，2张有奖券都分给丙或丁的概率 是2x。·C.c·C.1 Xc2·C3·C·C2张有奖券给丙和丁-人一张时，将10 张没有奖的奖券按照2,2,3,3分成四组，不同的分法种数为 C。·C号·C子·C,然后分配给4个人的分法为A号·A号，所以2张有 A3·A2 奖券1张分给丙、1张分给丁的概率是 C3o·C号·C4·C A3·A3 2·A好·A经·A好 C32·C3·C2·C3 22,同理，2张有奖券分给甲和乙 选择性必修第三册·RJ 项练参考答案 3 各一张的概率为2，所以2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为 +2=故C选项错误，D选项正确故选BD。 3 9.120 8 :解析：由题意可知，上车后5人在这五个座位上随意坐，坐 法种数为A?=120(种)：假设A坐对自己的位置，其他4人没有坐对 与自己车票相符座位所包含的基本事件有：CBED,CEBD,CDEB, DBEC,DEBC,DECB,EBCD,EDBC,EDCB,共9种，因此，恰有一人坐 对与自己车票相符座位的概率P=】 。故酱米为120号 3 10.15解析：50张彩票中任取n张的方法有C,种，至少有一张中奖的 情况有(CC1+CCs2)种，若这n张彩票里至少有一张中奖的概 481 率大于0.5，则P= CC1C3Ca62、。 >0.55(n-D1(49-n)1+ C0 +C50 50! n!(50-n)！ 48! 200,宁所以20,0书，解得≥15 50！ 50×49 n！(50-n)！ 故答案为15. 1.子解折：①若三地分配人数分别为1,13时，共有6，A A 60(种)安排方法：其中小赵去北京的安排方法有C4A好+CA3 20(种)：②若三地分配人数分别为12,2时，共有6.A A子 90(种)安排方法；其中小赵去北京的安排方法有C?+CCA好= 30(种)放小赵不去北京的概率为1208子放管案为号 12.解：(1)设事件A:“2名女生的摄影作品最终获得特等奖”.则P )《。03,因为事件A的对立事件A为”至少有1名男生 的摄影作品最终获得特等奖”，则P(A)=1-P(A)=1-0.3=0.7,所 以至少有1名男生的摄影作品最终获得特等奖的概率为0.7. (2)设事件2：“5名同学依次进行创作陈述”，则n(2)=Aξ=120. 设事件C:“恰好有2名女生相邻进行创作陈述”，则n(C)= AA2A号=6×2×6=72. 所以决赛时，恰好有2名女生相邻进行创作陈述的概率P(C)= 72 1200.6 (3)设事件D:“在2名男生都陈述结束时，还有k名(k=0,1,2,3) 女生没有陈述”.则n(D)=C4kAA号=(4-k)×2×6=12(4-k).由已 知2(4二=0.2，解得k=2,所以k的值为2 120 专项突破2多项式和多个二项式乘积 的展开式问题 1.A解析：由题意，在(x-y)(x+y)5的展开式中，其中x2y项为x· Cx·y+(-y)·C3x2·y3=-5x2y4,所以x2y4项的系数为-5.故 选A. 2.A解析：设(3-x)(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x5, 令x=1可得ao+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0;令x=-1可得a0-a1+a2 +a4-a5+a6=128,所以a1+a3+a5=0)28与 2=-64,即在(3-x)(1-x)5 展开式中，x的奇数次幂的项的系数和为-64故选A. 3.C解析：显然(x-1)4=x4-4x3+6x2-4x+1,在(2x+1)(x-1)4的展开 式中，a1=2×1+1×(-4)=-2,a4=2×(-4)+1×1=-7,所以a1+a4= -9.故选C. 4.A解析：(x+y)5的展开式的通项为1=Cx少，因为 黑白题42