上分专题10 设而不求解决导函数零点不易求问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

点(1空兰，令()=0可得=6当0<e 时，h'(x)>0,当x>e时，h'(x)<0,∴.h(x)在区间(0，e)上 单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，·.h(x)ms= a(e)=,又a(1)=0,当x>1时，A()>0,当0<a< 时，h(x)的图象与直线y=a恰有2个交点，即实数a的取 值范围为(0，。)】 1 卫.（①解：图数x)定文域为0，+)，"圣 -2+2-1,设m(x）=-2+2kx-1,则4=4(-1)，①当 x2 0<k≤1时，△≤0，f'(x)≤0恒成立，且至多一点处为0，函 数f(x)在(0，+∞)上单调递减；②当k>1时，△>0，m(x)有 两个零点x1=k-√-1>0，x2=k+√2-1>0，则当0<x<x1 或x>x2时，m(x)<0,即f'(x)<0;当x1<x<x2时，m(x)>0, 即∫'(x)>0,即函数(x)在(0，x1),(x2,+∞)上单调递减， 在(x1,x2)上单调递增，所以当0<k≤1时，(x)的单调递减 区间为(0，+)；当k>1时，代x)的单调递减区间为 (0,k-√2-1)，(k+√2-I,+0),单调递增区间为 (k-√2-1，k+√-1). (2)证明：由(1)知，当k=1时，x∈(1，+∞)时，f(x)= 2hx*I-0,则h受名令1aeN, a≥2)，于是h(+)(+)， 2+) 安 1 n-2n+2 )h()(+年)h(+是)k士 2+ 2 3+2 n-2 n2 号，所以(*分)(+京)(1*京）小( 是)ke(neN且n≥2). (3)解：函数g(x)=1n'x-x-1+2=knx-（x-1)2 ),由于nx与x-1同号，则 y=x+*'只有一个零点x=1,令1=E,由f(1)=0,则 √x g(x)有三个不同的零点等价于函数f(t)有三个不同的零 点，由(1)知，当0<k≤1时f(x)在(0，+∞)上单调递减，不 合题意；当k>1时，由(1)知，代x)的两极值点x1,x2满足 x1x2=1.设f代t)中的两极值点为t1,t2(t,<t2).所以t162=1, 得t1<1<2,由f1)=0,则f(1)f(1)=0<ft2),由(2)知， 当1时h宁去则ai号点即noi后因 选择性必修第二册·RJ 此4)=2(4)-4+证c2(2-)）-4+证 <0,由零点存在性定理知)在区间(，4)上有 1-42 唯一的一个学点，显然)+（ -）=2n6-+ 2如名=0，商)=0，则/(）-=0，于是 to toto 当1时)存在三个不同的客点1,6，所以的取 值范围是(1，+∞). 上分专题10“设而不求”解决 导函数零点不易求问题 1.解：(1)由题f'(x)=(x+1)e,令f'(x)=0得x=-1,且x∈ (-0,-1)时，f'(x)<0;x∈(-1，+o)时，f'(x)>0,所以 fx)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，所 以当=-1时到有极小值为-1)=。放极小值为 日无极大值 (2)fx)-g(x)=xe-lnx-x+a≥0恒成立，令m(x)=xe*- h+a,e(0,+),则m()=(x+(e-）,令 E(0,+w）.则()=e+>0,所以4() h(x)=e-1, 在(0，+x)上单调递增，又h(分)=e-2<0,A(1)=e-1> 0,所以3e(分1，使得A()=0,即m'()=0, 且e0-1=0,则1n=-,当xe(0,)时，m'(x)<0:当 x∈(x0,+∞)时，m'(x)>0,所以m(x)在(0，xo)上单调递 减，在(0，+∞）上单调递增，故m(x)n=m(x)=xoe0- nx0-xo+a=1+x0-x0+a=1+a,因为m(x)≥0恒成立，即 m(x)in=1+a≥0，即a≥-1.所以a的取值范围为 [-1,+∞). 2.解：(1)由f)=2血x+af”(=2-a-2n,当[1，e] x2 时，2lnx∈[0,2]，若a≤0→2-a-2nx≥0，即f(x)在区间 [1,e]上单调递增；若a≥2→2-a-2lnx≤0，即f(x)在区间 [1,e]上单调递减；若0<a<2,令f'(x)>0→x<e,令 f'(x)<0→x>e片，可知fx)在[1，e片）上单调递增，在 (e片，e]上单调递减综上所述，a≤0时，)在区间 [1,e]上单调递增；a≥2时，fx)在区间[1，e]上单调递减； 0<a<2时)在[1，e宁)上单调递增，在(e宁，e]上单 调递减 (2)根据题意可知2血+a≤e+1-1a≤e+1-t-2nx 恒成立，设g(x)=x2e*+1-x-2lnx(x>0),则g(x)=(2x+ e2-(*2)(）令a(=e-1w0)= h'(x)=(x2+2x)e*>0,则h(x)在定义域上单调递增，易知 白题68 h(0)<0<h(1),即3xoe(0,1),使得h(xo)=xeo-1=0,即 x∈(0，xo)时，g(x)<0,此时g(x)单调递减，x∈(xo,+∞) 时，g'(x)>0,此时g(x)单调递增，g(x)≥g(x)=xeo+1- x-2nx,又因为xe0=1,所以g(xo)=1+1-x0-lnx7=2- x。-lne0=2,所以a≤2，即a∈(-，2]. 3.解：(1)当m=0时，)=血-2+1，则f'()=3-, x2, ye3钱cta 线方程为y+1=3(x-1),即3x-y-4=0. (2)由)<0得me+血-21<0，m<2恤在 xe* (0,+0)上恒成立，令h()=2-,则(x)= xe* (l小k-(2-hr+D） =(+1)(x-3+血，令 xe* p(x)=x-3+lnx,易知p(x)在(0，+o)上单调递增， p(2)=-1+ln2<0,p(3)=ln3>0,.3x0∈(2,3)，使得 p(xo)=0,即lnxo=3-xo,.当x∈(0，xo)时，h'(x)<0,当 xe(x,+∞)时，h'(x)>0,∴.h(x)在(0，x)上单调递减，在 (xo,+∞)上单调递增，.h(x)=h(x) 2-lno,由月 In xo=3-In +In e'o In (xoefo =3,:'xoeo=, ..h(x)min =h(xo)= 2-lno-o=-1 xoe*o e心m的取 值范描是(，)】 4.()解：由题意得，4()=之-h(x+2),h()的定义域 2✉正0，泽得2当2k万Hk0 x2+2x-1=0,解得x=√2-1，当-2<x<√2-1时，h'(x)<0, h(x)在(2-1，+o)上单调递增；当x=√2-1时，h(x)取得 极小值，极小值为(，2-1)=子2+l(+1). 【2)解：由题意得，)的定义域为(-0,0)U(0,+0) 了()（：写>0只需判断-1的符号 ①当a=0时，f'(x)<0,则f(x)在(-o,0)和(0，+∞)上单 调递减：②当a>0时，令'(=0，解得x=日，当0或0< <时'(<0，x)在(-，0)和(0，。）上单调递减： 当o时'()>0)在（日，+=）上单调递增，③当a 0时，同理可求)在(，0）和(0，+)上单调递减，在 (-0,）上单调递增综上所述，当a=0时x)在(-0,0) 及(0，+∞)上单调递减；当a>0时，fx)在(-∞，0)和 (0,)上单调递减，在（合，+0）上单调递增；当a<0 时)在（合，0）和(0，+m)上单调递减，在(，) 参考答案 上单调递增。 (3)证明：由题意需证e>ln(x+2),设t(x)=e-n(x+2),则 (e的定义城为(-2，+)r()=6中2易知r《)在 (-2,+∞)上单调递增，(-1)<0，t'(0)>0,.t'(x)在 （-2,+∞)上有零点x0,且x0∈(-1,0)，易知当x∈(-2，x) 时，t'(x)<0,当x∈(xo,+∞)时，'(x)>0,.当x=x时， ()取得最小值由'()=0得e0=1 物+2名物= -n(+2),故(x)≥(o)=0-l1h(+2)=1 0+2+物 +2+(+2)-2>2-2=0,e>ln(x+2xfx)>g(x. 5.(1)解：因为f'(x)=e(x+2),所以f'(0)=2,又f(0)=1,所 以曲线y=fx)在(0f(0)处的切线方程为y-1=2(x-0), 即2x-y+1=0. (2)证明：因为h(x)=e-x-2,所以h'(x)=e-1,当x>0 时，h'(x)=e-1>0,所以h(x)在(0，+∞)内单调递增，又 h(1)=e-3<0,h(2)=e2-4>0,所以h(x)在(1,2)内有一个 零点，所以h(x)在(0，+0)内存在唯一零点. (3)解：当x>0时，e-1>0,所以不等式(x)>g(x)台k< 记mo周- (e*-1)2, 由(2)知，存在x0∈(1,2)使得e0-x0-2=0,得e0=xo+2,且 当0<x<x0时，e-x-2<0,m'(x)<0,当x>x0时，e-x-2> 0,m'(x)>0,所以m(x)在(0，xo)上单调递减，在(x0,+∞) 上单调递增，所以当x=x。时，m(x)n=m(x)= eo(x+1)(x+2)(x0+1) 一=x+2,所以k<x0+2.因为x0∈ e*0-1 x0+1 (1,2),所以x。+2∈(3,4)，又k∈Z,所以k≤3，所以整数k 的最大值为3. 6.解：(1)当a=2时，则f代x)=2x-2lnx,可知f(x)的定义域为 (0,+0),且f”(x=2-2=2(-1）,令f'(x)<0,解得x (0,1);令f'(x)>0,解得xe(1,+o),可知f(x)的单调递减 区间是(0,1)，单调递增区间是(1，+∞).所以函数f(x)的最 小值为f(1)=2. (2)由题意可知f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=a- 2_-2(x>0),当a≤0时，'()<0恒成立，所以)的 单调递减区间是(0，+∞)，无单调递增区间；当a>0时，令 f”(x=0解得x=2,令f'()<0,解得xe(0,2）令 a a 了()>0，解得：e(侣+)，所以)的单调适减区间是 (0,名)，单调递增区间是（仔，+）签上所述，当a≤0 时f(x)的单调递减区间是(0，+∞)，无单调递增区间；当 。>0时)的单词递减区间是(0，会），单调递增区间是 (层*} (3)当x>1时，不等式f(x)<(x-2)nx+2x+a-1恒成立，即 a-2nx<(x-2)nx+2x+a-l,整理可得a<加+】+2，原 x-1x-1 白题69 题意等价干出2对准意o1相流立，令 x十x-+2(x>1),则g(x)=(1+nx)(x-1)-xnx xln x 1 (x-1)2 令()==h-2,1,则()=1日 1-->0,所以h(x)在区间(1，+0)上单调递增，因为 h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,所以h(x)在区间 (1,+0)内存在唯一零点x0∈(3,4)，即x0-lnx0-2=0,所 以lnxn=x-2,当xe(1,xo)时，h(x)<0,即g'(x)<0;当xe (xo,+∞)时，h(x)>0,即g'(x)>0.可知g(x)在区间(1，x0) 上单调递减，在区间(xo,+o)上单调递增，所以g(x)n= xoln xo 1 g(xo）= 7x。-干一+2=004-+2=x0+1.天写头可 x∈(3,4)，则x+1e(4,5),即g(x)im∈(4,5)，且a为整 数，则a≤4，所以整数a的最大值是4. 7.解：(1)fx)的定义域为(0，+m),f'(x)=1-g,当a≤0 时，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(0，+∞)上单调递增：当a>0 时，由f'(x)=0得x=a,当0<x<a时，f'(x)<0,当x>a时， f'(x)>0,故f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+0)上单调递 增.综上，当a≤0时，f代x)在(0，+∞)上单调递增，当a>0 时，f代x)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增. (2)@:g()=)-(mt10x+2=ng-m+空g()归 1 作=x-mx-m=mx2-x+m令h(x)=mx2x+ x2 x2 使g(x)存在两个极值点x1,x2,则方程mx2-x+m=0有两个 不相等的正数根x1,x2, h(0)=m>0, 0， 1 解得0<m<2,m的 (分)m·(份)广六0， 取值范围为0<m<2 ②油于fx)<2x-(x-2)e+b在x [分1]上恒成立， lnx+(x-2)e-x<b在x [分，1小上恒成立，令c( n+(-2)。,则c()6在e[分，小上恒皮立，则 G()=+(-2)e+e-1=(x-10(e-),当≤x<1 时，-1<0，令(x)=e心-则u()=e+子0u(x)在 (分，1)上单润递增，又u(分）=6-2<0，u(1)=6-1>0, 存在e(分，1）使得a(%)=0,即e=,h= %故当e(分)时，a()c0,此时c(>0,当e (x,1)时，u(x)>0,此时G'(x)<0,故函数G(x)在 (3)上单调递增，在(，1)上单调递减，从而 G(x)mm=G(xo）=lnx0+(x0-2)e0-x=-x+(x0-2)· 选择性必修第二册·RJ 6=1号-2，令m()=1是-2，e(分小则 m()是2-210a()在e(分1)上单测 x2 递增，4=m(分)m()<m()=-3,又6为整数，故b≥ -3,即整数b的最小值为-3. 8.解：(1)f'(x)=[-x2+(a-2)x+a-1]e*=-(x+1-a)(x+1)e ①当a=0时，f'(x)=-(x+1)e≤0f(x)单调递减； ②当a>0时，-1<a-1,此时若xe(-o,-1),则f'(x)<0, f(x)单调递减；若x∈（-1，a-1),则f'(x)>0,f(x)单调递 增；若xe(a-1,+o),则f'(x)<0,f(x)单调递减； ③当a<0时，a-1<-1,此时若x∈（-∞，a-1),则f'(x)<0 f代x)单调递减；若x∈(a-1,-1),则f'(x)>0,f(x)单调递 增；若x∈(-1，+∞)，则f'(x)<0,f代x)单调递减. 综上所述：当a=0时，fx)在R上单调递减；当a>0时， f(x)在(-o,-1)和(a-1,+∞)上单调递减，在(-1，a-1)上 单调递增；当a<0时，f(x)在(-∞，a-1)和(-1，+o)上单 调递减，在(a-1,-1)上单调递增. (2)当a=2时，f(x)<(1-x)(x-3),即(-x2+2x-1)e*<(1- x)(kx-3),化简得-(x-1)2e<(1-x)(kx-3).因为x>1,所 以(x-1)e>c-3,即k<x-1)e+3要证k<x-1)e+3在 (1,+)上恒成立，令g(x)=（x-1)+3,只需证< g)mg(x)=（-41e-3,令m（)=(2-+1）e-3, 则m'(x)=x(x+1)e,因为x>1,所以m'(x)>0,所以m(x) 单调递增，m(1)=e-3<0,m(2)=3e2-3>0,所以存在x∈ （1,2),使得m（x)=（x-x+1)e0-3=0,即当x∈ （1,x)时，m(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(x0,+∞) 时，m(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)mn=g(x)= 3 （。-1)eo+3（,-1)2 +3 0-x+1 3x0 3 一.因为 行-x0+1 1 x0十 -1 e1,2,所以+1e(1,2),所以g)e(2,3), 所以整数k的最大值为2. 上分专题11导数综合应用中的双变量问题 1.（1)解：因为f(x)=[x2-(m-2)x+m+2]e,所以'(x)=[x2- （m-4)x+4]e,由题意，x2-(m-4)x+4=0在(0,4)上有两 个不同的根1，，所以x+4=m-4在(0,4)上有两个不同 的根x1,,由y=x+4在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单 调递增，其中区间(0,2)上的值域为(4，+∞)，区间(2,4)上 的值域为(4,5)，所以4<m-4<5,则8<m<9. (2)证明：由(1)知x1+x2=m-4,x1x2=4,所以f(x1)f(x2)= [x-(m-2)x1+m+2][x号-(m-2)x2+m+2]e12=[xx号 (m-2)x1x号-(m-2)x7x2+(m-2)2x12+(m+2)(x好+x)- (m2-4)(x1+x2）+(m+2)2]e1=[xx号-(m-2)x1x2(x1+ x2)+(m-2)2x1x2+(m+2)(x好+x2)-(m2-4)(x1+x2)+ (m+2)2]e*2=[16-4(m-2)(m-4)+4(m-2)2+(m+2)· (m-4)2-8(m+2)-(m2-4)(m-4)+(m+2)2]em-4=(-m2+ 8m+4)e-4,令g(m)=(-m2+8m+4)em-4,则g'(m)=(-m2+ 6m+12)e"-4,且8<m<9,故g'(m)<0,所以g(m)在(8,9)上 黑白题70上分专题10 “设而不求”解决导函数零点不易求问题 专题课堂 命题密钥 这一类问题又被称为“隐零点”问题，“隐零，点”指的是在解方程f'(x)=0时，该方程为 超越方程，且满足能够判断方程有实数根，但是无法直接计算出来，从而只能设方程的实数根 为xo,这样的x。就称为“隐零，点”在高考的函数问题中，“隐零点”问题多见于含有指、对形式 的函数，有时候也会在含有三角形式的函数中考查.在解决“隐零点”问题时，我们比较常见的 解题思路是虚设零，点，利用f'(x)=0得到的关于x。的数量关系进行代换和化简，从而解决 问题 还有一类问题是数值估计，这类问题一般以恒成立的形式呈现，通常问法为“求使得不等 式恒成立的最大（或最小）的整数参数a的值”.比较常见的解法是通过参变分离得出参数a 关于“隐零点”xo的解析式a≤g(xo)(或a≥g(x),并估算出x较为精确的范围以确定a的 取值 考点觉醒 ●虚设零点，整体代换 在f'(x)=0中将指数（或对数、三角）用剩余部分表示并代入消 去指数（或对数、三角）并化简 常见的代 用含x的式子表示出参数a,即a=gx),代入消去参数a后根据题 换方法 目条件求解x的范围，再根据a=gx。)求出a的范围 利用同构式和所构造函数的单调性得到e与lnx关于x的解析式 (不包含指、对，只有幂的形式)，回代后并化简求值 ●数值估计 参变分离 将题目问题转化为a≤g(c)（或a≥gx))恒成立 利用“隐零点” 根据单调性得出a≤gc)（或a≥g(x)） 表示函数单调性 求a的范围，并 缩小x,的范围，将g(x)的取值范围缩小为(n,n+1)n∈Z 确定整数a的值 的一个子集，从而得到a=(或am=n+l) 黑白题·上分秘籍27 实战演练 题组1虚设与代换 3.(2025·吉林白城高二月考)已知函数 1.(2025·江西萍乡高二期末)已知函数 fx)=me+血x-2+1. f(x)=xe*,g(x)=In x+x-a,aER. (1)求f(x)的极值； (1)若m=0,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)) (2)若f(x)-g(x)≥0恒成立，求a的取值 处的切线方程； 范围. (2)若f(x)<0恒成立，求m的取值范围. 2.整(2025·河北承德高二月考)已知函数4.禁(2025·广东肇庆高二期末)已知函数 f(x)=2In xta ,aER. fx)g(知)=n(x+2) (1)讨论f(x)在区间[1，e]上的单调性； (1)若A(x)=-s(),求h(x)的极小值； (2)若f(x)≤xe+-1恒成立，求实数a的 (2)讨论f(x)的单调性； 取值范围。 (3)当a=1时，证明：xf(x)>g(x). 28数学1选择性必修第二册·RJ 题组2数值估计 7.热(2025·四川成都高二期中)已知函数 5.籍(2025·河北邯郸高三月考)已知函数 f(x)=x-aln x. f(x)=e*(x+1),g(x)=e*-1. (1)讨论f(x)的单调性. (1)求曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线 (2)若a=-1. 方程； ①函数g(x)=f代x)-(m+1)x+m存在两 (2)证明：h(x)=g(x)-x-1在(0，+∞)内存 在唯一零点； 个极值点x1,x2,求m的取值范围； (3)若对于任意的x>0,f(x)>g(x)恒成立， ②当xe[2,1]时，均有f()<2x 求整数k的最大值， (x-2)e*+b恒成立，求整数b的最小值. 6.禁(2025·湖北武汉高二期中)已知函数8.整(2025·福建福州高二期中)已知函数 f八x)=ax-2lnx. f(x）)=(-x2+ax-1)e'(a∈R). (1)当a=2时，求函数f(x)的最小值； (1)讨论f(x)的单调性； (2)试讨论函数f(x)的单调性； (2)当a=2时，f(x)<(1-x)(x-3)在 (3)当x>1时，不等式f(x)<(x-2)lnx+2x+ (1,+∞)上恒成立，求整数k的最大值. a-1恒成立，求整数a的最大值 黑白题·上分秘籍29