第8章 专题探究4 数学文化与探究创新-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

专题探究4数学 黑题 专题强化 1.(2024·湖北武汉高二期末)柯西分布是一个 数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变 量X服从柯西分布为X~C(y,x),其中当y= 1,x。=0时的特例称为标准柯西分布，其概率 密度函数为f代x)= 1 π(1+x2) 已知X~C(1,0), P1≤)-P停X≤1)-期 P(IX1≤1)= ( A君 2.(多选)(2024·江苏泰州高二月考)对任意正 整数n,定义n的双阶乘n!:当n为偶数时， n!！=n×(n-2)×(n-4)×…×6×4×2;当n为 奇数时，nl！=nx(n-2)×(n-4)×…×5×3×1, 则下列四个命题中正确的是 ( A.2091!×2081！=209！ B.208!！=2×104！ C.208!！的个位数字为0 D.209！的个位数字为5 3.(2024·重庆沙坪坝区高三月考)记f(x)为 函数f(x)的n阶导函数，f'(x)=f(x)且有 f(x)=[f-)(x)]'(neN),若f(x)存 在，则称f(x)n阶可导.英国数学家泰勒发现： 若f(x)在xo附近n+1阶可导，则可构造 T()=)+(x-丿+6) 2！ ()24() (x-xo)”(称为n次泰勒 n! 多项式)来逼近f(x)在x,附近的函数值，例 如：f(x)=e*在x=0处的3次泰勒多项式为 7,(x)=f0)+'(0)(x-0)+f2(0)(x-0)2 1! 21 选择性必修第三册·RJ 文化与探究创新 限时：25min f00-则)在 3! x0=-1处的5次泰勒多项式中x3的系 数为 4.现有n张形状相同的卡片，上而分别写有 数m+1,m+2,…,m+n(m∈N,n∈N*),将这 n张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡 片，记录卡片上的数后放回，现在甲同学随机 抽取4次. (1)若n=8,求抽到的4个数互不相同的概率. (2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总 体的期望.定义E(X)为随机变量X的 k阶矩，其中1阶矩就是X的期望E(X), 利用飞阶矩进行估计的方法称为矩估计. (ⅰ)记每次抽到的数为随机变量X,计算 随机变量X的1阶矩E(X)和2阶矩 E(X2);参考公式：12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)y 6 (ⅱ)已知甲同学抽到的卡片上的4个数 分别为3,8,9,12，试利用这组样本并结合 (i)中的结果来计算n的估计值n.(的 计算结果通过四舍五入取整数) 频讲解 黑白题72 全书综合检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共6.(2024·陕西西安高二月考)长白飞瀑，高句 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松 符合题目要求的 江雾淞，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八 1.(2024·湖南岳阳高二月考)随机变量服从 景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是 3, 标准正态分布N(0,1),已知P(5≤-1.96)= 0.025,则P(11<1.96)= ( 夏季来的概率是？，如果冬季来，则看不到长 A.0.025 B.0.050 白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看 C.0.950 D.0.975 不到松江雾凇和查干冬渔，无论什么时候来， 2.(2024·江西宜春高二月考)由数据(x1,y1), 由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处 (x2,y2),…,(x6,y6)可得y关于x的经验回归 参观，则此人去了“一眼望三国”景点的概率为 方程为=3x+2,若含x=12,则盒：=（ 11 A.48 B.52 A. 15 B.16 45 C.56 D.80 17 1 3.(2024·黑龙江大庆高二期中)已知二项式 C. 45 0.3 (1+2x)"(其中n∈N*且n≥5)的展开式中x3 7.(2024·山西太原高二月考)用5种不同颜色 与x4的系数相等，则n的值为 ( 的粉笔写黑板报，黑板报设计如图厅示，要求 A.5 B.6 相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该黑板 C.7 D.8 报不同的书写方案共有 ( 4.(2024·河南安阳高二期中)若随机变量X服 英语角 理综 世界 从二项分布B(,2),且P(X=3)=P(X= 数学 语文学苑 天地 4)>0,则C2+A2= A.240种 B.480种 A.39 B.50 C.120种 D.200种 C.63 D.68 8.(2024·安徽阜阳高二期中)两个排球队举行 5.(2024·福建福州高二期中)将编号为1,2,3， 排球比赛，比赛结束后举办方为排球队员送上 4,5,6的小球放入编号为1,2,3,4,5,6的小 了甲、乙两个品牌的瓶装水，其中甲品牌的 盒中，每个小盒放一个小球则恰有3个小球 20瓶，乙品牌的12瓶，参与比赛的12名队 与所在盒子编号相同的概率为 ( 员，每人随机取1瓶瓶装水，用X表示12名队 员取到的甲品牌水的瓶数，则当P(X=k)最大 .5 D(kx) ( 1 C.1 D店 时，D A.7 B.8 C.49 D.64 全书综合检测黑白题73因为3.841<4.6875<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没 有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异】 (2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的 频率为96 0=0.64,用颜率估计概率可得万=0.64， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5, 则p+1.65 二5+16X0xa5+16 150 0.5 2.247*0.567, 可知>p+1.65 1-P,所以可以认为生产线智能化升级改造后， 该工厂产品的优级品率提高了 专题探究4数学文化与探究创新 黑题 专题强化 1.D解析：函数f代x)= 1关于y辅对称，由P(x1≤写) 合可知，P≤x)石，且P(停1)小则px 。2子所1国≤1)=2x对-放选D 1111 2.ACD解析：由题意，根据双阶乘的定义，可得209！×2081！= (209×207×…×3×1)×(208×206×…×4×2)=209!,所以A正确： 由2081！=208×206×…×4×2=204×104！，所以B错误 由208！=208×206×…×10×8×6×4×2能被10整除，则个位数字为0， 所以C正确；由209！=209×207×…×5×3×1能被5整除，则个位数字 为5或0，又因为209！是奇数，所以个位数字为5，故D正确.故 选ACD. 1(x-)() 3.15解析：7.(x)=f)+（ 2! （x-x0)2+…+ (八，因为)=(-1)=1所以”（✉） f(n)(o) x2,f2(x)=-2x3,∫3)(x)=6x4,f4(x)=-24x5,f(5)(x)= 120x-6. 又因为f'(-1)=11∫2)(-1)=2！，∫(3)(-1)=6=31，∫4(-1)= 24=41f50(-1)=120=51, 所以T(x)=1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+(x+1)4+(x+1)5,故x3的 系数为C9+C4+C号=15.故答案为15. 4.解：()依题意可得抽到的4个数互不相同的概率P=8×乙×6， 5105 8256 (2)(i)依题意X的可能取值为m+1,m+2,…,m+n(meN, neN~),且P(X=m+切=(1≤i≤a且ieN), 所以B(X)=[(m+1)+(m+2)++(m+n)]=1[m n nm+2n(nt D]m+(a+, 依题意X2的可能取值为(m+1)2,(m+2)2,…,(m+n)2(meN, neN),且P(r=(m+i)2)=(1≤i≤n且ieN), 所以E(X2)=[(m+1)2+(m+2)2+…+(m+n)2]=[n·m2+ 2m+2a++m)+(142++a2]=[am+a(a+i）a 6a(a+1)(2a+)]m2+m(a+1)+g(a+1D(2n+1D (ⅱ)依题意样本数据3,8,9,12的期望（平均数）为】×(3+8+9+ 4 1 12)=8,则9,64,81,14的期望（平均数)为4×(9+64+81+144)= 选择性必修第三册·RJ 74.5, (x0=m+a+1)=8, 所以 E(X2)=m2+m(n+1)+ t(n+1)(2n+1)=74.5 去a得[(a+1]+[8(a+)](a+)+a+) 12 (2n+1)=74.5,整理得n2=127,解得n=√127（负值已舍去）， 又因为112=121,122=144，所以元≈11. 全书综合检测 1.C解析：由正态分布曲线的对称性可知，P(11<1.96)=1-2P(≤ -1.96)=0.950.故选C. 2.A解析：因为2，=12，所以玉=2=2，所以了=6+2=8，所以， 6 6×8=48.故选A. 3.A解析：因为neN*且n≥5，由题意知2C=24C4,得23· n(n-l)(n-2）=24,n(n-l1)(n-2)(n-3》,求得n=5,故选A 3! 41 4.C解折：随机变最X服从二项分布B,分），且P(X=3) P(X=4)>0,.C2× （）扩广=cx(分)广c=ca=3*4 7c2+2=6g+好=7r6x7=68放选C 5.D解析：由题得任意放球共有A%=720(种)方法，如果有3个小球 与所在的盒子的编号相同，第一步：先从6个小球里选3个编号与所 在的盒子相同，有C?=20(种)选法：第二步：不妨设编号相同的小球 选的是1,2,3号球，编号为4,5,6小球的编号与盒子的编号都不相 同，则有(5,6,4)，(6,4,5)两种，所以有3个小球与所在的盒子的编 号相同，共有20×2=40（种）方法.由古典概型的概率公式得恰有3个 401 小球与所在盒子编号相同的概率P72018,故选D. 6.C解析：设事件A1=“冬季去吉林旅游”，事件A2=“夏季去吉林旅 产，事件B=“去了一眼望三国”则P(4)子，P4,) 在冬季去了“一眼望三国”的概率P(BIA,)= 答子在带去了 “一眼望三国”的概率P(B1A)=C哈3 CsC 1 所以去了“一眼望三国”的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)· 2x2+1x1=1 P(B1A,)=子×子+行X3=45放选C. 7.A解析：根据题意，“英语角”“语文学苑”和“理综世界”两两相邻， 有A=5×4×3=60(种)方案，而“数学天地”只和“理综世界”相邻， 只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，总共有60× 4=240(种)方案.故选A. 8.D解析：由题意得P(X=k)= CC C2 -(k=0,1,…,12), P(X=k+1)_C站1C站_(20-k)(12-k)_k2-32k+240 P(X=)CC竖 (k+1)(k+1)k2+2k+1 k2-32k+240- (k2+2k+1)=239-34k, 所以≤7时，1，当≥8时，P1,所以7 时，PX=8量大，P8=61放冻D 9.AD解析：因为X2≈10.921，即X2>10.828,所以根据小概率值a= 0.001的独立性检验，故在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 药物有效，故B,C错误；A正确；而根据统计量X2的意义，可得其值 越大，则判断X与Y有关系的把握程度越大，故D正确故选AD. 10.AC解析：因为(3x-2)10=a+a1x+a2x2++a10x0, 令x=0,可得a0=210,故A正确；令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+ a10=(-3-2)10=510①，故B错误；令x=1,可得a0+a1+a2+a3+ 黑白题32