第7章 随机变量及其分布 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

P()冬-了，若甲乙均被安排在天和核心舱，有A好=2（种）安排 方法，则P(AB)= 618,放甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也 21 被安排在天和核心舱的概率P(B1A)=P).18。人故答案 P(A)16 3 8,9解析：由题意若4n8恰有1个元素，则分以下因种情形进行 讨论： 情形一：若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足AU B=U的情况有C4·C2=4×2=8(种)，而满足A∩B恰有1个元素的 情况有C4=4(种)： 情形二：若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足AU B=U的情况有C2·(1+C2+1)=6×4=24(种)，而满足A∩B恰有 1个元素的情况有C?·C=12(种)； 情形三：若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足AU B=U的情况有C·(1+C+C好+1)=4×8=32（种），而满足A∩B恰 有1个元素的情况有C·C=4×3=12(种)； 情形四：若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，且注意到集 合A,B不同，此时满足AUB=U的情况有C4·(C4+C经+C)=1× 14=14(种)，而满足A∩B恰有1个元素的情况有C4·C4=4(种). 故由条件概率公式可得A∩B恰有1个元素的概率为P= 语的放答米为号 第七章章末检测 1.B解析：依题意可得P(X=1)+P(X=0)=1,P(X=1)-P(X=0)= 0,32,所以P(x=0)=1-032=034,故选B, 2.D解析：由分布列的性质可得，0.1+m+n+0.1=1,即m+n=0.8, 又.…2m+n=1.2,.m=n=0.4,.m-n=0.故选D. 3.A解析：因为一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标 的，从中任意选取4个，由超几何分布概率计算公式，可得恰有2个 的尺寸不达标的概率为P.C3C_12 C唱55放选A 4.B解析：按照3o原则可知，488≤500-3σ，解得σ≤4，所以σ的最 大值为4故选B. 4 5.B解析：随机变量X~B(n,P),则有E(X)=p=3,D(X)=p(1- )8 8.42 )8由DX）-pC1P=1-p=93=3,解得p=3,所以 “E(X)即 4=4所以Px-G×写×（传厂-景放选 6.D解析：设“对药物甲产生抗药性”为事件A,“对药物乙产生抗药 性”为事件B,“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”为事件C,则 PA)=号P(B)=品P(G)=专，且P(G)=P()=专所以 4 P(A+B)=1-P(AB)= 5,又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以 3216 P(AB)=P(A)+P(B)-P(M+B)=i9+95=95,所以P(B1A)= 智空号故选D 19 7.C解析：设“检验结果呈现阳性”为事件A,“此人患病”为事件B, P(AB)=P(B)P(AIB)=0.05×95%=4.75%,P(A)=P(AB)+ P(AB)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)=4.75%+(1-0.05)×0.5%= 5.25%,则P(B1A)=P4).475%10 P(A)5.225%11 故选C. 8.B解析：记该市去年人均收人为X万元，从该市任意选取3名市 选择性必修第三册·RJ 民，年收人超过100万元的人数为Y. 设从该市任选1名市民，年收人超过100万元的概率为P,则根据马 尔可夫不等式可得p=P(X≥100)sE（D-10-1, 100=100100≤p≤10 ,Y~B(3,p),∴.P(A)=P(Y=1)=C3p(1-p)2=3p(1-p)2=3p3 6p2+3p. 令fp)=3p3-6p2+3p,则f'(p)=9p2-12p+3=3(3p-1)(p-1), 11 ~0≤p≤103p-1<0,p-1<0,即f'(p)>0,p)在0,10上 单调遥增fp)(合)3x石x(1-。)广°福即 PAm限故选B 9.A8D解折：对于A,B(a6)=a(0+6,ak(,）a(gx0 ）a0+6,所以(ab)=a(x÷） ,故A正确； 对于B,0(ox+6)=n(0),a2n(x）=n(0,所以n(ox+ 6)=2n(x+冬)，故B正确； 对于CD,根据均值与方差的关系可得D(X)=E(X2)-(E(X))2,故 C错误，D正确.故选ABD. 10.CD解析：对于A,因为P(B1A)=PB,P(B1不)=P(B,若 P(A) P(A) P(B)=1,则P(B)=0,所以PB=0,则P(B1M-PAB)-0,但 P(A) 是P(AB)不一定为0，即P(B1A)=PAB)不一定为0，所以A P(A) 错误； B.P(BIA)+P(BIA)-P(AB)P(AB)_P(AB)+P(AB) P(A)P(A) P(A) PA-1,故B错误；对于C,因为P(B1A)=PA)=P(B),所以 P(A) P(A) P(AB)_P(A)P(B-P(A,故 P(AB)=P(A)P(B),所以P(AIB)=PBP(B) C正确：对于D,因为P(B1A)=P(AB) 1 P,0<P(4)≤1，所以n≥L, 所以PAB)≥P(AB),即P(AB)≤P(B1A),故D正确故选CD. P(A) 11.ACD解析：对于A,从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是 C31 BC。5,放A正确：对于B,依次从甲箱中取出两盒饺子，第一 35 盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率为P2= 3■ 10 B错误；对于C,先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱 中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是P,=× 立10×0故C正确：对于D,先从甲箱中随机取出一盒饺 4.733 子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子 23 是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜馅饺子的概率为P4=?三 11 10 故D正确.故选ACD. 2.3解析：PX≥4=P(X≤2)=1-P(X2)=13=3故答案 为 130 43 解析：依题意设该班所选队员得分之和为6分为事件A,则可 黑白题24 分为下列三类：女生得0分，男生得6分，设为事件A1;女生得2分， 男生得4分，设为事件A2;女生得4分，男生得2分，设为事件A3, 则P(A1)=】 (位后广品动 PA)=P(A1)+P(A)+P(A)=20 43 14.0、1、2 6+√2 解析：如图，在棱长为1 11 的正方体ABCD-A,B,C,D,中，当两条棱相 交时，专=0，与每条棱相交的棱有4条，即 12×4 41 24 P(5=0)= C经11 当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为1或万 其中，与棱A41平行且距离为1的棱为BB1,DD1,与楼AA1平行且 距离为√2的棱为CC,; 当两条棱异面时，专=1，与棱A41异面的棱为BC,CD,B1C1,C1D1: 12×2+12×4 12 2 1 所以P(专=1)=一 6 2 C i,P(5=2)= 品，因此E() i+w2x5*v2」 *1k6 044 Xi故答案为0,1、w2,6+2 11 15,解：①因为选手甲答对第1题的概率为子，所以k=子，即，=品， 2 所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为石 (2)由题意得p1= 2 3P2=33=9P4=6 随机变量X可取0， 3,P(K=1)=2x2.4 1,2,3,4,则P(X=0)= 2 3x3=9P(X=2)= 3 ×gP(X=3)=号x兮×号x名8P(X=4列 1714 2125-10 2 3× 1 1 2 所以随机变量X的分布列如下： X01234 1414102 3981243243 92414 3*1x 生304品8 10 所以E(X)=0 16.解：(1)因为m~N(0.4,0.012),所以u=0.4,o=0.01,所以P(m> 0.41)=0.5- 2P(k-g≤m≤u+o)=0.5-2x0.6827=01586,即 任选1个香梨，其质量大于0.41kg的概率约为0.15865 (2)由题意可知，X的所有可能取值为10,8,6,5， 则P(X=10)=P(0.39≤m<0.41)=P(u-0≤m<u+o)≈0.6827， P(X=8)=P(0.38≤m<0.39)+P(0.41≤m<0.42)=P(u-2w≤m< +2σ)-P(h-σ≤m<4+o)≈0.9545-0.6827=0.2718， P(X=6)=P(0.37≤m<0.38)+P(0.42≤m<0.43)=P(μ-3o≤m< u+3o)-P(-2c≤m<4+2σ）≈0.9973-0.9545=0.0428， P(X=5)=1-P(u-3w<m<+3o）≈1-0.9973=0.0027， 所以X的分布列为： X 0 8 65 P 0.68270.27180.04280.0027 所以E(X)=10×0.6827+8×0.2718+6×0.0428+5×0.0027= 9.2717,即估计该种香梨售价的平均值为9.2717元/千克 17.解：(1)由题意得P(A)=3 (2)“该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品”为事件B, 参考答案 P(=cx(号)（号）广路 (3)随机交量X的取值为012,3，由题意可知：X-B(3,号）： x=-c()(任）广6=01,2， 所以P(x=0)=9×(号)°×(3)°=忍P(x=1)= c(居八x(°器Px2✉（号）广x(传)月 所以随机变量X的分布列为： 0 123 2754368 P 125125125125 所以风0=0密1密 36 86 18.解：(1)由题意知专的所有可能取值为0,1,2,3， 所以P(6=0)=C3CL Cg56,P(5=1)= g6,P(5=2)=C3C gC号_15 5628,P(6=3)=C3C105 3015 C%5628 所以专的分布列为： 0123 1 1515 5 P 56562828 1 15. ,515 则E()=0x云+1×+2×28+3×288' (2)(ⅰ)记“输人的问题没有语法错误”为事件A,记“输入的问题 有语法错误”为事件B,记“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件 C,则P(A)=0.9,P(B)=0.1,P(C1B)=0.5,P(C1A)=0.85,P(C)= P(CB)+P(CA)=P(B)P(CIB)+P(A)P(CIA)=0.1×0.5+0.9× 0.85=0.815. (ⅱ)若聊天机器人模型的回答被采纳，则该问题的输入没有语 法错误的概率为P(41C)=P4C).P(A)P(CA_09x0.85153 P(C)P(C) 0.815163 19.解：(1)由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为。，摸到白球的概 率为？，故甲至少获得1份礼品的概率P=1名×名6 5511 (2)设A=“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满 3份”，B=“顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”， acx(各)八x(g）广-6x(名)x(6广2 Pa)=PA)-P(A=(c2-GS)x(g）尸×(G）'=3x 75 ()x(后）广2Pew%8 P(4)252 6 (3)由题意可知r=3,p= 65=-1,则E(X)=E(K-1)+1=B(6)+ 5 1=+1=1 +1=16,D(Y)=D(100x)=D(100E+100)= 1-p 6 (1-p)2=900000 10000D(5)=10000.,Pm 黑白题25第七章章末检测 (时间：120分钟 总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 P(X=1)= ( 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 4 符合题目要求的， B贸 c D.gi 1.(2024·山东菏泽高二期末)若X服从两点分 6.(2024·河北石家庄高二月考)研究人员对 布，P(X=1)-P(X=0)=0.32,则P(X=0)为 甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过 实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概 ( A.0.32 B.0.34 C.0.66 D.0.68 幸为)对药物乙产生抗药性的慑率为号 2.（2024·云南保山高二月考)若随机变量专的 “对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率 分布列如下表所示，且2m+n=1.2,则m-n= 为，则在对药物甲产生抗药性的条件下，对 药物乙也产生抗药性的概率为 ) 3 B号 C i 5 A.-0.2 B.0.4 C.0.2 D.0 7.(2024·淅江舟山高二月考)英国数学家贝叶 斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统 3.(2024·福建龙岩高二期中)一箱零件中共有 计理论，随机事件A,B存在如下关系： 12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这 箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不 P(AB)-P(A)PB1A).若某地区一种疾病的 P(B) 达标的概率为 ( 患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者 A号 B.5 0. 是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在 被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95% 4.(2024·辽宁朝阳高二期末)统计学中通常认 的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即 为服从于正态分布N(u,σ)的随机变量X只 在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 取[μ-3o,+3o]中的值，简称为30原则.假 0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的 设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下 一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此 食盐质量服从正态分布N(500,σ2)（单 人患病的概率为 ) 位：g),某天生产线上的质检员随机抽取了一 495 995 A. 1000 B .10 1000 11 D31 22 包食盐，称得其质量小于488g,他立即判断生 8.(2024·广东肇庆高二期末)在概率论中，马 产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得 尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于 到σ的最大值为 ( 某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德 A.2 B.4 C.6 D.8 雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若 5.(2024·山西运城高二期中)已知随机变量 是只取非负值的随机变量，则对Hα>0，都有 XB(n,p),若E(X)=子，D(X)=g.则 P(传≥)≤B()某市去年的人均年收人为 a 选择性必修第三册·RJ黑白题48 10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰 B.依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉 有1名市民去年的年收入超过100万元”为事 馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是 件A,其概率为P(A).则P(A)的最大值为 6 ( C.先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱， 27 243 4 A100B.100 C.27 D. 再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 业的饺子是肉缩的秘率是品 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 D.先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱， 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱 有选错的得0分。 取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三 9.(2024·陕西西安高二月考)设离散型随机变 量X,非零常数a,b,下列说法正确的有( 鲜缩饺子符率号 AEo成+b)=aE(x+) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分 12.（2024·山西晋城高二期末)已知X~N(3, B.D(aX+b)=aD(x+) C.D(X)=E(X2)-E(X) ),且P(X>2)=子则P(X=4) D.D(X)=E(X)-(E(X))2 10.(2024·四川绵阳高二期末)已知A,B分别 13.3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行以 “弘扬雷锋精神，做全面发展一代新人”为主 为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0, 题的知识竞赛，某班现从6名女生和3名男 P(B)>0,则下列结论一定成立的是( 生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个 A.P(BIA)=P(BIA) 问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女 B.P(BIA)+P(BIA)=P(A) 生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其 C.若P(BIA)=P(B),则P(AIB)=P(A) 余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率 D.P(AB)≤P(BIA) 11.(2024·浙江台州高二期中)饺子是我国的 均为)，现选择2名女生和3名男生，每人答 传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有 一题，则该班所选队员得分之和为6分的概 甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻 率为 饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜 14.(2024·广东广州高二期中)设专为随机变 馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉 量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两 馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子， 条，当两条棱相交时，专=0；当两条棱平行时， 则下列正确的是 ( 专的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面 A.从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率 时，专为两条棱上两点（不在同一条棱上）间 距离的最小值，则随机变量专的所有可能取 值有 ,5的数学期望为 第七章黑白题49 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出17.（15分)(2024·天津西青区高二期末)历史 文字说明、证明过程或演算步骤 悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年 15.(13分)(2024·河南新乡高三月考)某闯关 画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统 游戏共设有4道题，参加比赛的选手从第 木版年画.它起源于明代崇祯年间，距今已有 1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继 近400年的历史，是首批国家级非物质文化 续，直到答完所有题目.设选手甲答对第1题 遗产杨柳青年画制作的特别之处是它采用 的概率为子，甲答对题序为i的题日的概率 “印画结合”的独特工艺，制作程序大致是： 创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序 n,=女，ie1,23,4,各框回答正确与否相 与其他木版年画大致相同，而杨柳青年画的 后期制作艺术风格迥然不同.一个优秀的作 互之间没有影响， 品除了需要有很好的素材外，更要有制作上 (1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题 的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、 的概率； (2)求甲停止答题时答对题目数量X的分布 彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为 列与数学期望 亏弓，只有当每个环节制作都成功才认 342 为是一次优秀制作 (1)设事件A=“制作一件优秀作品”，求事 件A的概率； 16.(15分)(2024·山西长治高二期中)某种香 (2)若该工艺画师进行3次制作，事件B= 梨的质量m(单位：kg)服从正态分布N(0.4, 0.012),将该种香梨按照其质量及对应的售 “恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； 价进行分拣，分为4类依次记为m1,m2, (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品 m3,m4已知m1∈[0.39,0.41)，售价最高，为 数为X,求X的分布列和数学期望 10元/千克；m2∈[0.38,0.39)U[0.41, 0.42),售价为8元/千克；m∈[0.37,0.38) U[0.42,0.43),售价为6元/千克；其余的 为m4,售价为5元/千克. (1)任选1个香梨，求其质量大于0.41kg的 概率； (2)以X表示香梨的售价（单位：元），写出X 的分布列，并估计该种香梨售价的平均值 附：若X~N(u,o2),则P(u-o≤X≤u+ o）≈0.6827，P(u-20≤X≤u+2o）≈ 0.9545,P(u-3σ≤X≤u+3σ）≈0.9973. 选择性必修第三册·RJ黑白题50 18.(17分)(2024·广东广州高二期末)人工智19.(17分)(2024·浙江宁波高三月考)某商场 能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模 推出购物抽奖促销活动，活动规则如下： 型，它能够通过学习和理解人类的语言来进 ①顾客在商场内消费每满100元，可获得 行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入 1张抽奖券； 的问题没有语法错误，那么聊天机器人模型 ②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽 的回答被采纳的概率为85%；如果输入的问 奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子 题出现语法错误，那么聊天机器人模型的回 中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性 答被采纳的概率为50%. 相同)，若摸到白球，则没有中奖，若摸到红 (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机 球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖 器人模型的回答有5个被采纳.现从这 机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规 8个问题中抽取3个.以专表示抽取的问 则不变)； 题中回答被采纳的问题个数，求专的分 ③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获 布列和数学期望 得的礼品数满3份，则不可继续抽奖 (2)已知输入的问题出现语法错误的概率 (1)顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽 为10%. 奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品 (ⅰ)求聊天机器人模型的回答被采纳的 的概率 概率； (2)顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获 (ⅱ)若已知聊天机器人模型的回答被采 得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽 纳，求该输人的问题没有语法错误的 奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是 概率. 多少？ (3)设顾客在消耗X张抽奖券抽奖后，获得 的礼品数满3份，要获得X张抽奖券，至 少要在商场中消费满Y元，求E(X), D(Y)的值.重复进行某个伯努利试验， 且每次试验的成功概率均为P.随机变量 专表示当恰好出现r次失败时已经成功 的试验次数则专服从参数为r和p的负 二项分布.记作专~NB(r,p).它的均值 )-%,方差D)0】 第七章黑白题51