第8章 成对数据的统计分析 章末复习方案-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

500×(240×30-20×210)2 3.解×-30×(8×016-2×4)2}-10. 无关,计算得×*-(240+20)(210+30)(240+210)(20+30) 10×20×12×18 3.205 2.706-x1,根据小概率值a-0.1的独立性检验, 智10 我们推断H。不成立,即认为甲、乙两城之间的长途客车是否 4.解析因为x一8.0137.879=,由临界值表知能在犯 准点与客车所属公司有关,此推断犯错误的概率不大于0.1. 错误的概率不超过0.005的前提下认为两个随机事件之间 [变式2](1)调查的500户家庭中有70户需要外卖,因此 有关联. 是 (2)零假设为H:该地区的外卖需求与时间无关 章末复习方案 根据列联表得x-500×(403270-30×160)2}~9.967> 200×300X70×430 1.解析(1)散点图如图所示 6.635-xo0.o1. 根据小概率值a一0.01的独立性检验,推断H。不成立,即 该地区的外卖需求与时间有关,此推断犯错误的概率不大 于0.01. [例题3]解(1)估计乙班的平均分为xz-85×50+95× 10{ 1-杜十-1-, 1+105×23+11513+125×-105.8,105.8- 0 2040 60 80100120 (2)根据表中数据计算得-1×(5+10+15+20+30十40十 101.8一4,即两班的平均分相差4分. (2)补全后得到如下列联表: 成绩 班纽 小于 不小于 合计 100分(Y-0)100分(Y-1) 结合参考数据和公式得6一一 26 甲班(X-0) a-24 50 过) 12 乙班(X-1) d-38 a-214-0.304×510-5.36. 合计 36 64 100 所以腐蚀深度y对腐蚀时间工的回归直线方程为 零假设为H。:成绩的差异与实施课题实验独立,即成绩的 0.304.x十5.36. 差异与实施课题实验无关. (3)根据上面求得的回归直线方程,当腐蚀时间为100s时, 36X64×50×50 -0.304×100+5.36-35.76(m),即腐蚀深度大约为 3.841-n. 35.76 m. 所以根据小概率值a一0.05的独立性检验,我们推断H。不 2.解析(1)根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数 成立,即认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课 据可得-x(1+2+3+4+5)-3.y-×(59+61+64+ 题实验有关”.此推断犯错误的概率不大于0.05. [变式3]解析(1)由题可知该中学一年级学生近视的人数为 68十73)-65, 50,总数为100,利用样本估计总体思想可知该中学一年级 ##(n#(-) (2)零假设H。:不足够的户外暴露时间与近视无关联.由题 可知n-100,a-20,b-35,c-30,d-15. 则二 故x×2-(a十b)(c+d)(a十c)(b十d) n(ad-bc)? 100×(20×15-35×30)2}~9.091>6. 635-x0.o1. 3.5×3-54.5. 55×45×50×50 设t-x”,则y-c十dr-c十dt, 所以根据小概率值。一0.01的独立性检验,我们推断H。不 所以r-1x×(12+2+3+4+5)-11, 成立,即认为不足够的户外暴露时间与近视有关联,此推断 犯错误的概率不超过0.01 随堂检测·学以致用 则过{ 2-27~0.6. 1.C 解判断两个分类变量是否有关的最有效的方法是进 2(-2 行独立性检验,故选C项 2.C 根据等高堆积条形图可知,参加社团的高一和高二 c--ar-65-0.6×11-58.4 年级学生的人数比为2:3,由分层随机抽样的性质可得,抽 所以两种模型的回归方程分别为y-3.5x十54.5, 取的高二学生人数为45×3一27.故选C项. 0.6x2+58.4. (2)回归方程为y-0.6r*十58.4时,将工的值代入可得估计 ·186. 值分别为59,60.8,63.8,68,73.4,则残差平方和为(59-59)十 (2)由题意可知,生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优 $6 1-60.8)+64-63.8)+(68-68)+(73-73.4)-0.24.而 -0.64,用频率估计概率可得五-0.64, -ā十bx的残差平方和是3.5,则0.24<3.5. 所以回归方程v一0.6r^}十58.4拟合效果更好,应选择该方 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率力一0.5; 1-D-0.5+1.65 /0.5X(-0.5~0.5+ 程进行拟合. 则十1.65 n 150 当x=6时,-0.6×6+58.4-80,故预测2024年该农户 /(-D). 种植药材的平均收入为80千元,即8万元. 3.C 对于A,B项,气侯温度高,海水表层温度变高变低 所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级 不确定,故A,B项错误;对于C,D项,因为相关系数为正,故 品率提高了. 随着气侯温度由低到高时,海水表层温度呈上升趋势,故C 7.(1)零假设为H。:患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生 项正确,D项错误,故选C项 习惯没有差异,根据列联表中的数据,经计算得 4.C 根据散点的集中程度可知,花瓣长度和花长度有 200×(40×90-60X10)2}-24>6.635-xo.01,所以依 相关性,故A项错误;散点的分布是从左下到右上,从而花 2~ 50×150×100×100 瓣长度和花长度呈现正相关,故B项错误,C项正确;由于 据a一0.01的独立性检验,我们推断H。不成立,即认为患该 r-0.8245是全部数据的相关系数,取出来一部分数据,相 疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异,此推断犯错 关性可能变强,可能变弱,即取出的数据的相关系数不一定 误的概率不超过0.01 是0.8245,故D项错误.故选C项 P(BA) 5.解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值元 (2)①证明:因为R-P(BA)P(BA).P(B|A) P(BA) P(BlA) P(B]A) P(BA) #AD #A)#A)DA #AD.PAND P(AB) P(A) P(AB) P(AB)·PAB) PYAB. PAIB)PAB.P(B). P(AB). P(B)- 截面积为0.06m{,平均一棵的材积量为0.39m③} PAB PABPB P(AB) ·P(B)P(AB) P(AB)·P(AB),所以R-P(AB).P(A|B). (2),=- P(AB).P(AB) P(A|B) P(A|B)' 22-10 ##-10)(-10) 所以R-P(AIB).P(|B)6. P(A|B) P(A|B) __ 0.2474-10×0.06×0.39 (0.038-10×0.06②)(1.6158-10×0.39{) 8.解(1)零假设H。:“喜欢健身”与“性别”无关。 -01~0~.97. 依题意得,2X2列联表如下: 0.0134 喜欢健身。 不喜欢健身 合计 (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym,又已知 男 35 15 50 20 30 50 186,解得Y=1 209m{},则该林区这种树木的总材积量的估 35 合计 65 100 计值为1209m3. 根据列联表中的数据,计算得x2-100×(35×20-30×15)^ 65×35×50×50 6.解析(1)根据题意可得列联表: 1.0993.841,根据小概率值a-0.05的独立性检验,没有充 优级品 非优级品 合计 分证据推断H。不成立,因此可以认为H。成立,即推断“喜 50 26 24 甲车间 欢健身”与“性别”无关. 乙车间 30 100 70 (2)依题意得,P-2,当n2时,P.-P-,x3+(1- 合计 96 150 P)2-1P+2,则P--1(P-) 零假设H。:甲、乙两车间产品的优级品率没有差异。 所以数列P-8是首为P-8-2-8--,公 50X100×96×54 因为3.841 4.6875 6.635,所以根据小概率值。-0.05 比为1的等比数列, 的独立性检验,我们推断H。不成立,即认为甲、乙两车间产 所以P-8--×12,即P-8-×12. 品的优级品率存在差异,此推断犯错误的概率不超过0.05 ·187· 所以P-8-×1~8 (1-8)-$ [典例5]解析(1)由频率分布直方图可得(0.005十0.012+ m+0.034+0.015+0.003)×10-1,解得m-0.031. 所以第10次去A健身房健身的概率更大。 (2)①依题意,得--1+2+3十4+5十6+7-4. 7 模块核心素养 y15+18+27+23+20+29+36-24, [典例1]A 解按照老队员的人数分两类:①只选1名老队 员,则新队员选2名(不含甲),有CC一42(种)选法;②没有 选老队员,则新队员选3名(不含甲),有C一35(种)选法 所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有 3+1×(-4+2×5+3×12-78. 42+35-77(种).故选A项. [典例2]解析(1)令x-1,得各项系数的和为(1十3)”一4”,易 (c-(-) 所以-二 3. 一6.所以(Vt+) 展开式的通项为C·()6.(3· -y-3·C·-,要使3-,为整数,则r-0.6,所以 有理项是第1项与第7项.故选BD项. (2)因为(1十ax)(1+x)=(1+x)十ax(1十x),所以工 ②将r-9代-30+90中,得3-309o+90-531~ 的系数为C+aC-10+5a-5,解得a--1. 鹰(1BD(2)一1 37.93. [典例3]霸(1)因为P(2)-0.2,P(26)-0.6,所以 故可以预测小强第9次的慢跑时间为37.93min,超过小明 P(6)-1-0.2-0.6-0.2,所以P(2)=P( D6),所 以26-4.故选B项. 这100天慢跑的平均时间 [典例6]BD 解由,|越趋近1,数据的线性相关关系越强 (2)设P(X-1)-p,由题意可得P(X-2)-1-P(X-0)- 知,A项错误,B项正确:由残差平方和越小,则数据的经验 P($-1)--.又E(x-1,所以ox+1p2x 回归模型拟合效果越好知,C项错误;由决定系数越大,则 数据的经验回归模型拟合效果越好知,D项正确,故选 ($)-1,解得-,所以P($-1)-,P($-2)= BD项. [典例7门](1)由表可知体育锻炼时长不少于1小时的人数 1,所以D(x-x(o-1)+3x(1-1)*+1x(2- 580 1*-,所以D(2X-1)-4D()-故选D项. 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时 答案(1)B(2)D [典例4]解析(1)根据频率分布直方图得元一(55×0.01十65× (2)8×(805×139+0.51×191+1+1.5×179+ 0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10-74 (2)由题意知X~N(74,100),即-74,。-10, 1.5+2x43+2十2.5x28)~0.9,则估计该地区初中学生 所以P(64<X<94)=P-。X+2) 0. 6827+0.9545-0.818 6. 日均体育锻炼的时长为0.9小时. 2 (3)由题意可得列联表如表所示: (3)由题意可知[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为 日均锻炼时长 1:2:2. 学业成绩 合计 [1.2) 故抽取的10人中[50,60),[60,70)和[80,90)分别为2人, 支其他 45 优秀 50 4人,4人,随机变量;的取值可以为0,1,2,3, 5 177 308 不优秀 485 合计 222 358 580 零假设H。:该地区学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少 故的分布列为 于1小时且少于2小时无关, 则x*-580X(45×308-177X50)2} 95X485×222×358 -~3.9763.841 # 0)030 根据小概率值a一0.05的独立性检验,我们推断H。不成 所以E()-#1+1×+2×3+330-. 立,即认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小 时且少于2小时有关,此推断犯错误的概率不超过0.05. ·188·第八童 成对数据的统计分析 章末复习方案 知识网络体系构建 样本和 关系数 xy-nxy ##对 正相关 负相关 ##70# 故点图 ) -:十 -yb :-_ 一元线性 成对数 同归模型 据的统 计分析 非线姓回 残差分析 归模型 (w-) 误差分析 决定系数R-1- ##() 公式x=-afad-be) (+b)(+e)(a+ci(+) 独立性检验 判定依据 _ a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.70638416.635 7.87910.828 等高堆积条形图 知识整合融会贯通 答案见P 探究一, 一元线性回归模型 (3)用我们所建立的经验回归方程,由解释变 解决线性回旧分析问题的基本步骤 量去求预报变量的平均值,用数学知识为我们 (1)画散点图,判断两个变量是否线性相关.若 的现实生活服务, 散点图中的点大致分布在一条直线附近,则可 【真题呈现】 设出经验回归方程为-bx十ā 1.在某产品表面进行腐蚀刻线试验,得到腐蚀深度 (2)利用公式求出6和a,写出经验回归方程; v与腐蚀时间x间相应的一组数据如表所示 .97. 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 r(s) 10 152030 5 40 50 60 70 90 120 2.某乡政府为提高当地农民收入,指导农民种植 v(um)610101316 17 9 23 25 29 46 药材,取得较好的效果,某农户近5年种植药 (1)画出表中数据的散点图 材的平均收人的统计数据如表所示 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 2 / ) 5 平均收入y(千元) 59 64 68 73 (1)根据表中数据,现有-十bx与-c十 dr^*}两种模型可以拟合y与x之间的关系,请 (2)求y对x的回归直线方程;-x士ā 分别求出两种模型的回归方程(结果保留一位 (3)试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多 小数); 少?(可用计算器) (2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较 两个模型的拟合效果,已知一ā十bx的残差 参考数据和公式: 二 平方和是3.5,请根据残差平方和说明上述两 个方程哪一个拟合效果更好,并据此预测2024 #2一n} 年该农户种植药材的平均收入. -. (x-)(v-) 6一_ (&-)} 一,--. .98. 第八章 成对数据的统计分析 探究二 样本相关系数 样本号i 5 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的 根部横 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 截面积工 0.05 数字特征,,的符号反映了相关关系的正负性 材积量y 0.25 0.22 0.540.51 0.40 [,的大小反映了两个变量相关的程度 0.34 【真题呈现】 样本号i 10 ). 总和 3.(2024·上海)已知气候温度和海水表层温度 根部横 0.05 0.06 60.07 0.07 截面积x. 0.6 相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是 ) 材积量y 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 A.气候温度高,海水表层温度就高 计算得0.03.,-1.61582y= B. 气候温度高,海水表层温度就低 _ C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上 0.2474. 升趋势 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截 D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下 面积与平均一棵的材积量; 降趋势 (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积 4.(2023·天津)调查某种群花长度和花瓣长 量的样本相关系数(精确到0.01); 度,所得数据如图所示,其中相关系数, (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截 0.8245,下列说法正确的是 ( ) 面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总 和为186m^{},已知树木的材积量与其根部横截 面积近似成正比,利用以上数据给出该林区这 种树本的总材积量的估计值 (x-)(一y) 附:相关系数,一 .花游长度 1.806~1.377 .) 花长度 2 A.花瓣长度和花蔓长度没有相关性 B.花瓣长度和花长度呈现负相关 C. 花瓣长度和花曹长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系 数一定是0.8245 5.(2022·全国乙)某地经过多年的环境治理,已 将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种 树不的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测 量每棵树的根部横截面积(单位:m{)和材积量 (单位;m}),所得数据如表所示 .99. 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 探究三 独立性检验 n(ad-bc)? 附:x- (a十b)(c十d)(a十c)(b十d)' 应用独立性检验解决实际问题包括的主要 0.050 0.010 0.001 环节: 3.841 6.635 10.828 (1)提出零假设H:X和Y相互独立,并给出 在问题中的解释 (2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算× 的值,并与临界值比较 (3)根据经验规则得出推断结论 (4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过 比较相应的频率,分析X和Y之间的影响规律 【真题呈现】 6.(2024·全国甲改编)某工厂进行生产线智能 化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个 车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据 如下: 优级品 合格品 不合格品 合计 24 0 甲车间 26 50 70 28 2 乙车间 100 96 52 合计 150 (1)填写如下列联表,并根据小概率值。三0.05 的独立性检验,判断能否认为甲、乙两车间产 品的优级品率存在差异? 7.(2022·新课标I改编)一医疗团队为研究某 优级品 非优级品 合计 地的一种地方性疾病与当地居民的节生习惯 甲车间 (卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系 乙车间 在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称 合计 为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机 (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 调查了100人(称为对照组),得到如下数据; 不够良好 p一0.5,设万为升级改造后抽取的n件产品的 良好 D(一D,则认 病例组 40 优级品率.如果>十1.65。 60 n 10 为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的 对照组 90 150件产品的数据,能否认为生产线智能化升 (1)依据。一0.01的独立性检验,能否认为患 级改造后,该工厂产品的优级品率提高了? 该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有 (/150~12.247) 差异? .100. 第八章 成对数据的统计分析 (2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选 每周健 6次及 1次 2次3次 4次5次 到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到 身次数 6次以上 一.AAA)的比值是 男 5 的人患有该疾病” 28 女 2 卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项 度量指标:记该指标为R (1)如果认为每周健身4次及以上的用户为 P(AB).P(AB) “喜欢健身”,请完成2×2列联表,根据小概率 ①证明:R- PCAB)·P(AB)' 值a三0.05的独立性检验,判断“喜欢健身”与 ②利用该调查数据,给出P(A|B),P(AB)的 “性别”是否有关? 估计值,并利用①的结果给出R的估计值 (2)假设杭州市民小红第一次去健身房A健身 n(ad-bc)? 附:2- (a十b)(c十d)(a十c)(b十d)' 第二次起,若前一次去健身房A,则此次不去 0.050 0.010 0.001 A的概率为:若前一次去健身房B.,则此次仍 3.841 6.635 10.828 的概率为P。,则第10次去哪一个健身房健身 的概率更大? n(ad-bc)2 附:- (a十b)(c十d)(a十c)(十a) 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 8.全民健身是全体人民增强体魄、健康生活的基 础和保障,为了研究杭州市民健身的情况,某 调研小组在我市随机抽取100名市民进行调 研,得到的数据如表所示 I提示 完成第八章综合测评 .101.