第5章 专题探究6 数学文化与探究创新-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

故g'(t)>0恒成立，故g(t)在(0,1)上为增函数，故g(t)> 8g(0)=0,即八x)>-2在(1,2)上恒成立.当6<子时，则当 0品1时g00撒在(0小品)上0为 减函数，故g(t)<g(0)=0,不符合题意，舍去.综上， )>-2在(1,2)上恒成立时6≥子而当b≥子时，由 上述过程可得g(t)在(0,1)上单调递增，故g(t)>0的解为 e(0,1),即>-2的解为xe(1,2).综上，6≥子所 以6的取直范周为[子+）】 11.B解析：f代x)=x3+ax+2,则'(x)=3x2+a,若fx)存在3个零 点，则f(x)存在极大值和极小值，则a<0,令f'(x)=3x2+a=0, 解得=-√写=√写且当e（”,√兮)U (√+)时，f'>0,当xe(√写写)时， ∫()<0，故)的极大值为f(-√骨)，极小值为 f写)，若)存在3个零点，则 (a, /)o, 3√3-√3 +2>0, 解得a<-3,故选B. -a/-a,/-a 3√3√3 +2<0, 12()证明：由题得(1+-3=3 2(3),因为e(0,+,所以0设g) 1x跳，o0,则g(e)=0在(0，+)上恒成立， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，g(0)=1-3k>0,令 1 g()=0→n=31,所以当xe(0,)时，g(x)>0,则 f'(x)>0;当x∈(x,+∞)时，g(x)<0,则f'(x)<0,所以 f(x)在(0，x)上单调递增，在(xo,+∞)上单调递减，所以 f(x)在(0，+∞)上存在唯一极值点.对函数y=ln(1+x)-x, 1产<0在(0，+)上恒成立，所以y ln(1+x)-x在(0，+o)上单调递减，所以y=ln(1+x)-x< ylxo=0在(0，+∞)上恒成立.又因为f(0)=0,所以 f-1小>0，且京证-1，h(1+),因此当时， f)<2-=号(1-2)<0，所以)在(0，+)存 在唯一的零点。 (2)(i)解：由(10知=还1，则名+1= 3f'(x)= 2()因为8)-时名+)-名-，所以 选择性必修第二册·RJ 1 -t(x1+t)2 t(x1-t)2 1+名)(+*1(+n+(,-+1)(+D=3h· 品]-2国为10 (0,x1),所以2-x-2x1<0,(1+x1)2-t2>0,所以g(t)= 6k2(t2-x7-2x1） (1+,)-平c0,即g(④在区间(0，)上单调递减 (iⅱ)解：2x,>x2,证明如下：由(1)知，函数g(t)在区间 (0,x1)上单调递减，所以g(0)>g(x),即0>f(2x.又 f代x2)=0,由(1)可知f(x)在(0，+∞)上单调递减，x2∈ (0,+0),且对任意x∈(0，x2)有f(x)>0,所以2x1>x2 专题探究6数学文化与探究创新 黑题 专题强化 1.C解析：当n=2k(keN*)时，3"=32=3*×3*，所以f代3“)= f324)=13-31=0,当n=2k-1(k∈N*)时，3=32-1=3-1× 3,则f(3)=f(321)=131-31=2×3-1,故数列{(3)} 的前2025项的和为2x(34+3+32++31)=2x1-31. 3 31013-1. 2.ACD解析：对于C,若{an}具有性质2，则(i-j)m4+ (j-k)m+(k-i)m=c①，交换i,j的位置→(Gj-i)m+(i- k)m,+(k-j)m,=c②，①+②→2c=0,c=0,C正确.对于A, 若a,=2n-1,m.-1+2-1)n=n,对任意两两不相等的正 2n 整数i,j,k,(ij》m+(j-k)m:+(k-i)m,=(ij)k+(j-k)i计(k- i)j=0,符合条件，.{an}具有性质2，A正确.对于B,mn= 21,取=1=2,6=3(》m+0-)m+(k-i)m-1x 子+(-1x1+2x号号≠01e.不具有性质n,B储对 于D,令i=1,j=2,记Sn为数列{an}的前n项和，{an}具 有性质n(i0a,+U-)m-0m=0-及+(2-6 a(-1).=08=(2-0a+”.(- ①.6s2时-(3--10a+k-10(k-2)@, ①-②→a4=(3-2k)a1+(a1+a2)(k-1)=(a2-a1)k+2a1-a2, ∴.a+1-a4=a2-a(k≥2且keN*),而k=1时，上式也成立， a1-an=a2-a1对HneN*恒成立，.{an}为等差数列， D正确. CD解折对于A,由4=a可得S=,等式两边同 时吸可时2任安 1=L1,所以{a.}是P(2,0)数列，故A错误；对于B, n+l an anti 由a,=2可得S=21-2）-21-2,所以8.+2=2，即有 1-2 1=1=11=11,所以{a,是P(1,2)数列，故 Sn+227221a。a+1 B正确：对于C,已知P(2,0)数列，则有2S。= 黑白题50 ,当n≥2时，5.24)8.12a.a anantl an-1an 、,两式 anantl anantl an-1an 相减得a.2aa）2a,-)又a大0，所以1 a1,即2(a1-a,)(a,-ai)=a1(a. 2(a1-an)2(a。-an-1) a-1)-a-1(a+1-an),整理得(an+1-an)an=an(an-an-1),又 a,≠0，所以2an=an-1+a1,所以{an}是等差数列，故选项 C正确：对于D,因为数列a,是P(1,B)数列，所以g+B 11,所以VneN,a≠0，当n≥2时，S,+B=a,a an An+l an+l-an (①，S1+B=a18(i),(i)-(i)可得a,= anan+1 an-an-1 an+1-an -,因为a,≠0，所以1=，所以(a1 @n-an-1 an+l-an an-an-1 a)(a.-a-1)=a1(an-a-1）-a-1(at1-a,),整理可得a2= am+1a-1,又a.≠0，所以{an}是等比数列，故选项D正确。 4.D解析：设函数f代x)在[0,3π]上的“拉格朗日中值点”为 ,由题意可知3m）-f0）=f(）,即os3-0s0 3π-0 3π-0 2 2 -sino心3元=sino3元e(0,1),由h(x)=sinx在[0,3m] 的图象可知，y= 2与函数h(x)的图象有4个交点，即方程 =加存在4个解，即“拉格朗日中值点”的个数为4 5.B解祈：依题意，E(x,)=m ▣[aw-a四]=▣2x-y+ △x △x)=2x-y,同理可求得F,(x,y)=2y-x,所以F(x,y)+ F,(x,y)=x+y,设z=x+y,则y=-x+z,由F(x,y)=x2+y2-xy= 1,得x2+(-x+z)2-x(-x+z)-1=0,3x2-3zx+z2-1=0,此方程 有解，所以4=9z2-12(z2-1)=-3z2+12≥0,2≤4，-2≤z≤2. 6.f代x)=（答案不唯一)解析：由题意，当x>0时， ()2,整理得f'()-2)=0.设g(x)-, f(x) 则g(x)=f'()-_f'(-=0,故 x2 x2+1 g()=C,C为常数，由g(x)=-C得x)=C·,故答 案为f(x)=(答案不唯一). 全书综合检测 1.D解析：对于选项A:由余弦函数的导数可得(cos4x)'= -4sin4x,故A错误；对于选项B:由复合函数求导可得 (e2“)'=e2“·(2x)'=2e2,故B错误；对于选项C:因为 (x2-2)'=(x2)'-(2)'=2x,所以C错误；对于选项D:因为 ln2为常数，所以(ln2)'=0,故D正确. 2.A解析：等差数列{an}中，a2=4,a5=12,所以S6= 6(at）=3(a+a,)=48. 2 3.B解析：f'(x)=e2“(2x2+2x-2a),由题意得f'(x)≥0在 [-1,2]上恒成立，即2x2+2x-2a≥0→a≤x2+x在x∈ [-1,2]上恒成立，则a≤(x2+x)mxe[-1,2],当x=2 参考答案 时，+取得最小值，故a≤子 4.D解析：设等比数列的公比为g,由a2a3=2a1=a1a4→ a4=2,由为a4与2a,的等差中项，得a4+2a,=2→a= 5 子，所以2-gq=74,=a=20,=16,故5 1 1 aa a1·(1-g4) -=30. 1-9 5.C解析：Sy=a1+a2ta3+a4++an+a28ta2g=a1+(a2+a3）+ (a4tas)+…+(a6+am）+(a28+a29)=1+2×2+2×4+…+ 2×26+2×28=1+2×(2+4+6…+26+28)=421. 6.A解析：已知a+1>an恒成立，即31+入(-2)+2>3”+ (-2)+1恒成立，n为奇数时，31-入·2+2>3”+入·2+1， 3A<(3）广”，(3)广的最小值是子，所以3A<号A<7n 3、 1 为偶数时3A·2>3”-A·2,3<(停）广，(3）厂 的最小值是？所以-3<号，A>子所以-子A<分 7.C解析：设切点坐标为(，h)(>0),y=士切线斜 1 1 率k= 在点(，血)处的切线方程为y=(x-)+ nt=+lht-l.切线过点(a,b),b=么+lnt-1.过点 (a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，.令g(t)=a+nt- 1,则6与有两个不同交点=（心 0),当a≤0时，g(t)>0,g(t)在(0，+∞)上单调递增，不 合题意；当a>0时，若t∈(0，a),则g'(t)<0;若t∈(a,+∞)， 则g'(t)>0,.g(t)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调 递增，.g(t)mn=g(a)=1+lna-1=lna,.b>lna,即e>a. 又a>0,∴.e°>a>0. 8.A解析：因为”(>)+9e,所以'())-9>0，所 e u-]>0,令8-九园9，则函数g在R上 e 单调递增因为3)=27。，所以g(3)=3》-27=0,原不等 式等价于-9>0，即g(x)>g(3),所以>3，所以不等 e 式号e的解集是(3，+) _T=1,所以 9.BD解析：由T。<1,得a>1,由T,=了，得a, =q<1,又q>0,所以0<q<1,故A错误，B正确；因为1a, 是各项为正数的等比数列，9∈(0,1)，有a1>a2>…>a,>ag= 1b,>n>,所以=4,4,8n=(a,4g》=5<1,所以 T To<T6,故C错误；T1<T2<<T,=T8>T>T0>…,则T,与Tg 均为T的最大值，故D正确. 10.ABD解析：函数f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0)，求导得 f'(x)=3a2+2bs+c,由（1)=0，得3a+26+c=0,解得 (f(1)=1, la+b+c=0, 黑白题51专题探究6数学文化与探究创新 黑题 专题强 限时：40min 题组1数列中的创新问题 题组2导数中的创新问题 1.*(2025·广东茂名高二期末)将正整数n 4.*(2025·福建漳州高二月考) 分解为两个正整数k1,k2的积，即n=kk2, 拉格朗日中值定理是微分学的基 当飞，k,两数差的绝对值最小时，我们称其为 本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在 最优分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4 闭区间[a,b]上的图象连续不间断，在开区间 即为12的最优分解，当k,k2是n的最优分 (a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内 解时，定义f(n)=1k,-k2I,则数列{f(3)}的 至少存在一点c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b 前2025项的和为 ( a)成立，其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格 A.31013-2 B.32025-2 朗日中值点”.根据这个定理，可得函数 C.31013-1 D.32025-1 f(x)=cosx在[0,3π]上的“拉格朗日中值 2.整（多选）(2025·山东日照高二期末)已知 点”的个数为 () 数列1a,},设m,=+t+(nN),若 A.1 B.2 C.3 D.4 之 5.整(2025·湖南长沙高二月考)定义：设二 数列{an}满足：存在常数c,使得对于任意两 元函数z=fx,y)在点(xo,y)的附近有定义， 两不相等的正整数i,j,k,都有(i-j)mk+ 当y固定在y。而x在x。处有改变量△x时，相 (Gj-k)m+(k-i)m,=c,则称数列{an}具有性 应的二元函数z=∫(x,y)有改变量△z= 质2，下列结论正确的是 ( A.若an=2n-1,则数列{an}具有性质2 fo+Ax,o)-f(xo),如果m△ 存在，那么 B.若数列{an}的前n项和Sn=2”-1,则数列 称此极限为二元函数z=f(x,y)在点(xo,yo) {an}具有性质2 处对x的偏导数，记作f(xo,y).若z=f(x,y） C.若数列{an}具有性质2，则常数c=0 在区域D内每一个点(x,y)对x的偏导数都 D.若数列{an}具有性质2，则{an}为等差 存在，那么这个偏导数就是一个关于x,y的二 数列 元函数，它就被称为二元函数z=f(x,y)对自 3.(多选)(2025·安徽阜阳高二期末)若数 变量x的偏导函数，记作f(x,y).已知F(x, 列{a,}前n项和为S,满足，1=11 y)=x2+y2-y,若F(x,y)=1,则F(x,y)+ AS.+B anan F,(x,y)的取值范围为 ()》 其中A,BeR,则称{an}是P(A,B)数列，则下 A.(-∞，2] B.[-2,2] 面选项正确的是 C.(0,2] D.[2,+0) A.若an=n,则{an}是P(1,0)数列 6.整(2025·浙江杭州高二月考)定义一个可 B.若an=2”,则{an}是P(1,2)） 讲解C 导函数f(x)在定义域内一点x。处的弹性为 数列 xof'(xo) ,请写出一个定义在正实数集上且任 C.P(2,0)数列是等差数列 f(xo) D.P(1,B)数列是等比数列 意一点处的弹性均为2的可导函数 数学文化与探究创新黑白题71 全书综合检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 A.e>O>a B.In a>0>b 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 C.e>a>0 D.In a>b>0 目要求的， 8.#(2025·江苏无锡高二月考)若定义在R 1.·(2025·陕西西安高二月考)下列求导正 上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足 确的是 ( A.(cos 4x)'=sin 4x B.(e2)'=e2 f'(x)>fx)+9e3)=27e',则不等式/2 C.(x2-2)'=2x-2D.(1n2)'=0 xe的解集是 2.·(2025·陕西渭南高二期末)已知等差数 A.(3,+∞) B.(-∞，3) 列{an}中，a2=4,a5=12,则S6等于 ( C.(-3,+0) D.（-∞，-3) A.48 B.49 C.55 D.54 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 3.*(2025·天津西青区高二期末)已知函数 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 f(x)=(x2-a)e2在区间[-1,2]上单调递增 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 则a的取值范围为 选错的得0分。 9.*(2025·江西赣州高二月考)设{an}是 A.(-0,0] (x,4] B 各项为正数的等比数列，q是其公比，T,是其 前n项的积，且T6<T,T,=Ts>T,则下列结 C.(-∞，6] 论正确的是 4.*(2025·福建龙岩高二月考)若等比数列 A.q>1 为a {a,}的前n项和为Sn,且a,a,=2a1,4 B.as=1 C.T10>T6 与2a2的等差中项，则S4= ( D.T,与Tg均为Tn的最大值 A.29 B.33 C.31 D.30 10.*(2025·广东广州高二期中)已知函数 5.(2025·辽宁朝阳高二月考)在数列{an} f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0)在x=1处取到极 中，已知a1=1且ant1+an=2n,则其前29项 大值1，则以下结论正确的是 和S2的值为 A.3a+2b+c=0 B.b=-2a A.56 B.365 C.421 D.666 C.a>0 6.*（2025·辽宁鞍山高二期末)已知单调递 D九✉)的极小值点为 增数列{an}的通项公式为an=3”+入(-2)n+1 11.禁(2025·福建福州高二月考)已知数列 则实数入的取值范围为 ( {an}满足a+1=a子-2an+2,则下列说法正确 的是 B 5 A.当a1=2时，1<a,≤4(n≥2） B.若数列{an}为常数列，则an=2 7.**(2025·江苏盐城高二月考)若过点(a,b) C.若数列{an}为递增数列，则a1>2 可以作曲线y=lnx的两条切线，则 D.当a1=3时，an=22+1 选择性必修第二册·RJ黑白题72