第5章 专题探究4 含参函数单调性分类讨论-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

专题探究4含参函数单调性分类讨论 黑题 专题强化 限时：50min 1.*(2025·福建泉州高二月考)已知函数3.籍(2025·江苏南京高二期中)已知函数 f(x)=2ae*+x(a∈R) f(x)=√-aln(x+1) (1)若函数f(x)的图象在(0，f(0))处的切线 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在x=1处的 与直线x-y+1=0垂直，求a的值； 切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性. (2)讨论f(x)的单调性， 视 视频讲解 2.*(2025·安微合肥高二月考)已知函数4.整(2025·江苏徐州高二月考)设f(x)= f)-ar2-(6a+1+2h(aeR。 (xtax)Inxt x,aeR (1)当a=1时，求函数f(x)的极值； (1)若a=0,求f(x)在x=1处的切线方程； (2)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性. (2)若aeR,试讨论f代x)的单调性， 选择性必修第二册·RJ黑白题64 专题探究5导数与不等式、零点的综合应用 子错题本 黑题 专题强化 限时：60min 题组1导数与不等式 题组2零点问题 1.*(2025·辽宁沈阳高二期末)已知函数 3.#(2025·湖南长沙高二月考)已知函数 f(x)=x(e*+1)-e*+1. (1)求f(-x)+efx)的值； =e+'(四+1 (2)证明：(e-1)f(x)≥0. (1)求y=f(x)的解析式； 视 (2)若F(x)=f(x)-(x2+x+m)在[-1,2]内有 两个零点，求m的取值范围. 2.*(2025·广东揭阳高二月考)已知函数4.整(2025·陕西榆林高二期中)已知函数 =7✉1， =oa(no） (1)求f(x)的极值； (1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处 (2)证明：27e-4>(1nx)3. 的切线方程； (2)若-1<a<0,证明：函数f(x)至多有一个 零点 第五章黑白题65从而≥心“，e≤1，e≤，c≥②.由①2 得xlnx-x2e1-+1≥0. 11.解：(1)函数f)的定义域为R,且f'(x)=2ar-a-1 ar-2ax+l(（a>0),令g(x)=ax2-2ax+1,则A=4a2-4a= 4a(a-1),当a>1时，4>0，由ax2-2ax+1=0,得x= 6=1舒'到>0得11日1* a (<0,得1-或o1+所 以)在(1-√石，1+)上单调道描，在 (,上√)和(+、+=）上单澜遥减当 a=1时，g(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，则f'(x)≤0，所以 f(x)在R上单调递减；当0<a<1时，A=4a(a-1)<0,则 g(x)>0,故f'(x)<0,所以f(x)在R上单调递减综上，当 >1时)在(-√1-，1+√1-。)上单调递增，在 (-,-√日)和(+石，+=）上单澜遥减当 0<a≤1时，f(x)在R上单调递减. (2)由(1)知，当a>1时，f(x)有两个极值点，且满足x,+ 西=2，=。不妨设<，则f()f(,)=+ 2+ ax号+1a2xx+a(x子+x)+1 （x2x1 e*2 e*12 e2 ,因为x1≠x2, 且x,>0,>0,所以+>2，所以f(x)f()= X2 x1 2( 4 ,所以(x,)代x2)的取值范围 (） 压轴挑战 (1)解：由题可知≤nx-x+C恒成立，设h(x)=lnx-x+g,则 x x hK(x)=1-1+-10c-x-1)e-,设(x=e-,20,则 x2 x2 s'(x)=e*-1>0,则s(x)在(0，+0)上单调递增，.s(x)≥ s(0)=1,故e-x>1>0,当0<x<1时，h'(x)<0,h(x)在(0,1)上 单调递减，当x>1时，h'(x)>0,h(x)在(1，+0)上单调递增， ∴.h(x)n=h(1)=e-l,则t≤e-l. (2)(i)解：当=1时，g(x)=x(nx-x+g-1）-e+2=xnx- ge到=h,又（日）是g(日）-1g在 已处的切线方程为子-（日），即+日-0 (i)证明：由(i)知，g'(x)=nx,则0<x<1时g(x)<0,x>1 时g'(x)>0,.g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递 增，g(x)=m有两个不同实根x1,x2,且名1<x2,.0<x1<1<x2, 设e()=ga)-(x）=h+日，0c<1,则e()=l+ 选择性必修第二册·RJ h,令p'(x)>0,解得。<<1，令g(a)<0,解得0<< e (x)在(0，。)上单调递减，在（日，1）上单调递增， ()≥e(日）0，()≥在(0,1)上恒成立，设 y=a与直线7+日=0的交点横坐标为，则-} e g()≥-。，即≤xg(e)=0,g(e)=1,g(x)在 (e,0)处的切线方程为y=x-e,设y=m与直线y=x-e的交点的 横坐标为对，同理可证：<对，”=m。,对=m+,心 专题探究4含参函数单调性分类讨论 黑题 专题强化 1.解：(1)直线x-y+1=0的斜率为1，故切线斜率为-1， f'(x)=2ae+1,∴.∫'(0)=2a+1=-1,∴a=-1. (2)f'(x)=2ae+1,当a≥0时，∫'(x)>0,∴f(x)在R上为 增函数：当a<0时，(e03=h(分)"e>0, 得h(a）"<0,得>h(a）)在 (,()小上为增隔数在(()，+】 上为减函数. 2.解：()当a=1时)=-7+2加，>0，所以() 3-7+2-30-7x+2=3x-1a-2.由f"(x)>0→ {(3-1)(x-2)>00c<号或2：f"(x)<0→写<x<2 x>0, 所以雨数在(0，号）和(2，+)上单调递增，在 (兮，2）上单调递诚所以当x=号时，函数取得极大值，且 f(行）一吕-23：当=2时，函数取得极小值，且 f2)=-8+2ln2. (2)当a>0时.)=a2-(6a+1)x+2h,>0,所以 f'(x)=3am-(6a+1）+2=3am-(6a+1)x+2 3a-1a-2》当0ca<6时，(>00<2或 1 ∫()<02<<品所以函数)在(0,2)和 1 (金+)上单调递增，在，)上单调递诚当a=日 1 时“()=，2≥0在(0，+0)上恒成立，所以函数) 2x 在(0，+)上单调递塔当心。时，/"（到>0=0c名或 p2:'(<0→名<2所以面数)在(0，)和 (2,+)上单调递增，在(2上单调递减 黑白题44 3.解：(1)函数f(x)=-aln(x+1)的定义域为[0，+o),当 a=-1时x)=G+ln(x+1),则r'()=↓+1 2左+7则1)= 1+n2,f'(1)=1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 为y-(1+ln2)=x-1,即y=x+ln2. (2)函数)的定义域为[0，+∞)），f'(x)=1-0 2Ex+1 2+1G2(+1)E,>0①当a≤1时，因为>0， x-2ax+1_(VE-a)2-a2+1 所以f'(x)≥0，所以函数fx)在[0，+∞)上单调递增.②当 a>1时，令f'(x)=0,则x=(a±√a2-1).当x> (a+a2-I)或0<x<(a-√a2-1)时，f'(x)>0.当 (a-√2-1)<x<(a+√a2-1)时，f'(x)<0.所以函数 fx)在[0，(a-√a2-1))和(a+√a2-1),+o)上单调递 增，在(a-√a2-1),(a+√2-1)')上单调递减 综上所述，当a≤1时，函数f(x)在[0，+0)上单调递增；当 a>1时，函数f(x)在[0，(a-√2-1))和((a+√a2-1),+o) 上单调递增，在(a-√a2-1),(a+√a2-1))上单调递减. 4.解：(1)若a=0,则)=hx+行2，f1)=分，又 f'(x)=2xlnx+x+x=2x(lnx+1),故f'(1)=2,所以f(x)在 x=1处的切线方程为y7=2(-）,即4-2-3=0 (2)f'(x)=(2x+a)In x+x+a+x=(2x+a)(In x+1),xE (0,+∞)，当a≥0时，2x+a>0,令f'(x)>0,即nx+1>0,解 得f()<0,解得0x<。,所以)在(0)上 单调递减，在（日，+）上单调通增；当a=乙时'()≥ 0)在(0，+m)上单润递增，当分<。，即子a<0时。 "()0,解得0<号或。新"()0，解得-受 <日，所以)在(0，)，（合，+m)上单调递增，在 (受日）上单调递减：当-号>即a<-是时，令 '(x)>0,解得0c<。或>受，令"()<0，解得。 受，所以)在(0，。)，(，+m)上单调递增，在 (日，2)上单调递减综上：当a≥0时)在(0，) 上单调递减，在（日，+m)上单调递增；当-<a<0时。 在(0,2)，（日，+m)上单调递增，在（受，）】 上单调递减；当a=-子时x)在(0，+m)上单调通增；当 a<名时，)在(0，），（受+x)上单调递增，在 (日，？)上单调递减 参考答案 专题探究5导数与不等式、零点的综合应用 黑题 专题强化 1.(1)解：f(-x)=-x(e+1)-ex+1=-e(x+1)+1-x= 1w+1-)e_-[(e+1)-e+1:-到，因此 e f(-x)+e "f(x)=0. (2)证明：f'(x)=e+1+xe-e=1+xe*,当x>0时，f'(x)>0, 即f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0,又e- 1>0,所以(e-1)fx)>0,当x=0时，f(x)=0,故(e-1)· fx)=0,当x<0时，则-x>0,所以f(-x)>0,由(1)， f(-x)=-efx)>0,所以f(x)<0,又此时e-1<0,所以(e- 1)fx)>0.综上，(e-1)fx)≥0. 2.解：易知函数))方的定义域为(0,1)刀 、（1,+∞)，且f"(x)=nx)3”=n),令f(x)s (Inx) 0,可得x=e.可知当x∈(0,1)时，f'(x)<0,即f(x)在(0,1) 上单调递减；当x∈(1，e3)时，∫'(x)<0,即f(x)在(1，e3)上 单调递减；当xe(e3,+o)时f'(x)>0,即f(x)在(e3,+∞) 上单调递增，故f(x)在x=é3处取得极小值，极小值为 八e)=分7无极大值 (2)证明：当xe(0,1)时，有27e-4>0>(lnx)3恒成立.当x> 1时，构造函数g(x)=e1-x,则g'(x)=e-1-1>0,故g(x) 在(1，+0)上单调递增，于是g(x)>g(1)=0,即e-1>x, 则27e>子x,由(1)可知* 0产写2≥山 故27e4>(lnx)3.综上所述，当x∈(0,1)U(1,+0) 时，27e-4>(lnx)3. 3.解：(1)函数)=e+子()+1，则/“(=e+ 子(0()=1+f(),解得f(=3,所以y 2 fx)的解析式为f(x)=e1+x2+1. (2)F(x)=f(x)-(x2+x+m)=e1-x+1-m,-1≤x≤2，则 F'(x)=e1-1,由F'(x)<0,得-1≤x<1;由F(x)>0,得1< x≤2，故函数f(x)在[-1,1)上单调递减，在(1,2]上单调递 增，当x=1时(x)取得最小值，要使F(x)在[-1,2]内有两 (F(-1)≥0,1e2+1+1-m≥0， 个零点，当且仅当F(1)<0,即1-1+1-m<0,解得 F(2)≥0， (e-2+1-m≥0， 1<m≤e-1,所以实数m的取值范围为(1，e-1]. 4.()解：当a=-1时到=-lh(+1-子+，则/() 1,放"子11=分，又1)=-h2 1 1=-h2+2,放y=)在点(1(1)处的切线方程为) 7(x-10-h2+号，即y=7-h2+1 1 (2证明：)的定义域为(a,+)f"()=名。+1= a-2+ax+x-a_x(x-a-l,由于-1<a<0,故0<a+1<1,当 x-a x-a a<x<0时，∫'(x)<0,f(x)在(a,0)上单调递减，当0<x<a+1 时f'(x)>0,f(x)在(0，a+1)上单调递增，当x>a+1时， 黑白题45