第4章 专题探究3 数列的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

专题探究3数列的综合应用 黑题 专题强化 限时：35min 题组1数列中的新定义、新情境问题 范围是 ( 1.*(2025·陕西渭南高二期末)天坛的圜丘 坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层 中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天 C.(1,3) D.(2,3) 心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环 5.#(2025·天津津南区高二期末)已知数列 依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最 {an}满足a1=1,an=an1-3·4-1,n∈N,则 后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已 数列{an}的通项公式an= 若数列 知每层环数相同，且下层比中层多729块，则 {an}对任意的neN*,k(an+4-n)≥2n-5恒 中下两层共有扇面形石板 成立，则实数k的最小值为 A.2699块 B.3474块 6.#(2025·山东淄博高二期中)已知数列 C.3402块 D.2997块 {an}为等差数列，a2=3,a14=3a5,数列{bn}的 2.*(2025·山东菏泽高二月考)《九章算术》 前n项和为Sn,且满足2Sn=3bn-1 中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生 (1)求{an}和{bn}的通项公式； 一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思 (2)若cn=(an+1)·bn,数列{cn}的前n项和 是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高 为Tn,且Tn-n·3"<(-1)"·m对n∈N 一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每 恒成立，求实数m的取值范围. 天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于 蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需 要经过的时间最少为 A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 3.(2025·陕西西安高二月考) 某个软件公司对软件进行升级，将 序列A=(a1,a2,a3,…)升级为新序列A*= (a2a1,a3-a2,a4-a3,…),A*中的第n项为 a*1-0,若(A*）*的所有项都是3，且a4=11, a5=18,则a1= 题组2数列与函数、不等式的综合问题 4.*(2025·安徽安庆高二期中)函数f(x)= (3-a)x-3,x≤7， a-6,x>7, 若数列{an}满足a=f(n), neN,且{an}是递增数列，则实数a的取值 选择性必修第二册·RJ黑白题32 第四章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.6.*(2025·安徽合肥高二期中)已知数列 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1a}满是41=10,00=2，则2的最小值为 1.(2025·广东广州高二期中)已知数列 √2,2，√6,2√2，√10，…，√2n,√2n+2,…,则 11 A. B.16 √42是这个数列的 2 A.第19项 B.第20项 7 D.2√10-1 C.第21项 D.第22项 C.4 2.*(2025·山东泰安高二月考)对于数列 7.**(2025·河北衡水高二月考)设首项为1 an+1 的数列{an}满足amn+am-n=2an+2a(m>n,m, a.,若a-5a,+3且a=l,则aas n∈N),则a2s的个位上的数为 () ( A.0 B.2 C.3 D.5 1 A.0 B.-1 C.1 D. 8.整(2025·黑龙江绥化高二期中)已知数列 3 3.*(2025·河南南阳高二期末)已知等差数 {an}满足a1=1,a2n=a2n-1+(-1)",a2+1=a2n+ 列{an}前9项的和等于前4项的和，若a= 3"(n∈N*),则数列{an}的前2025项的和为 -a3,则k= ( A.11 B.13 C.15 D.17 A.31012-2025 B.31012-2027 4.*(2025·辽宁沈阳高二期末)已知等比数 C.31013-2025 D.31013-2027 列{an}的前n项和为Sn,若a3+S3=2,a6+S6= 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 6+3,则2ta1- 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， ( agtan 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 A司 B. 选错的得0分. 6 5.*(2025·山东省实验中学高二期末)“杨 9.*(2025·云南昆明高二月考)公差为d的 辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西 等差数列{an}与公比为g的等比数列{bn} 方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由 首项相同且为正数，则 “杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为 A.若d<0,则{an}为递减数列 图中虚线上的数1,3,6,10，…构成的数列 B.若0<q<1,则{bn}为递减数列 {an}的第n项，则a1o的值为 ( 1 C.若g>1>0,则{}为递增数列 a 11 12 D.若q>1>d>0,则{anbn}为递增数列 1331 14641 10.*(2025·辽宁沈阳高二期中)已知数列 15101051 {an}的前n项和为Sn,若a1=2,Sn+1=2Sn+ A.5049B.5050C.5051D.5101 n,则下列结论正确的是 第四章黑白题3322-122*=21 () =-日化衡得4-g )当为俱数时.6点2 1 号()含88兮时司 立)兮点)做八A+ 11 52912n+131 B.=1809.214(4n+5) 专题探究3数列的综合应用 黑题 专题强化 1.D解析：设第n环天心石块数为an,上层共有n环，Sn为 {an}的前n项和，则{an}是首项为9，公差为9的等差数列， a,=9+9(n-1)=9n,S.=之(n2+n),上层，中层、下层的块数 分别为Sn,S2n-Sn,Sn-S2,由下层比中层多729块，得 S-8=8-8+729,即2(92+3n)-2(6r+2) 是(+2a)-2(a+)+7,解得a=9,所以中下两层共 有扇面形石板88=(m+2)949)=2g7(块》。 2.A解析：由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一 天的一半，所以蒲生长长度构成首项为a,=3,公比为g,= 号的等比数列，其前a项和为$一 -()广] 人 2 (?）八又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为b,=1,公比为92=2的等比数列， 1-2 即2-1b6-6x(分）广则2+7，令1=2，则245 2n 时间最少为3天. 3.8解析：由题意得A=(a1,a2,a3,a4,a5,…),A*=(a2a1, a3-a2,a4-a3,a5-a4,…）,（A*)*=(a3-2a2+a1,a4-2a3+ 2,a5-2a4+a3,…).:(A*）*的所有项都是3，.a3-2a2+ a1=3,a4-2a3+a2=3,a5-2a4+a3=3,由a5-2a4+a3=3得 18-22+a3=3,解得a3=7,由a4-2a3+a2=3得11-14+a2=3, 解得a2=6,由a3-2a2+a1=3得7-12+a1=3,解得a1=8. 4.D解析：由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且 (3-a>0, f8)>f7),即a>1, 解得2<a<3,故实数a的 (a8-6>(3-a)×7-3, 取值范围是(2,3). 5.4"-4+n64 1解折：8，=0+-3·4-101-23441 : 当n≥2，n∈N时，a.=(a,-a1)+(a1-a2)++(a- 选择性必修第二册·RJ a1)+a1=(3·4-1+1)+(3·4-2+1)+…+(3×4+1)+1=3× 4(1-4)n-1+1=4-4+nk(a,+4-m）≥2n-5=(4-4+ 1-4 n+4-m)≥2n-5→k≥，设6,3 26-4号 2n-3 「A02=10”,当n=12时，62>b1,b3>b2,当n≥3，neN 时，bn1<b.<bn1<…<b<b,因此b是数列{bn}的最大项， 要想数列{an}对任意的neN,k(an+4-n)≥2n-5恒成 立，只需≥。4即的最小值为4 6.解：(1)等差数列{a,中，设公差为1，则a=3,→ (a14=3a5 2r2-=a a+d=3, (neN),数列{bn}中的前n项和为Sn,且2Sn=3bn-1①，当 n=1时，b1=1,当n≥2时，2Sn-1=3bn-1-1②，①-②得b.= 3bn-1(n≥2)，故数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数 列，所以bn=3-(neN). (2)数列cn}中，cn=(an+1)·bn=2n·3-1.则Tn=2×3°+ 4×3+…+(2n-2)·3-2+2n·3m-1,所以3Tn=2×3+4×32+ …+(2n-2)·3-1+2n·3,故-2Tn=2+2(3+32+…+ 3)-2n3”=(1-2m）·3-1,所以T,=（2m-1)·3+1因 2 为(-1)·m>Tn-n·3=- 2,对neN恒成立.当n为奇 、13” 3"1 数时，(-1)”·m=-m>2-29m<2-2→m< (信)号子1，当：为萄时.(-0m= 台)分 13”、 -=-4.综上，实数m的取 值范围为(-4,1) 第四章章末检测 1.C解析：令√2n=√42，解得n=21,所以√42是这个数列 的第21项. 2.C解析：对于数列{an},因为a+1 a,+1 -5a+3且a1=1,则 -5+3-1,4=1+1 3、5三1，…，以此 类推可知，对任意的n∈N·,an4=an,因为2025=4×506+ 1,故a20s=a1=1. 3.A解析：由S4=Sg,得a+a6+…+ag=0,则5a,=0,所以a,= 0,又a3+a11=2a,=0,所以k=11.故选A. 4.A解析：设{an}的公比为g,因为a3+S3=2,a6+S6=a393+ S3(1+g3)=q3(a3+S3)+S3=2g3+S3=6+3,所以q3=3,所以 a+=1-1 dotaug 5.B解析：由题意得a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4= 10=1+2+3+4…观察规律可得an=1+2+3+…+n= D,所以am-10x101=5050, 2 2 白题22