寒假作业11 含参分类讨论函数的单调性（3知识点+4大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 含参分类讨论函数的单调性 一、不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 二、含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 三、一般性技巧 1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 2、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 3、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一次函数型 1．已知函数，讨论函数的单调性； 2．已知函数，.求的单调区间. 3．已知函数，其中R.讨论的单调性； 4．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)讨论的单调性． 题型二 二次函数（可因式分解型） 1．已知函数．讨论函数的单调性． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 3．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 4．已知函数，讨论函数的单调性． 5．已知函数，.讨论函数的单调性. 6．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 题型三 二次函数（不可因式分解型） 1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数．求的单调区间． 2．已知函数．讨论函数的单调性． 3．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 4．已知函数，讨论单调性． 5．已知函数.讨论的单调性. 题型四 指数函数型 1．已知函数.讨论的单调性． 2．已知函数，讨论的单调性. 3．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 1．（25-26高二下·全国·随堂练习）已知函数，讨论的单调性. 2．（2025高二·全国·专题练习）求函数，的单调区间． 3．已知函数，讨论函数的单调性. 4．（23-24高二下·吉林·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性. 5．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 6．（24-25高二下·天津河东·月考）设函数，．求函数的单调区间． 7．（24-25高二下·河北保定·月考）已知函数．求的单调区间 8．（24-25高二下·广东·期中）已知函数．讨论的单调性． 9．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 10．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数．讨论函数的单调性； 11．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 12．（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 1．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； 2．（24-25高二下·广东·期中）已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 3．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数． (1)讨论在上的单调性； 4．已知函数． (1)若，讨论的单调性； 5．（24-25高二下·江西宜春·期中）已知函数 . (1)求函数的单调区间. 6．已知函数． (1)讨论函数的单调性； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 含参分类讨论函数的单调性 一、不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 二、含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 三、一般性技巧 1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 2、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 3、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一次函数型 1．已知函数，讨论函数的单调性； 【答案】当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【分析】求导后，分类讨论，利用导数的符号可得结果. 【详解】，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减；在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 2．已知函数，.求的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解； 【详解】因为，所以， 若，则当时，，函数单调递增； 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 3．已知函数，其中R.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】利用导数分类讨论求函数的单调性. 【详解】依题意，的定义域为， 由，得 ， ①当时， 恒成立，所以在单调递增； ②当时，令，得， 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 4．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出区间端点值，即可得解； （2）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调性. 【详解】（1）当时，则， 当时恒成立，所以在上单调递增， 又，， 所以在上的值域为. （2）函数的定义域为， 又， 当，即时恒成立，所以在上单调递减； 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 题型二 二次函数（可因式分解型） 1．已知函数．讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】，对分，和讨论单调性即可. 【详解】， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得导数的两个零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 3．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义有，即可求； （2）对函数求导，根据导数的区间符号求单调区间. 【详解】（1）由题设，则， 又在点处的切线的斜率为，则，可得； （2）由题设且， 当，则，故在上单调递减， 当，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，的递减区间为，无递增区间， 时，的递减区间为，递增区间为. 4．已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求得函数的导数，讨论的取值范围，结合一元二次方程的根的情况判断导数的正负，即可判断函数的单调性. 【详解】函数定义域为，由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增； 当时，的解为，的解为， 所以在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 5．已知函数，.讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对求导，然后分和两种情况讨论即可； 【详解】函数的定义域为， 所以. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令得，令得， 所以在上单调递减：在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 6．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 题型三 二次函数（不可因式分解型） 1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数．求的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】求出导函数，根据和分类讨论，可求得单调区间. 【详解】． ①当时，，所以在单调递增． ②当时，由可得，由可得． 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递增；当时， 在单调递减，在单调递增． 2．已知函数．讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的定义域与导函数,分，两种情况讨论的正负得出函数的单调性． 【详解】由题意，得函数的定义域为R，则， 当时，对任意恒成立，∴函数在R上单调递减； 当时，令，得，令，得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 3．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【详解】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 4．已知函数，讨论单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导，对参数分，，三种情况讨论单调性即可. 【详解】求导得， 当时，，令得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或， 所以当或时，单调递减； 所以当时，，单调递增． 所以在上单调递减，在内单调递增； 当时，，故在上单调递减． 5．已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可. 【详解】， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. 题型四 指数函数型 1．已知函数.讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导后，分别在和的情况下，根据的正负可确定单调性. 【详解】由题意知，定义域为，； 令，则. ①当，即时，（当且仅当，时取等号）， 在上单调递减； ②当，即时，令，解得，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 2．已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析. 【分析】 求出函数的导数，通过讨论的范围，判断函数的单调性即可； 【详解】由题意可得的定义域为，且． 令，则，又． 当，即时，，在上单调递增． 当，即或时，有两个根，． 若，，，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 若，，则当或时，，单调递增， 当时，，单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 3．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求定义域，求导，令，根据二次函数根的分布情况，结合韦达定理讨论的正负，即可得出的单调性. 【详解】定义域为，， 令， ①当时，恒成立，，在是增函数； ②时，， 当，即时，由得，， 因为，所以， 由或，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为，， 当，即时，恒成立，在是增函数， 综上可知： 时，在是增函数； 时，的单调递减区间为，单调递增区间为，. 1．（25-26高二下·全国·随堂练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对进行分类讨论，结合导函数的正负与函数单调性的关系即可得解. 【详解】因为，， 所以， 若，则恒成立，此时在上单调递增； 若，令，得，易得时，，时，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2．（2025高二·全国·专题练习）求函数，的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】求导，讨论的取值范围，结合导函数的正负可确定的单调区间. 【详解】由题意得，， 由得，， 当时，由得，或，由得，， ∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 当时，在上恒成立， ∴函数的单调递增区间为，没有单调递减区间． 当时，由得，或，由得，， ∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上得，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 3．已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析. 【分析】将函数求导，对的正负性进行分类讨论，进而得到的单调性. 【详解】因为的定义域为， 所以，其中， 当时，即，在上单调递增， 当时，即， 令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4．（23-24高二下·吉林·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导求得曲线在点处的切线方程为，由已知可得，求解即可； （2）求导得，对分类讨论可求得的单调性. 【详解】（1）因为，所以. 由， 得曲线在点处的切线方程为， 即，则，解得， （2）. 若，则当时，，当时，. 若，则当时，， 当时，. 若，则在上恒成立. 若，则当时，，当时，. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 5．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）根据题意，求得，分和，两种情况，再结合两根得到大小，分三种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得 且， 故曲线在点处的切线方程. （2）由函数，其定义域为， 且， ① 若，可得 当时，可得；当时，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ② 若时，则，令，可得或， 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，即时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上递增，在上递减， 综上可得：当时，在上递增，在上递减； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 6．（24-25高二下·天津河东·月考）设函数，．求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间. 【详解】因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 7．（24-25高二下·河北保定·月考）已知函数．求的单调区间 【答案】答案见解析 【分析】分、、讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 8．（24-25高二下·广东·期中）已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】， ①当，令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减； ②当，令，解得，， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减， 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，单调递增.在单调递减． 9．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）求导，可得结果； （2），讨论，，，根据导数正负判断单调性． 【详解】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 10．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数．讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析. 【分析】求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，由，得，， 由，得或，由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 11．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数的几何意义，在点处的切线与轴平行，即代入即可求解； （2）确定函数定义域，求导确定导函数的零点，根据导数确定函数单调性即可. 【详解】（1）由题可知函数定义域为，， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. （2）由（1）可知函数定义域为， ， 令，恒成立， 令，解得（舍去）或， 若，，单调递减； 若，，单调递增. 12．（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)唯一的零点1 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数得函数在单调递增，又，得解； （2）先求，令，分类讨论函数的正负性，从而可得函数的单调性. 【详解】（1）若，， 则，   所以函数在单调递增，   又，故有唯一的零点1. （2）因为， 令， ①当时，，在上，，所以单调递增． ②当时， 当时，， 在上恒成立，所以单调递增．   当或时，，令， 得， 当时，注意到， 所以当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．   当时， 注意到， 所以当或时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．    综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 1．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）确定函数定义域，求导，根据导数的符合判断函数单调性，从而确定单调区间； 【详解】（1）由题意得的定义域为，且， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为； 2．（24-25高二下·广东·期中）已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】（1）若，则，则，，， 所以在点处的切线方程为． （2）， ①当，令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减； ②当，令，解得，， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减， 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，单调递增.在单调递减． 3．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数． (1)讨论在上的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，根据的范围对参数进行分类讨论，确定的符号，从而确定函数的单调性；（2）转化为证明成立，构造函数，再利用导函数的隐零点研究单调性，结合隐零点满足的关系式指对互化并回代入原函数值，变形后利用双勾函数求解范围即可证明. 【详解】（1）由，得， 由，得. 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 当时，由，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 4．已知函数． (1)若，讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导函数，再因式分解得，再分，，三种情况讨论单调性； 【详解】（1）因为，所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，，当时，， 则的单调递增区间为，，单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，；当时，； 则的单调递增区间为，，单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 5．（24-25高二下·江西宜春·期中）已知函数 . (1)求函数的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，再分类求出函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. 6．已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，对m进行分类讨论即可得结果； 【详解】（1）已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $