7.5 正态分布-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.5正态分布 白题 基础过关 限时：25min 题组1正态曲线及其性质 题组2正态分布的概率计算 1.(多选)下面给出的关于正态分布密度曲线的 5.(多选)(2024·陕西西安高二月考)已知随机 叙述中，正确的有 ( 变量X服从正态分布N(12,σ2)，且P(X≥9)= A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 0.7,则 () B.当x>μ时，曲线下降，当x<u时，曲线上升 A.P(X>15)=0.7 B.P(9≤X≤15)=0.6 C.当u一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越 C.P(X>15)=0.3 D.P(9≤X≤15)=0.4 大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x=u对称，且当x=M时，位 6.已知X~N(u,σ2)，且P(X>0)+P(X≥-4)= 于最高点 1,则儿= 2.(2023·湖北黄冈高二月考)设随机变量X的正 题组3 正态分布的应用 (x+3)2 7.(2024·山东烟台高二月考)某市组织了一次 态分布密度函数为∫(x)= 2后 ”e4 高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正 x∈(-0，+o),则参数，o的值分别是( 态分布，其密度函数f(x)= ,X∈ A.u=3,0=2 B.M=-3,0=2 10/2T C.4=3,0=√2 D.M=-3,=√2 （-∞，+∞)，则下列命题不正确的是() 3.已知专~N(u,σ2)，则下面的变量服从标准正 A.该市这次考试的数学平均成绩为80分 态分布的是 ( B.分数在120分以上的人数与分数在60分以 A.5 B.专-u c.5t4 D.54 下的人数相同 6 4.(2024·辽宁大连高二月考)对甲，乙两地小 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以 学生假期一天中读书情况进行统计，已知小学 下的人数相同 生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学 D.该市这次考试的数学成绩标准差为10 生读书的时间为X(单位：小时)，X~N(2,4), 8.(2024·江苏南通高二期中)某中学1600名 对应的曲线为C,乙地小学生读书的时间为Y 学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近 (单位：小时)，Y~N(3,g),对应的曲线为 似服从正态分布N(150,σ2)，已知成绩小于 C2,则下列图象正确的是 130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成 绩X在150~170次之间的人数约为 9.(2024·广东佛山高二期末)某厂家生产的产 品质量指标服从正态分布N(171,σ2).质量指 标介于162至180之间的产品为良品，为使这 种产品的良品率达到99.73%，则需调整生产 工艺，使得σ至多为 .(若X~N(u, σ2)，则P(-3o≤X≤u+3o)≈0.9973) 选择性必修第三册·RJ黑白题44 黑题 应用提优 限时：45min 1.(多选)(2024·江苏南京高二月考)已知5.(2024·江西景德镇高二期末)已知某果园中 X~N(80,σ2)（σ>0）则 ( 刺梨单果的质量M(单位：g)服从正态分布 A.P(X>80)=0.5 N(30,σ2)，且P(M<28)=0.2,若从该果园的 B.若σ越大，则P(70<X<90)越小 刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g~ C.P(X>60)=P(X<100) 32g的单果的个数的期望为 D.P(60<X<70)=P(100<X<110) A.20 B.60 2.（2024·福建泉州高二期中)在如图所示的正 C.40 D.80 方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部 6.已知随机变量X,Y,Z满足X~N(3,o2),Y~N(1, 分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线） σ2)，Z=Y-1,且P(X>4)=0.1,则P(22<1)的 的点的个数的估计值为 值为 A.0.1 B.0.2 C.0.8 D.0.9 7.(2024·河南南阳高二月考)老张每天17：00 下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步 附：若X~N(,σ2)，则P(u-o≤X≤+)≈ 行到家，公交车有A,B两条线路可以选择.乘 0.6827,P(-2o≤X≤+2σ）≈0.9545. 坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分 A.4772 B.6827 布N(44,4),下车后步行到家要5分钟；乘坐 C.3413 D.9544 线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分 3.(多选)(2024·山东菏泽高二期末)已知随机 布N(33,16),下车后步行到家要12分钟.下 变量X~N(4,2),若P(X>6)=a,P(4<X<6)= 列说法从统计角度认为不合理的是() b,则 ( (参考数据：Z~N(,σ2)，则P(u-o≤Z≤+ A.atb= σ)≈0.6827，P(u-2o≤Z≤+2σ）≈0.9545， B.P(X<2)=a P(u-3σ≤Z≤+3σ）≈0.9973.) C.E(2X+1)=8 D.D(2X+1)=8 A.若乘坐线路B,18:00前一定能到家 4.(2024·湖南衡阳高二月考)设X~N(u1,0), B.乘坐线路A和乘坐线路B在17：58前到家 Y~N(2,σ)，这两个正态分布密度曲线如图 的可能性一样 所示.下列结论中正确的是 ( C.乘坐线路B比乘坐线路A在17：54前到家 的可能性更大 X的正态分 Y的正态分 D.若乘坐线路A,则在17：48前到家的可能性 布密度曲线 布密度曲线 不超过1% 0 8.(2023·湖北武汉高二月考)已知随机变量X, A.P(Y≥2)≥P(Y≥1) B.P(X≤o2)≤P(X≤01) Y,其中X-B(6,3),Y-N(,o2),E(X)= C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) E(Y),P(IYI<2)=0.3,则P(Y>6)= D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t) 第七章黑白题45 9.(2024·浙江绍兴高二期中)对一个物理量做 值)估计这100个购物群销售脐橙总量 n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理 的平均数. 量的最后结果.已知最后结果的误差6n~ (2)假设所有购物群销售脐橙的数量X~ N(0,1）,为使误差8，∈[-0.5,0.5]的概率不 N(u,o2),其中u为(1)中的平均数， σ2=14400.若该脐橙基地参与销售的购 小于0.9545，则至少需要测量的次数 物群约有1000个，销售的脐橙在[256， 是 .(若X~N(u,σ2)，则P(u-2σ≤ 616)(单位：盒)内的群为“A级群”，销售 X≤+2σ）)≈0.9545) 数量小于256盒的购物群为“B级群”， 10.(2024·河南驻马店高二期末)二项分布 销售数量不小于616盒的购物群为“特 和正态分布是两类常见的分布模型，在实际 级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励 运算中二项分布可以用正态分布近似运算. 600元，每个“A级群”奖励100元，对 即：若随机变量X~B(n,p),当n充分大时，X “B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需 可以用服从正态分布的随机变量Y近似代 要准备多少奖金？（群的个数按四舍五 替，其中X,Y的期望值和方差相同，一般情 入取整数) 况下当np≥5，n(1-p)≥5时，就有很好的近 附：若X~N(u,o2),则P(u-0≤专≤+ 似效果该方法也称为棣莫弗—拉普拉斯 0）≈0.6827，P(u-20≤专≤u+2σ)≈ 极限定理.如果随机抛一枚硬币100次，设正 0.9545,P(u-3o≤≤+3σ）≈0.9973. 面向上的概率为0.5，则“正面向上的次数大 于50、小于60”的概率近似为 .(结 果保留三位小数)》 (参考数据：X~N(u,σ)，则P(u-o≤X≤u+ o）≈0.6827，P(u-2≤X≤u+2o)≈ 0.9545,P(u-3σ≤X≤u+3σ)≈0.9973) 11.(2024·湖南永州高二期末)随着网络技术 的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新 渠道2023年11月某地脐橙开始采摘上市， 脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售 情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 [100,200) 12 [200,300) 18 [300,400) m [400,500) 32 [500,600] 18 (1)求实数m的值.并用组中值（每组的中点 进阶突破拔高练P14 选择性必修第三册·RJ黑白题46而又考虑到子N和子N都是整数，则N一定是5的整数倍，于 是N=145.即当N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即 P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 11.解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)= C3p2(1-p)18.因此f'(p)=C2[2p(1-p)18-18p2(1-p)7]= 2Cp(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时， ∫'(p)>0(p)单调递增；当pe(0.1,1)时，∫'(p)<0,f(p)单调递 减.所以f(p)的最大值点为po=0.1. (2)由(1)知，p=0.1.()令Y表示余下的180件产品中的不合格 品件数，依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,且 E(Y)=180x0.1=18,以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490. (ⅱ)应该对这箱余下的所有产品作检验.理由：如果对余下的产品 作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400, 故应该对这箱余下的所有产品作检验. 7.5正态分布 白题基础过关 1.ABD解析：由正态分布密度曲线的几何特点可知：曲线在x轴上 方，且与x轴不相交，故A正确；曲线关于直线x=μ对称，当x=4时， 曲线处于最高点，当向左、右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间 高、两边低”的钟形曲线，故D正确；当x<u时，曲线上升，当x>μ时， 曲线下降，并且当曲线向左、向右无限延伸时，以x轴为渐近线，向 x轴无限靠近，故B正确；当4一定时，曲线的形状由σ确定，σ越 小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“倭胖”，总体分 布越分散，故C错误.故选ABD. 2.D解析：由正态分布密度函数解析式知u=-3,=√2.故选D. 3.D解折：设z-g则B(2)=s(行）=0，(2)D0 2 D(=1.Z=-N(0,1),故选D. 4.C解析：因为X-N(2,4),YN3,g ,所以C2的对称轴为直线x= 3,C1的对称轴为直线x=2,又4>1 ,所以C,的形状偏瘦高一些故选C 四方法总结 1.正态分布的图象特征： (1)要确定一个正态变量的概率密度函数的解析式，关键是求解析式 中的两个参数，σ的值，其中4决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲 线的形状和最大值有关，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 (2)正态曲线的左右平移只改变其均值的大小，不改变方差的大小」 也就是平移变换不改变随机变量的方差，只有沿x轴方向的伸缩变换 才改变其方差， 2.正态曲线的性质： (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=4对称； (3)曲线在xμ处达到蜂值1 0②m (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)曲线与x轴之间的面积为1； (6)当σ一定时，曲线随着4的变化而沿x轴平移，如图①所示： =0.5 ty 4=0 r=0.5 L=0 o=I g=2 3-2-10123 -3-2-10123 ①D (7)当4一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中：口越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， 如图②所示. 选择性必修第三册·RJ 5.CD解析：由随机变量X服从正态分布N(12,σ2)，且P(X≥9)= 0.7,可得P(X<9)=0.3,根据正态分布曲线的对称性，可得P(X> 15)=P(X<9)=0.3,所以A错误，C正确：由正态分布曲线的对称 性，可得P(9≤X≤15)=1-2P(X<9)=0.4,所以B错误，D正确.故 选CD. 6.-2解析：.P(X>0)+P(X≥-4)=1，又P(X<-4)+P(X≥-4)= 1,.P(X>0)=P(X<-4).又0与-4关于x=-2对称，故曲线关于直 线x=-2对称，即u=-2.故答案为-2. 1 x-802 7.B解析：，密度函数f(x)= e20,.该市这次考试的数 10√2 学平均成绩为80分，该市这次考试的数学标准差为10，故A,D正 确；从图象上看，曲线关于直线x=80对称，且50与110也关于直线 x=80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数 相同，故C正确.故选B. 05080110 8.500解析：因为成绩X服从正态分布N(150,σ2)，即正态曲线关于 直线=150对称，因为成绩小于130的有300人，所以P(X<130)= P10)=10G所以P(150<170)=分6G人数约 为 6×1600=500.故答案为500. 9.3解析：因为产品质量指标服从正态分布N(171,o2),P(u-3σ≤ X≤u+3σ)≈0.9973，且质量指标介于162至180之间的产品为良 品，良品率达到99.73%，所以171-3w≥162,171+30≤180，解得σ≤ 3,所以σ至多为3，故答案为3. 黑题 应用提优 1.ABC解析：依题意，X~N(80,σ2)（σ>0），所以u=80,所以P(X> 80)=0.5,A选项正确：σ越大，正态分布的最高点越矮，远离=80 的数据越多，P(70<X<90)越小，B选项正确：根据正态分布的对称性 可知P(X>60)=P(X<100),C选项正确；P(60<X<70)=P(90<X< 100),D选项错误.故选ABC 2.B解析：由题知曲线C为正态分布N(0,1),所以4=0，σ=1，所以 P(u-0≤X≤u+σ)=P(-1≤X≤1)≈0.6827，所以阴影部分的概率 P(0≤X≤1)≈0.6827 2 =0.34135，设落入阴影部分的点的个数为x, 根据频率估计概率，有200000.34135，解得x=6827.故选B, 3.ABD解析：对于A,因为u=4,P(X>6)=a,P(4<X<6)=b,所以 P(X>4)=P(4<X<6)+P(X>6)=a+b=0.5,故A正确：对于B,因为 4=4,P(X<2)=P(X>6)=a,故B正确：对于C,因为E(X)=4,所以 E(2X+1)=2E(X)+1=9,故C错误：对于D,因为D(X)=2,所以 D(2X+1)=4D(X)=8,故D正确.故选ABD 4.C解析：A选项：X~N(u1,o)、Y~N(u2,σ3)的密度曲线分别关于 直线x=u1、x=2对称，因此结合所给图象可得1<μ2，所以P(Y≥ 凸2)<P(Y≥1)，故A错误；B选项：又X~N(w1,o)的密度曲线较 Y-N(h2,o)的密度曲线“瘦高”，所以0<o1<o2,所以P(X≤o2)> P(X≤σ1)，故B错误；C,D选项：由密度曲线与横轴所围成的图形 的面积的意义可知：对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤ P(Y≥t),故C正确，D错误故选C. 5.B解析：因为质量M(单位：g)服从正态分布N(30,o2),且 P(M<28)=0.2,所以P(28<M<32)=2×(0.5-0.2)=0.6,若从该果园 的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g~32g的单果的个数 X~B(100,0.6),所以E(X)=100×0.6=60.故选B. 6.C解析：因为随机变量X,Y满足X~N(3,σ2)，Y~N(1,σ2)，则随 机变量X和Y所对的正态密度曲线的形状相同，它们的对称轴分别 为x=3和x=1,因此，P(>2)=P(X>4)=0.1,而Z=Y-1,则P(Z> 1)=P(Y-1>1)=P(Y>2)=0.1,于是得P(Z2<1)=P(-1<Z<1)=1- 0.1×2=0.8,所以P(Z2<1)的值为0.8.故选C. 7.A解析：设乘坐线路A所需时间为X分钟，则到家所需时间为(X+ 10)分钟，其中X~N(44,4);设乘坐线路B所需时间Y分钟，则到家 黑白题22 所需时间(Y+17)分钟，其中Y~N(33,16).对于A,若乘坐线路B, P(45)=2[1-P(21≤Y≤45)]=7×(1-0.973)=0.0135，即 乘坐线路B,18:02能到家的概率为0.00135，即18：00前不一定能 到家，所以A错误：对于B,乘坐线路A在17：58前到家的概率为 P(X<48)=2[1-P(40≤X≤48)]+P(40≤X≤48)=2×(1- 0.9545)+0.9545=0.97725,乘坐线路B在17：58前到家的概率为 P(<41)=[1-P(25≤Y≤41)]+P(25≤Y≤41)=3x(1- 0.9545)+0.9545=0.97725,所以乘坐线路A和乘坐线路B在17：58 前到家的可能性一样，所以B正确；对于C,乘坐线路A在17：54前 到家的颜率为P(K<4)=子乘坐线路B在17：54前到家的概常为 PV<37)=[1-P(29≤y≤3)]+p(29≤Y≤37)2×(1 0.6827)+0.6827=0.84135>7,所以乘坐线路B比乘坐线路A在 17:54前到家的可能性更大，所以C正确：对于D,乘坐线路A,则在 17:48前到家的概率为P(X<38)=之[1-P(38≤X≤50)]-× (1-0.9973)=0.00135<0.01,所以D正确.故选A. 8.02解析：因为X~B(6,写），所以B()=6x写-2.因为Y N(4,σ2)，所以E(Y)=,又因为E(X)=E(Y),所以u=2,因为Y~ N(u,o2),所以P(Y<2)=0.5,且P(Y>6)=P(Y<-2),又因为 P(1Y1<2)=0.3,所以P(Y<-2)=0.2,所以P(Y>6)=0.2.故答案为 0.2. 9.16解析：因为误差en∈[-0.5,0.5]的概率不小于0.9545，所以 1,即 [4-20,u+20][-0.5,0.5],由题意可0.5≥2g→4≥√元 1 n≥16，所以至少需要测量的次数是16.故答案为16. 10.0.477解析：由题意得随机抛一枚硬币100次，设正面向上的概率 为宁，同时设正面向上的次数为X,则XB(0,分)，所以 8(0=10x分=50,0(x0=10x分×(1-分）=25，此时符合 np≥5，n(1-p)≥5，故有X~N(u,o2),且u=E(X)=50,a2= D(X)=25,设所求概率为P,因为P(-2σ≤x≤+2σ）≈0.9545， 所以由正态分布对称性得P=09545-0.47.故答案为0.47. 2 11.解：(1)由题意得，12+18+m+32+18=100,解得m=20. 则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为10(150x12+250x18+ 350×20+450×32+550×18)=376. (2)由题意，=376，σ=120，则256=4-0,616=4+2σ， 故P(256≤X<616)=P(u-g≤Xu+2o)=】 XP(u-o≤Xu+o)t 1 2×P(n-20≤X4u+20)≈2×0.6827+2×0.9545=0.8186，故 “A级群”约有1000×0.8186≈819（个）； .1 P(X≥616)=P(X≥u+2o)=Z[1-P(u-2g≤X<4+20)]= (10.9545)=0.0275,放“特级群”约有1000×0.2 23(个). 则依题意，需要准备的奖金为819×100+23×600=95700（元），即该 脐橙基地大约需要准备95700元奖金 专题探究2条件概率与排列组合的综合应用 黑题专题强化 1.D解析：事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二 棒”，则P(4)=CA3 A4=,P(AB)=42=6,所以P(BIA)= 参考答案 1 得日后故法n 4 2.D解析：共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高 三年级4人， 采用抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，基本事件总数 n=A3A:=241920,其中高一年级3人不相邻包含的基本事件个 数m=AAA8=86400,.高一年级3人不相邻的概率P=严= 24192014故选D 864005 3.D解析：每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻 ,”和阴爻“ -”,在所有重卦中随机取一重卦， 记事件A=“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B=“取出的重卦 中哈有3个阳交P1兰忍，P(8)-号忍则 20 P(B1A)=S7=0故选D. P(A) 64 4.D解析：从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至 少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同一 双”为事件B,事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一 双”，“取出的袜子怡好四只是两双"，则P(A)-C4CCC+c好_2 C 351 又P(AB)= CeSC-装则P(B14)=号即随机法 C 4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为 号放选D 5.ABC解析：对于A,因为事件M与事件N可能同时发生，所以事 件M与N不互斥，故A正确； 对于B,甲、乙、丙、丁四名同学每人从A,B,C三种卡片中随机选取 一张，每种卡片至少有一人选择的选法共有C泾A=36(种)，其中甲 远择卡片A选法有CA号+CA=12(种)，故P(0=号了，乙选 卡片B选法有C号+C好号=2（种），放P(N=名=甲选 卡片A且乙选择卡片B选法有C+1+C=5(种)，故P(MN)=36, 5 5 5 P(M01=i2,P(M1w)=PM_365 所以P(NIM)=P(NMM-36_5 P(N了2，所 3 3 以P(NIM)=P(MIN),故B正确；对于C,P(MUN)=1-P(MW)= 1-5-3站，故C正确；对于D,P(MUN)=P(M)+P(N)-P(Mw)马 吉兮名-号放D结误枚击AC 6. 解析：事件A:从礼盒中任取两个粽子，有一个是肉棕，事件B: 6 从礼盒中任取两个粽子，有一个是蛋黄粽，一个是肉粽，根据古典概 型可得，P(A)= e8G名a= =cG5,根据题意所求概 C 15 率为P(B1A)-P4B).28=三故答案为 P(A)96 6 14 7.1解析：根据题意，设事件A为“甲被安排在天和核心舱”，事件B 6 为“乙被安排在天和核心舱”，将甲、乙、丙、丁安排到3个航天舱，需 要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有CA=36(种)安排 方法，甲被安排在天和核心舱，有A+CA子=12（种）安排方法，则 黑白题23