9.6黄金分割同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级下册

9.6 黄金分割 同步训练 一、单选题 1．把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　） A． B． C． D． 3．顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，，，都是黄金三角形，且，则长为（   ） A． B． C． D． 4．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（   ） A． B． C． D． 5．自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则长为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，已知直线垂直于线段于点D． 我们按如下步骤尺规作图： 第一步，分别以D、B为圆心，大于 为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线交于点G； 第二步，以D为圆心，为半径作弧，与射线交于点H； 第三步，以H为圆心，为半径作弧，与射线交于点M； 第四步，以D为圆心，为半径作弧，与线段交于点N． 则点N是线段DB的（   ） A．二等分点 B．三等分点 C．四等分点 D．黄金分割点 二、填空题 7．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．已知某女士的身高为，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为__________（精确到） 8．如图是某校音乐社团购买的一种乐器．乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则A，D之间的距离为________．（结果精确到） 9．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且．若，则的长为___________（结果保留根号）． 10．在“国旗在心中”活动中，萌萌近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，是线段的黄金分割点，若，则的长为___________．（结果保留根号） 三、解答题 11．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 12．人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 13．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？过点作的垂线，并在垂线上取；连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理，若，求的长． 14．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． (1)图1中，若线段，求线段的长． (2)如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 学科网（北京）股份有限公司 《9.6 黄金分割 同步训练 2025-2026学年鲁教版五四制数学八年级下册》参考答案 1．B 【分析】本题考查黄金分割的定义，根据黄金分割中较长线段与原线段的比例关系计算即可. 【详解】解：∵黄金分割中，较长线段与原线段的比值为， 又∵原线段长为， ∴较长线段的长为 . 2．D 【分析】设雕像的下部的高度为，由黄金分割的定义得，即可求解． 【详解】解：设雕像的下部的高度为， ∵雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比， ∴， 解得：， 即雕像的下部的高度为． 3．D 【分析】本题主要考查了黄金三角形，先根据为黄金三角形，，求出，再根据为黄金三角形，求出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：∵为黄金三角形， ∴， ∴； ∵为黄金三角形， ∴， ∴； ∵为黄金三角形， ∴． 故选：D． 4．C 【分析】根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴． 5．A 【分析】根据黄金分割点的意义解答即可． 本题考查了黄金分割点，熟练掌握其意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得黄金分割点． 故选：A． 6．D 【分析】设，根据作图可得，进而根据勾股定理求得，根据作图得出，即可求解． 【详解】解：设，根据作图可得， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 7．/8厘米 【分析】先根据已知条件求出女士原下半身长，再设高跟鞋高度，根据黄金比例列分式方程求解，检验后即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，该女士的原下半身长为， 设她应穿的高跟鞋的高度为， 根据题意得， ， 经检验，是原分式方程的解，符合实际意义， 将结果精确到，得． 8． 【分析】本题主要考查了黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．根据黄金分割点的定义，得解答即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，得， 解得， 故， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ， 故答案为：． 10． 【分析】利用黄金分割比为，可得，再由即可求解． 【详解】解：是线段的黄金分割点，， ，即， 则， 解得：． 11． 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 12．见解析 【分析】本题考查黄金分割点，相似三角形的判定，根据黄金分割点的定义可得，由已知推出，再结合，即可证明结论． 【详解】证明：由题意可知，点是线段的黄金分割点，， ， 又，， ，即， ． 13．见解析， 【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理和解一元二次方程．掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：设，则， 设，即，， 为直角三角形， ． 即， 化简得， ，（舍去）， 即 ， 所以点为黄金分割点． 由作图可知， ． 即． 14．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了黄金分割点的意义，解一元二次方程． （1）设，则，根据，列得一元二次方程，解之取正值即可求解； （2）利用黄金分割点的意义求得和的长，进一步求得和的长，再分别求得和，据此判断即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得（舍去负值）， ∴； （2）证明：∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 学科网（北京）股份有限公司 $