第5章 专题探究5 导数与不等式、零点的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

专题探究5导数与不等式、零点的综合应用 子错题本 黑题 专题强化 限时：60min 题组1导数与不等式 题组2零点问题 1.*(2025·辽宁沈阳高二期末)已知函数 3.#(2025·湖南长沙高二月考)已知函数 f(x)=x(e*+1)-e*+1. (1)求f(-x)+efx)的值； =e+'(四+1 (2)证明：(e-1)f(x)≥0. (1)求y=f(x)的解析式； 视 (2)若F(x)=f(x)-(x2+x+m)在[-1,2]内有 两个零点，求m的取值范围. 2.*(2025·广东揭阳高二月考)已知函数4.整(2025·陕西榆林高二期中)已知函数 =7✉1， =oa(no） (1)求f(x)的极值； (1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处 (2)证明：27e-4>(1nx)3. 的切线方程； (2)若-1<a<0,证明：函数f(x)至多有一个 零点 第五章黑白题65 第五章 章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 的半径为 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6cm 目要求的 5.*(2025·湖北武汉高二期中)已知f(x)= 1.·(2025·福建厦门高二期末)已知函数 2f(2-x)+x2-lnx,则曲线y=f(x)在点 f(x)在x=1处可导，且1im 1+△)-f1)=2, (1,f(1))处的切线方程为 () 0 4△x A.x-3y-2=0 B.x-3y-4=0 则f'(1)= C.3x-y-2=0 D.3x-y-3=0 1 6.*(2025·重庆九龙坡区高二月考)已知a= C.4 D.8 2 6n3c=e,则下列大小关系正确的是 2.·(2025·河北邢台高二月考)函数f(x) 263 xe2“的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为 ( A.a<b<c B.a<c<b A.8e2 B.6e2 C.c<b<a D.c<a<b C.5e2 D.4e2 7.*（2025·安徽安庆高二月考)设实数m>0, 3.*(2025·福建福州高二期中)已知函数 若对任意的x∈[2，+∞)，不等式2e2血≥0 f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),∫'(x) m 的部分图象如图所示，则 恒成立，则实数m的最小值为 ( A山2 B.1 D.1 4 2e 8.(2025·安徽合肥高二月考)若过点(1，m) 可以作y=xe的三条切线，则实数m的取值范 A.f(x)在(3，+∞)上单调递增 围是 () B.f(x)的最大值为f1) A.(-4e2,0) B.(-5e2,0) C.f(x)的一个极大值点为-1 C.(-5e2,e) D.(0,e) D.f(x)的一个减区间为(1,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 4.*(2025·陕西西安高二月考)某制造商制 造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 造成本是r4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 径.已知每出售1mL该种液体材料，制造商可 得0分 获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径 9.*(2025·湖北襄阳高二期末)下列函数的 为9cm,则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子 图象与x轴相切于点(0,0)的是 选择性必修第二册·RJ黑白题663.解：(1)函数f(x)=-aln(x+1)的定义域为[0，+o),当 a=-1时x)=G+ln(x+1),则r'()=↓+1 2左+7则1)= 1+n2,f'(1)=1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 为y-(1+ln2)=x-1,即y=x+ln2. (2)函数)的定义域为[0，+∞)），f'(x)=1-0 2Ex+1 2+1G2(+1)E,>0①当a≤1时，因为>0， x-2ax+1_(VE-a)2-a2+1 所以f'(x)≥0，所以函数fx)在[0，+∞)上单调递增.②当 a>1时，令f'(x)=0,则x=(a±√a2-1).当x> (a+a2-I)或0<x<(a-√a2-1)时，f'(x)>0.当 (a-√2-1)<x<(a+√a2-1)时，f'(x)<0.所以函数 fx)在[0，(a-√a2-1))和(a+√a2-1),+o)上单调递 增，在(a-√a2-1),(a+√2-1)')上单调递减 综上所述，当a≤1时，函数f(x)在[0，+0)上单调递增；当 a>1时，函数f(x)在[0，(a-√2-1))和((a+√a2-1),+o) 上单调递增，在(a-√a2-1),(a+√a2-1))上单调递减. 4.解：(1)若a=0,则)=hx+行2，f1)=分，又 f'(x)=2xlnx+x+x=2x(lnx+1),故f'(1)=2,所以f(x)在 x=1处的切线方程为y7=2(-）,即4-2-3=0 (2)f'(x)=(2x+a)In x+x+a+x=(2x+a)(In x+1),xE (0,+∞)，当a≥0时，2x+a>0,令f'(x)>0,即nx+1>0,解 得f()<0,解得0x<。,所以)在(0)上 单调递减，在（日，+）上单调通增；当a=乙时'()≥ 0)在(0，+m)上单润递增，当分<。，即子a<0时。 "()0,解得0<号或。新"()0，解得-受 <日，所以)在(0，)，（合，+m)上单调递增，在 (受日）上单调递减：当-号>即a<-是时，令 '(x)>0,解得0c<。或>受，令"()<0，解得。 受，所以)在(0，。)，(，+m)上单调递增，在 (日，2)上单调递减综上：当a≥0时)在(0，) 上单调递减，在（日，+m)上单调递增；当-<a<0时。 在(0,2)，（日，+m)上单调递增，在（受，）】 上单调递减；当a=-子时x)在(0，+m)上单调通增；当 a<名时，)在(0，），（受+x)上单调递增，在 (日，？)上单调递减 参考答案 专题探究5导数与不等式、零点的综合应用 黑题 专题强化 1.(1)解：f(-x)=-x(e+1)-ex+1=-e(x+1)+1-x= 1w+1-)e_-[(e+1)-e+1:-到，因此 e f(-x)+e "f(x)=0. (2)证明：f'(x)=e+1+xe-e=1+xe*,当x>0时，f'(x)>0, 即f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0,又e- 1>0,所以(e-1)fx)>0,当x=0时，f(x)=0,故(e-1)· fx)=0,当x<0时，则-x>0,所以f(-x)>0,由(1)， f(-x)=-efx)>0,所以f(x)<0,又此时e-1<0,所以(e- 1)fx)>0.综上，(e-1)fx)≥0. 2.解：易知函数))方的定义域为(0,1)刀 、（1,+∞)，且f"(x)=nx)3”=n),令f(x)s (Inx) 0,可得x=e.可知当x∈(0,1)时，f'(x)<0,即f(x)在(0,1) 上单调递减；当x∈(1，e3)时，∫'(x)<0,即f(x)在(1，e3)上 单调递减；当xe(e3,+o)时f'(x)>0,即f(x)在(e3,+∞) 上单调递增，故f(x)在x=é3处取得极小值，极小值为 八e)=分7无极大值 (2)证明：当xe(0,1)时，有27e-4>0>(lnx)3恒成立.当x> 1时，构造函数g(x)=e1-x,则g'(x)=e-1-1>0,故g(x) 在(1，+0)上单调递增，于是g(x)>g(1)=0,即e-1>x, 则27e>子x,由(1)可知* 0产写2≥山 故27e4>(lnx)3.综上所述，当x∈(0,1)U(1,+0) 时，27e-4>(lnx)3. 3.解：(1)函数)=e+子()+1，则/“(=e+ 子(0()=1+f(),解得f(=3,所以y 2 fx)的解析式为f(x)=e1+x2+1. (2)F(x)=f(x)-(x2+x+m)=e1-x+1-m,-1≤x≤2，则 F'(x)=e1-1,由F'(x)<0,得-1≤x<1;由F(x)>0,得1< x≤2，故函数f(x)在[-1,1)上单调递减，在(1,2]上单调递 增，当x=1时(x)取得最小值，要使F(x)在[-1,2]内有两 (F(-1)≥0,1e2+1+1-m≥0， 个零点，当且仅当F(1)<0,即1-1+1-m<0,解得 F(2)≥0， (e-2+1-m≥0， 1<m≤e-1,所以实数m的取值范围为(1，e-1]. 4.()解：当a=-1时到=-lh(+1-子+，则/() 1,放"子11=分，又1)=-h2 1 1=-h2+2,放y=)在点(1(1)处的切线方程为) 7(x-10-h2+号，即y=7-h2+1 1 (2证明：)的定义域为(a,+)f"()=名。+1= a-2+ax+x-a_x(x-a-l,由于-1<a<0,故0<a+1<1,当 x-a x-a a<x<0时，∫'(x)<0,f(x)在(a,0)上单调递减，当0<x<a+1 时f'(x)>0,f(x)在(0，a+1)上单调递增，当x>a+1时， 黑白题45 f'(x)<0fx)在(a+1,+o)上单调递减，故f(x)在x=0处 取得极小值，f(0)=aln(-a)>0,因此函数f(x)至多有一个 零点 第五章章末检测 1.D解析：由lim 1+a=2,得1+D=8, 1 4△x △x 可得f'(1)=8. 2.C解析：因为f(x)=x3e24,所以f'(x)=3x2e2“+2x3e2,所 以f'(1)=5e2.所以函数f(x)=xe2“的图象在点(1f(1))处 的切线的斜率为5e2 3.D解析：对于A,由于只有f'(x)的部分图象，不能保证x∈ (3,+∞)时，∫'(x)>0恒成立，故A错误；对于B,由∫'(x)的 部分图象知f(1)是f(x)的一个极大值，但不一定是f(x)的 最大值，故B错误；对于C,在x=-1的左右两侧，f'(x)由负 变正，由极小值点的定义可知，x=-1是f(x)的极小值点，故 C错误；对于D,当x∈(1,3)时，f'(x)<0,故f(x)的一个减 区间为(1,3)，故D正确. 4.B解析：由题意可知，每瓶液体材料的利润y=f(r)=4× 含r=m(-r）,0r≤9，所以f')=4ar4 4 r),令f'(r)=0,得r=4.当r∈(0,4)时，f'()>0,当r∈ (4,9]时f'(r)<0,所以f(r)在(0,4)上单调递增，在(4,9] 上单调递减，故每瓶液体材料的利润最大时，r=4 5.B解析：令x=1,则f(1)=2f(1)+1,得f(1)=-1, 1 f'(x)=-2f'(2-x)+2x-f'(1)=-2"(1)+1,则f"(1)= 1 ,所以曲线y=f(x)在点(1f(1)处的切线方程为y+1= 号x-0,即4=0 6.C解折，a22h4令)=(x≥e),则 244 了()因为a8所以严国0，所以W)} 为[e,+∞)上的单调增函数，又a=f(4),b=f(3),c= f(e),e<3<4,故c<b<a. 7.C解析：因为m>0,不等式2e2_h≥0成立，即2me≥ m lnx,又xe[2,+o),则2mxe2m≥xlnx=ea·lnx恒成立， 令g(x)=xe,可得g'(x)=e+xe=(x+1)e,当x>0时， 于8(2m≥8h6度立，即2≥na 成立等价于g(2mx)≥g(lnx)恒成立，即2mx≥lnx恒成 x2 当2≤x<e时，h'(x)>0,h(x)单调递增；当x>e时，h'(x)< 0,h(x)单调递减，所以当x=e时，函数h(x)取得最大值，最 大值为(@。，所以2m≥。即m≥六则实数m的最 小值为2元 1 8.B解析：依题意，设切点坐标为(t,e),由y=xe,求导得 y=(x+1)e,则函数y=xe的图象在点(t,te)处的切线方 程为y-te=(t+1)e(x-t).由切线过点(1，m),得m=te'+ (t+1)e'(1-t)=(-2+t+1)e.令g()=（-2+i+1)e,依题意， 直线y=m与函数y=g(t)的图象有3个公共点.g'(t)= (-t2-t+2)e=-(t+2)(t-1)e,当t<-2或t>1时，g'(t)<0, 函数g(t)在(-∞，-2)，(1，+∞)上单调递减；当-2<t<1 选择性必修第二册·RJ 时，g'(t)>0,则函数g(t)在(-2,1)上单调递增；当t=-2 时，函数g(t)取得极小值g(-2)=-5e2,当t=1时，函数 g(t)取得极大值g(1)=e,且当t<-2时，恒有g(t)<0.又 →+∞时，g(t)→-∞，如图，作出函数g(t)的大致图象， =g(0) y=m -5e 由图可知，当-5e2<m<0时，直线y=m与函数y=g(t)的图 象有3个公共点，所以实数m的取值范围是(-5e2,0). 9.AC解析：经检验当x=0时，y=x3+3x2,y=e-1,y=cosx 1,y=sinx都等于0，故只需验证在x=0处的切线斜率是否 为0即可，对于A,y=3x2+6x,在x=0处的切线斜率为0， 故A正确；对于B,y=e,在x=0处的切线斜率为1，故B错 误；对于C,y=-sinx,在x=0处的切线斜率为0，故C正 确；对于D,y=cosx,在x=0处的切线斜率为1，故D错误 10.BD解析：对于AB,因为f'(x)>0时f代x)单调递增， ∫'(x)<0时f(x)单调递减，所以由题图可知曲线M为函数 ∫'(x)的图象，曲线N为函数f(x)的图象，故A错误，B正 确；对于CD,由题图可知当x∈(0，a)时，fx)-f'(x)>0, x∈（a,b)时，f(x)-f'(x)<0,因为g(x)= eLf(x)f'(x)1,所以当xe(0,a)时g'(x)>0,x∈(a,b) f2(x) 时g'(x)<0,所以函数g(x)在区间[0，a]上是增函数，在 区间[a,b]上是减函数，故C错误，D正确. whx 11.ACD解析：由题意可知，函数f代x)= ,0, 42_In(-) 对 x<0, x 于A,当x<0时，f(x)=2-1血(-)，故f'()=2x 1-ln(-_2xln(-)-1令g(x)=2x2+ln(-x)-1,则 g当x(后)广时g(, x 0当（石）广<0时，g()-61<0放（在 (-,（石)广)上单调递啦，在(（石）广，0）上单调递 成所以当0时有≤(（石）卢）音60， 故f"()=<0,所以f(x)在(-0,0)上单调递减， 故A正确；对于B,当>0时，x)=_h,则'()=2x 1-lhx_2x+nx-,令h(x)=2x2+lnx-1,则对x>0有 x2 x2 h'(x)=62+子>0，所以(x)在(0，+)上单洞递增，而 A(1)=10,h(23）=号n2<0,所以存在e(2,1), 1 使得h(xo)=0.结合h(x)单调递增知，对x∈(0，x)有 f0-,0为e*有- x2 白题46