第6章 专题探究1 杨辉三角的应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

和为2，所以c+C以+C2=1+n+n(n,》=2,整理得n2+n-42=(n 2 6)(n+7)=0,解得n=6.故T,+1=C62-x23(0≤r≤6，r∈Z).若 T,是常数项，则2-子-0，得=子N,故展开式中被有告数现 (2)解：由(1)得，T+1=C2-x2字(0≤r≤6，r∈Z).当且仅当2- 3为整数时，T+1是有理项又因为0≤r≤6，r∈Z,所以r=0,3,6. 4 故展开式中有3个有理项，分别为T1=Cg×2x2=64x2,T4=C2× 22x-2=160x2,T2=C8×2°x6=x-6, 专题探究1“杨辉三角”的应用 黑题专题强化 1.C解析：结合题意可得入=3+3=6,4=4+6=10，故选C. 四方法总结 杨辉三角中的数的特点： (1)每一行有(n+1)个数字，每一行两端的数字均为1； (2)从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上） 的两个数字的和. 2品1013解析：第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 C212.2 C326611 第2024行有2025个数，中间的一个数最大，是第2024+1=1013.故 2 答案为品：1013 3.32解析：第n行从左到右第11个数为C0,第12个数为C1,依题 n 。101·(n-10)im-102,解得 。=1即101·（m-10)L-11！·(n-11)111 n！ 11！·(n-11) n=32.故答案为32. 4.B解析：由题意可知，从第2行开始，第n行的第3个数字为C2,故 从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为C子+C?+C经+…+ C324=Cg+C3+C+…+C324=C4+C+…+C吃24=…=C524+C吃24= C32s.故选B. 5.4084解析：根据题意，2为杨辉三角的第三行中去除1后的数，共 1个，3,3为杨辉三角的第四行去除1后的数，共2个，4,6,4为杨辉 三角第五行去除1后的数，共3个…故可设去除1后，杨辉三角从 第n(n≥3，neN*)行开始，共有(n-2)个数在数列{an}中，则前n行 共有1+2+3++(n-2)=n-2m-)(个)数，又当n=12时， 2 12-2)(12-D=55<56,n=13时，13-23-1=6>56，放5%中 包括了杨辉三角从第3行开始至第12行去除1后所有的数，以及第 13行去除1后的第一个数，故S6=C2+(C+C好)+(C4+C+C)+ (Cg+C2+C+C)+…+(C+C2+…+Cl0)+C12=(22-2)+(23-2)+ (24-2)+(23-2)+…+(211-2)+12=(22+23+…+211)-2×10+12= 4x(1-20)-8=22-12=4084.故答案为4084 1-2 6.951解析：由杨辉三角性质，得S(31)=C2+C号+C+C+…+C16+ C16+C,=(C2+C时+…+C6)+(C3+C3+…+C,)=(C经+C+Cg+…+ C16)+(C+C3+…+C)-1=C,+C8-1=951.故答案为951. 第六章章末检测 1.B解析：因为c经=A,所以22mx(2n-1)=5x4×3×2x1,即(2n+ 15)(n-8)=0,又n∈N",2n≥2，所以n=8.故选B. 2.D解析：因为每名同学都有4种选择，所以由分步乘法计数原理可 知不同选法的种数为4×4×4×4×4=45.故选D. 3.D解折：由题意知，(2.2)°展开式的通项为71=C5(). x 参考答案 (2厂=(-2rc,令r=3,得71=(-2)9c= -160x3,即第四项为-160x3.故选D. 4.C解析：从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可（剩下的 4个位置放奥运会吉祥物)，C2=15.故选C. 5,B解析：因为A在B的前面出场，且A,B都不在3号位置，则情况如 下：①A在1号位置，B有2,4,5三种位置选择，有3A3=18(种)次 序：②M在2号位置，B有4,5号两种选择，有2A=12(种)次序：③M 在4号位置，B有5号一种选择，有A号=6（种）次序.故共有18+12+ 6=36(种)次序.故选B. 6.A解析：因为3224=9102=(10-1)102=C902×10102-C02× 101o1+…+C188×102-C482×10'+C吲8船×10°，而C9012×101o2- Co2×10101++C188×102-C18船×10是10的倍数，所以3224的 个位数是C8×10°=1.故选A. 7.C解析：先对正方形ABCD涂色，共有5种颜色可供选择，然后涂 △ABE区域，有4种颜色可供选择，接下来涂△BCF区域，有3种颜 色可供选择，若△CDG区域与△ABE区域同色，则△ADH区域有3种 颜色可供选择；若△CDG区域与△ABE区域不同色，则△CDG区域 有2种颜色可供选择，△ADH区域有2种颜色可供选择.由计数原理 可知，不同的涂色方法种数为5×4×3×(1×3+2×2)=420.故选C. 8.C解析：最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形 有A4=24(种)，故A正确；最后一只次品正好在第五次测试时被发 现的不同情形有C6×C×A4=576(种)，故B正确；所有次品正好是 第六次测试时被全部查出的不同情形有C?×C×A+A= 7920(种)，故C错误：因为共有10只不同的实验产品，所以4只次 品全测出至多需要九次测试，故D正确.故选C. 9.BD解析：展开式共有7项，故A错误；展开式的各二项式系数的和 为26=64，故B正确：展开式的第6项是C×51(-x)5=-30x,其系 数为-30，故C错误：展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大 故D正确.故选BD. 10.BCD解析：对于A,参观券相同，只需从5人中选出3人，方法有 C3=10(种)，故A错误；对于B,将5封信投人3个邮筒，每封信都 有3种选择，故不同的投法有3种，故B正确；对于C,从6名男生 和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生， 包含的类别有1男3女，2男2女，3男1女，即C6×C+C×C+C× C4=194(种)，故C正确：对于D,现将5封信分成4组有C?种，再 将分好的4组全排列，对应4个信箱，有A4种，则不同的投法共有 C×A4种，故D正确故选BCD. 11.BD解析：由于x8=[-t+(x+t)]8,所以a1=Cg(-t)7=-8t7=8,所 以t=-1,a2=C?（-t)6=28t6=28,故A错误，B正确， x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a8(x-1)8,令x=1,可 得a=1;令x=2,可得28=a0+a1+a2+a3+…+ag;令x=0,可得0= 28 a0-a1+a2ag+…+ag;由此可得a2+a4+a6+ag=2-a0=128-1= 127,故C错误，D正确，故选BD. 12.40解析：由题意小李借的书可分为3类，由分类加法原理得15+ 16+9=40,故答案为40. 13.2解析：x(a-x)6的展开式中含x2的项的系数为Cg·a5· （-1)=-192,解得a=2.故答案为2. 14.113003解析：依据给定条件我们发现第8条线为1,6,10,4，第 9条线为1,7,15,10,1，第10条线为1,8,21,20,5，第11条线为1， 9,28,35,15,1,第12条线为1,10,36,56,35,6，第13条线为1,11， 45,84,70,21,1,第14条线为1,12,55,120,126,56,7，第15条线为 1,13,66,165,210,126,28,1,第16条线为1,14,78,220,330,252 84,8,第17条线为1,15,91,286,495,462,210,36,1，第1条线和 第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数，第5条线和第 6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数，所以线的条数每增 加2，其含有数字的个数增加1，所以第21条线上的数共有11个数， 我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数为1，第5条线有1， 3,1,所以最大数为3，第9条线有1,7,15,10,1，所以最大数为15 第13条线有1,11,45,84,70,21,1，所以最大数为84，第17条线有 1,15,91,286,495,462,210,36,1,所以最大数为495，若设线的条数 为4n+1,则第21条线中的最大数也满足第1,5,9,13,17条线上的 最大数的规律，而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行，第 黑白题09专题探究1“杨辉三角”的应用 黑题 专题强化 限时：30min 题组1 “杨辉三角”的简单应用 题组3 “杨辉三角”中的数列求和问题 1.(2023·湖南怀化高二期中)(a+b)”(n∈ 4.（2024·安徽芜湖高二期中）杨辉三角（如图 N*),当n=1,2,3,4,5,6时展开式的二项式 所示)是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角 系数表示形式： 中从第2行到第2024行，每行的第3个数字 (a+b1------- (a+b}2.-----. 之和为 2 ( (a+b)3----…13 3 (a+b)---14入41 第0行 (a+b5-…151051 第1行 (a+b)-1615201561 第2行 2 借助上面的表示形式，判断入与的值分别是 第3行 33 1 第4行 14641 ( 第5行 15101051 A.5,9 B.5,10 C.6,10 D.6,9 A.C24 B.C2o25 题组2“杨辉三角”中的比值问题 C.C24-1 D.C22s-1 2.(2024·河北张家口高二月考)在我国南宋数 5.（2024·陕西西安高二月考)我国 学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一 南宋数学家杨辉1261年所著的 书中展示了二项式系数表，即杨辉三角.数学 《详解九章算法》一书里出现了如图所示的 爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，第12行 表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成 中从左到右第2个数与第3个数之比 就.在杨辉三角中，若去除所有为1的项，依次 为 ,第2024行的第 个数 最大 构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，记作 第0行 数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn, 第1行 第2行 则S56= 第3行 第4行 6 第5行 51010 3.(2024·山东菏泽高二期中)如图 121 133/1 1331 在由二项式系数所构成的杨辉三 1文4641 1 46/ 〔1文5101051 15i0/1051 角中，第 行中从左至右第11与第12 个数的比为1：2. (第5题)》 (第6题) 第0行 6.（2024·湖北武汉高二月考)如图所示，在杨辉 第1行 第2行 三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个 第3行 第4行 锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…记这个数列 第5行 前n项和为S(n),则S(31)= 第六章黑白题17 第六章 章末检测 (时间：120分钟 总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 组成)，给△ABE、△BCF、△CDG、△DAH这 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻 符合题目要求的， 区域（即图中有公共，点的区域）不同色，已知 1.（2024·河南郑州高二期中)若C2n=A,则n= 有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方 ( 法种数是 A.6 B.8 C.9 D.10 2.（2024·陕西西安高二期中)5名同学分别从 4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为 ( A.9 B.20 C.54 D.45 3.(2024·浙江宁波高二期中)在 (-2) A.360 B.120 的 0 C.420 D.216 展开式中，第四项为 8.(2024·江苏南京高二月考)有10只不同的实 A.240 B.-240 验产品，其中有4只次品，6只正品现每次取 C.160x3 D.-160x3 一只测试，直到4只次品全测出为止，则错误 4.(2024·河南信阳高二期末)“弗里热”是 的是 ( ) 2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物，其中 A.最后一只次品正好在第四次测试时被发现 残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢， 的不同情形有24种 现将4个这种奥运会吉祥物和2个这种残奥会 B.最后一只次品正好在第五次测试时被发现 吉祥物排成一排，则不同的排法有 ( 的不同情形有576种 A.6种 B.12种C.15种D.60种 C.所有次品正好是第六次测试时被全部查出 5.（2024·广东茂名高二月考)某校A,B,C,D,E 的不同情形有7200种 五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出 D.4只次品全测出至多需要九次测试 场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 序有 ( 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 A.18种 B.36种 C.60种 D.72种 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 6.（2024·江苏镇江高二期中)324的个位数是 有选错的得0分 ( 9.(2024·湖南师大附中高三月考)关于(5-x) A.1 B.3 C.6 D.9 的展开式，下列判断正确的是 () 7.(2024·河南许昌高二期末)如图是在“赵爽 A.展开式共有6项 弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平 B.展开式的各二项式系数的和为64 面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图” C.展开式的第6项的系数为30 (由四个全等的直角三角形和一个小正方形 D.展开式中二项式系数最大的项是第4项 选择性必修第三册·RJ黑白题18