第一单元 倍数与因数（期中知识清单）五年级数学下学期（西南大学版）

第一单元 倍数与因数 期中复习知识清单 考点一：因数与倍数的定义及关系 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。 2.因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 3.找一个数的因数与倍数的方法：列除法算式、列乘法算式。（有序列举、不重不漏） 4.一个数的因数与倍数的特征： (1)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是 1,最大的因数是它本身。 (2)一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 考点二：2、3、5的倍数特征 1.2的倍数的特征:个位上是 0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 2.偶数和奇数:整数中,是2的倍数的数叫做偶数，不是2 的倍数的数叫做奇数。 3.5的倍数的特征:个位上是 0或5的数都是5的倍数。 4.3的倍数的特征:一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。 考点四：质数与合数 1. 自然数按因数的个数来分：质数、合数和1. 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 2. 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 3. 分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数。 考点六：公因数与公倍数 1. 公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 （1）用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来） 几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 （2）如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的最小公倍数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。 2. 公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。 （1）用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来） （2）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 3. 求最大公因数和最小公倍数方法 列举求同法、短除法、分解质因数法。 题型1：因数与倍数相关概念 【例1】 因为8×7＝56，所以，56是( )的倍数；8和7都是56的( )数。 【答案】 7和8 因 【分析】在乘数和积都是整数的乘法算式中，积是乘数的倍数，乘数是积的因数，由此解答即可。 【详解】因为8×7＝56，所以，56是7和8的倍数；8和7都是56的因数。 【例2】判断：因为1.2÷0.4＝3，所以1.2是0.4的倍数，0.4是1.2的因数。( ) 【答案】× 【分析】要使两个数有因数和倍数的关系，则被除数和除数都要是整数，所得的商也要是整数且没有余数，由此进行判断即可。 【详解】1.2÷0.4＝3，因为1.2和0.4都是小数，所以不能说1.2是0.4的倍数，0.4是1.2的因数，原题说法错误； 故答案为：× 【练1】在7×6＝42中，( )是( )的倍数，7和( )是( )的因数。 【答案】 42 7和6 6 42 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【详解】在7×6＝42中，42是7和6的倍数，7和6是42的因数。 【练2】判断：12÷5＝2.4，12是倍数，5是因数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义进行解答。 【详解】因为12÷5＝2.4，不是整除，所以12不是5的倍数，5不是12的因数，且因数与倍数是相互依存的。 故答案为：× 题型2：找一个数的因数或倍数 【例3】 猜猜我是谁。 我是( )         我是( )         我是( ) 【答案】 60 11 28 【分析】根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；据此解答第一空； 根据找一个数因数的方法，先找出33和11的所有因数，再找除1以外共有的因数；据此解答第二空； 根据找一个数倍数的方法，找出7的倍数，再找到其中有因数4的，也就是7的4倍，据此解答第三空。 【详解】我的最大因数和最小倍数都是60，我是60； 33的因数：1、3、11、33， 11的因数：1、11， 所以是33的因数，又是11的因数，但我不是1，我是11； 7×4＝28 我是50以内7的倍数，我的其中一个因数是4，我是28。 如下： 【练3】下面各数中，既是6的倍数，又是54的因数的是（    ）。 A．9 B．12 C．18 D．30 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。据此判断即可。 【详解】A．54÷9＝6 9不是6的倍数，但是54的因数。 B．12÷6＝2 12是6的倍数，但不是54的因数。 C．18÷6＝3 54÷18＝3 18既是6的倍数，又是54的因数。 D．30÷6＝5 30是6的倍数，但不是54的因数。 既是6的倍数，又是54的因数的是18。 故答案为：C 题型3：2、3、5的倍数特征 【例4】把下面的数按要求分类。 18  30  10  24  50  253 7005  105  204  51  141 2的倍数：( )                      3的倍数：( )                      5的倍数： ( )                       既是2的倍数，也是3的倍数：( )                                     既是2，也是5的倍数：( )                                           同时是2、3和5的倍数：( ) 【答案】 18、30、10、24、50、204 18、30、24、7005、105、204、51、141 30、10、50、7005、105 18、30、24、204 30、10、50 30 【解析】略 【例5】在34中，如果里是( )，那么它一定是2、5的倍数；如果里是( )，那么它一定是3的倍数。 【答案】 0 2、5、8 【分析】掌握2的倍数，5的倍数以及3的倍数的特点。 2的倍数特点：个位上的数为0、2、4、6、8； 5的倍数特点：个偻上的数为0或5； 3的倍数特点：各个位数之和是3的倍数； 要使这个三位数是2、5的倍数，那个位上一定是0，据此填空； 如果使它是3的倍数，那么3＋4＋＝3的倍数，据此求解。 【详解】 在34中，如果里是0，那么它一定是2、5的倍数； 3＋4＝7 3的倍数有9、12、15； 15－7＝8，12－7＝5，9－7＝2 如果里是2、5、8，那么它一定是3的倍数。 【例6】张奶奶养了一些鸡，一天产蛋不超过50个，2个2个地数剩1个，5个5个地数剩4个，3个3个地数正好数完，一天最多产( )个蛋。 【答案】39 【分析】2个2个地数剩1个，鸡蛋总数为奇数，5个5个地数剩4个，鸡蛋总数是5的倍数减1，3个3个地数正好数完，鸡蛋总数为3的倍数，据此解答。 【详解】50以内5的倍数减1有：49，44，39，34，29，24，19，14，9，4，其中奇数有：49，39，29，19，9，这些数中是3的倍数有39和9，所以－天最多产39个蛋。 则一天最多产39个蛋。 【点睛】解答此题的关键是先求出2与5的倍数，然后减去1进行解答即可。 【练4】用1，2，3，4这4个数字组成一个两位数，分别满足下面条件。 （1）是3的倍数的数是( )。 （2）是2和3的倍数的数是( )。 （3）是3和5的倍数的数是( )。 （4）是2，3和5的倍数的数是( )。 【答案】 42 12 无 无 【解析】略 【练5】在0、1、5、6这四个数字中，选取三个数字组成一个三位数，使它是2、3、5的倍数，这个数最小是（    ）。 A．60 B．150 C．105 【答案】B 【分析】能被同时被2、5整除的数个位为0；能被3整除的数各个数位上的数字之和是3的倍数。据此判断解答。 【详解】A．60不是三位数，该选项不符合题意； B．150个位数字是0，1＋5＋0＝6，6是3的倍数，150是2、3、5的最小倍数，该选项符合题意； C．105个位数字是5，不是2的倍数，该选项不符合题意。 故答案为：B 【练6】有85个苹果，每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果不能，至少还需要加上几个就能正好装完？ 【答案】能，因为85是5的倍数；不能，至少再加2个。 【分析】由题意可知，若85能被5整除，则每5个装一袋，能正好装完；同理，若85能被3整除，则每3个装一袋，能正好装完，若不能，再根据3的倍数特征进行解答即可。 【详解】85÷5＝17（袋） 85÷3＝28（袋）……1（个） （85＋2）÷3 ＝87÷3 ＝29（袋） 答：每5个装一袋，能正好装完，因为85是5的倍数；如果每3个装一袋，不能正好装完，至少再加2个就能正好装完。 【点睛】本题考查3、5的倍数，明确它们的倍数特征是解题的关键。 题型4：奇数与偶数 【例7】观察下面两组数，用“奇”或“偶”填空。 (1)长方形中的数都是( )数，三角形中的数都是( )数。 (2)从长方形中任取两个数相加，和是( )数。 (3)从三角形中任取两个数相乘，积是( )数。 (4)从长方形和三角形中各取一个数相加，和是( )数。 【答案】(1) 偶 奇 (2)偶 (3)奇 (4)奇 【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，并结合已知的数，即可解答； 左图中的数都是偶数，里面任意两个数相加的和是偶数； 右图中的数都是奇数，里面任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是奇数； 左图中任意一个数与右图中任意一个数，相加的和是奇数。 根据奇数与偶数的性质，即可解答。 【详解】（1）长方形中的数都不能被2整除，是奇数；三角形中的数都能被2整除，是偶数，长方形中的数都是偶数，三角形中的数都是奇数。 （2）从长方形中任取两个数相加，如：72＋64＝136，40＋18＝58，16＋52＝68……得到的和都是偶数。即偶数＋偶数＝偶数，则和是偶数。 从长方形中任取两个数相加，和是偶数。 （3）从三角形中任取两个数相乘，如：23×37＝851，79×61＝4819，83×15＝1245……得到的积都是奇数。即奇数×奇数＝奇数，从三角形中任取两个数相乘，积是奇数。 （4）从长方形和三角形中各取一个数相加，如：72＋79＝151，36＋37＝73，52＋61＝113……和是奇数。即，奇数＋偶数＝奇数。从长方形和三角形中各取一个数相加，和是奇数。 【例8】一只小船每天在河的东西两岸运送乘客，从东岸到西岸或从西岸到东岸都算一次。 （1）一天，这只小船从东岸开始运送乘客，第5次从东岸出发还是从西岸出发？第10次、第115次和200次呢？ （2）你发现了什么规律？ 【答案】（1）东岸；西岸；东岸；西岸 （2）当次数是奇数时，从东岸出发；当次数是偶数时，从西岸出发 【分析】第1次，从东岸出发到西岸；第2次，从西岸出发到东岸；第3次，从东岸出发到西岸；第4次，从西岸出发到东岸；……，由此可知，当次数是奇数时，从东岸出发到西岸；当次数是偶数时，从西岸出发到东岸，据此分析解答。 【详解】（1）5是奇数，第5次从东岸出发；10是偶数，第10次是从西岸出发；115是奇数，第115次是从东岸出发；200是偶数，第200次是从西岸出发。 答：第5次从东岸出发，第10次从西岸出发；第115次从东岸出发，第200次从西岸出发。 （2）发现：当次数是奇数时，从东岸出发；当次数是偶数时，从西岸出发。 【练7】判断：两个奇数之和一定是偶数，两个偶数之和也一定是偶数，因此两个自然数之和也一定是偶数。( ) 【答案】× 【分析】奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，举例说明即可。 【详解】如自然数1和2，1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数，所以原题说法错误。 【点睛】本题考查了奇数和偶数，判断题只要举出一个反例即可判断是错误。 【练8】洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【分析】根据偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，进行分析。 【详解】找得不对；理由：偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数。因为2和10都是偶数，所以无论买了几个甜甜圈和三明治，所花的钱数都是偶数，所以找回的钱数也是偶数，11是奇数，所以找得不对。 【点睛】关键是掌握奇数和偶数的运算性质。 题型5：质数与合数 【例9】下面说法中，正确的是(    )。 A．所有的质数都是奇数 B．一个自然数不是奇数就是偶数 C．一个自然数不是合数就是质数 D．以上说法都正确 【答案】B 【分析】在自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。一个非零自然数，只有１和它本身２个因数，这个数就是质数；一个非零自然数，除了1和它本身2个因数，还有别的因数，这个数就是合数。据此解答。 【详解】A．2是质数但不是奇数。该选项说法错误。 B．在自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数，所以一个自然数不是奇数就是偶数，该选项说法正确。 C．1是自然数，但它既不是质数，也不是合数。该选项说法错误。 D．该选项说法错误。 故答案为：B 【例10】小强家的电话号码是由8位数字组成的A5B3C3DE。其中A的最大因数是8，B有因数2和3，C是最小的质数，D既不是质数也不是合数，E既是奇数也是合数，小强家的电话号码是( )。 【答案】85632319 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数；一个数的最大因数是它本身；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定各数，即可得到小强家的电话号码。 【详解】A的最大因数是8，A是8；10以内有因数2和3的是6，B是6；最小的质数是2，C是2；1既不是质数也不是合数，D是1；10以内既是奇数也是合数的是9，E是9，小强家的电话号码是85632319。 【练9】下面说法正确的有（    ）个。 ①所有7的倍数，都是合数。         ②两个质数的积一定是合数。 ③一个质数，它的因数一定是质数。   ④一个合数最少有2个因数。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数。根据质数、合数的特征，逐项分析解答即可。 【详解】①7也是7的倍数，但7是质数，不是合数，所以原题说法错误； ②设这两个质数分别为a和b，且a×b＝c，c的因数除了1和c以外，还有因数a和b，所以c一定是合数，原题说法正确； ③一个质数，它的因数不一定是质数，例如5是质数，它的因数有1和5，1既不是质数也不是合数，所以原题说法错误； ④一个数除了1和它本身还有其它因数的数叫作合数，所以一个合数最少有3个因数，原题说法错误。 所以说法正确的只有1个。 故答案为：B 【练10】一个四位数，千位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，个位上的数既不是质数也不是合数，这个四位数是( )。 【答案】 1241 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数。1既不是质数也不是合数； 偶数：像0，2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，将各个数位上的数字按位组合即可得到答案。 【详解】千位：最小的奇数是1，因此千位上的数字是1。 百位：最小的质数是2，因此百位上的数字是2。 十位：最小的合数是4，因此十位上的数字是4。 个位：既不是质数也不是合数的数是1（在自然数范围内，0通常不参与质数或合数的讨论），因此个位上的数字是1。 一个四位数，千位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，个位上的数既不是质数也不是合数，这个四位数是1241。 题型6：分解质因数 【例11】把210分解质因数是（    ）。 A．210＝1×2×3×5×7 B．210＝5×6×7 C．210＝1×5×6×7 D．210＝2×3×5×7 【答案】D 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．210＝1×2×3×5×7；1不是质数，不符合题意； B．210＝5×6×7；6是合数，不是质数，不符合题意； C．210＝1×5×6×7；1不是质数，6是合数，不是质数，不符合题意； D．210＝2×3×5×7，2、3、5，7都是210的因数，都是质数，符合题意。 把210分解质因数是210＝2×3×5×7。 故答案为：D 【例12】四年级的王丽同学参加学校组织的数学竞赛，李老师算了一下，她的年龄、名次、分数三个数的乘积为2910，王丽数学竞赛得了( )分。 【答案】97 【分析】根据题意，先把2910分解质因数，再把数字与王丽的年龄、名次、分数对应即可。注意四年级同学的年龄大约是10岁，分数比较大，而名次比较小。据此解答。 【详解】2910＝2×5×3×97 2×5＝10（岁） 所以她的年龄是10岁，名次是第三名，竞赛得了97分。 【练11】《西游记》是我国四大名著之一，孙悟空神通广大，共有七十二变。请把72写成质数相乘的形式是72＝( )，72的因数有( )个。 【答案】 2×2×2×3×3 12 【分析】利用分解质因数的方法，把72写成几个质因数相乘的积；找一个数的因数，可以把这个数写成两个整数的乘积，则这两个整数都是这个数的因数，据此解答即可。 【详解】，72的因数共有12个。 72写成质数相乘的形式是72＝，72的因数有12个。 【练12】有三只白兔，它们的年龄恰好一个比一个大1岁，年龄的乘积是24。你知道它们的年龄各是多少吗？ 【答案】2岁、3岁、4岁。 【分析】先把24进行分解，写出3个连续自然数相乘的形式，进而得出答案。 【详解】24＝2×3×2×2 因为它们的年龄恰好一个比一个大1岁 答：它们的年龄各是2岁、3岁、4岁。 【点睛】把24写成连续3个自然数乘积的形式是解决本题的关键，考查了分解质因数。 题型7：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 【例13】如果b＝a（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】已知b＝a（a、b均为非0自然数），即a＝3b，说明a和b存在倍数关系；存在倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。据此解答。 【详解】已知b＝a（a、b均为非0自然数），即a＝3b，说明a和b存在倍数关系，且a＞b。 所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 【练13】A＝m×3×5，B＝m×3×7（m是大于0的自然数），如果A和B的最大公因数是6，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】两个数的最小公倍数是它们共有的质因数与各自独有的质因数的乘积。根据A和B的最大公因数是6，求出m，然后再求最小公倍数。 【详解】A＝m×3×5 B＝m×3×7 A和B的最大公因数是3×m＝6 所以m＝2 A和B的最小公倍数是3×2×5×7＝210。 题型8：最大公因数与最小公倍数的实际应用 【例14】明德小学五二班的同学到“夕阳红养老院”义务劳动，男生25人，女生30人，要把他们进行分组，如果每组中男女生人数相同，最多可以分成几组？每组有男生多少人？每组有女生多少人？ 【答案】5组；5人；6人 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 求出男女生人数的最大公因数，就是最多分的组数，男生人数÷组数＝每组男生人数，女生人数÷组数＝每组女生人数。 【详解】25＝5×5 30＝2×3×5 25和30的最大公因数是5，故最多可以分成5组。 每组男生：25÷5＝5（人） 每组女生：30÷5＝6（人） 答：最多可以分成5组，每组有男生5人，每组有女生6人。 【例15】五（1）班组织一些同学参加“六一”队列操表演，正好可以站成每列6人，或者每列8人。五（1）班至少组织多少名同学参加队列操表演？ 【答案】24名 【分析】“正好可以站成每列6人，或者每列8人”，说明同学总人数是6和8的公倍数；要求“至少组织多少名同学”，即求6和8的最小公倍数。用“分解质因数法”求最小公倍数，6＝2×3；8＝2×2×2，所以6和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24，即五（1）班至少组织24名同学参加队列操表演。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（名） 答：五（1）班至少组织24名同学参加队列操表演。 【练14】有一块长45厘米、宽20厘米的长方形木板，把它锯成若干块同样的正方形而无剩余，所锯成的正方形边长最长是多少厘米？能锯成多少块这样的正方形？ 【答案】5厘米；36块 【分析】根据题意可知：求锯成的小正方形的边长最长是几厘米，也就是求45和20的最大公因数，用长方形的长除以最大公因数，可求得一行锯成几块这样的正方形，用长方形的宽除以最大公因数，可求得锯这样的正方形有几行，然后两数相乘，就是锯成的正方形的数量。据此解答即可。 【详解】45＝3×3×5 20＝2×2×5 45和20的最大公因数是5。 所锯成的正方形边长最长是5厘米。 （45÷5）×（20÷5） ＝9×4 ＝36（块） 答：所锯成的正方形边长最长是5厘米，能锯成36块这样的正方形。 【练15】吃完早餐，乐乐要乘坐公交车去看望外婆。从汇东公交枢纽站乘坐1路或者10路都可以到达外婆的家。8：10乐乐选择了1路公交车前往外婆家，在车上乐乐一直在想：1路公交车和10路公交车下一次同时发车最快会在什么时刻呢？ 【答案】8：34 【分析】已知1路公交车每6分钟发车1次，10路公交车每8分钟发车1次，那么这两辆公交车同时发车的相隔时间就是6和8的公倍数；先求出6和8的最小公倍数，再加上乐乐上车的时刻8：10，就是两辆公交车下一次同时发车的时刻。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即1路公交车和10路公交车每24分钟同时发车。 8时10分＋24分钟＝8时34分 答：1路公交车和10路公交车下一次同时发车最快会在8：34。 一．选择题 1．a，b是两个非零的整数，8×a＝b，b是a的（　　） A．因数 B．合数 C．倍数 D．公倍数 【答案】C 【分析】整数a除以整数b（b≠0），得到的商是整数，而没有余数，就说a是b的倍数，b是a的因数，奴才解答即可。 【解答】解：a，b是两个非零的整数，8×a＝b，b是a的倍数。 故选：C。 2．a和b是非零自然数，且a÷b＝5，那么a和b的最小公倍数是（　　） A．5 B．a C．b D．没有 【答案】B 【分析】a和b是非零自然数，且a÷b＝5，由此可知a和b成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的数是这两个数的最小公倍数．据此解答． 【解答】解：因为a÷b＝5，a和b是非零自然数，所以a和b的最小公倍数是a． 故选：B． 3．已知三位数“4□1”正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】4□1是连续三个自然数的和，意味着平均值是中间的哪个数，也意味着4□1可以被3整除，4+1＝5，那么□里可能是1、4、7，也就是3个连续自然数的和可能是411、441、471，据此解答． 【解答】解：4□1是连续三个自然数的和，意味着平均值是中间的哪个数，也意味着4□1可以被3整除， 4+1＝5，那么□里可能是1、4、7， 所以只有选项B符合要求． 故选：B． 4．如果a+3＝奇数，那么a一定是 （　　） A．奇数 B．偶数 C．质数 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题可以利用特殊值的方式解决，如果a+3＝奇数，可以取奇数为5，则5﹣3＝2，即a＝2，所以a是偶数。规律：偶数+奇数＝奇数。奇数+奇数＝偶数。 【解答】解：经分析得： 偶数+奇数＝奇数。 则a一定是偶数。 故选：B。 5．正方形的边长是质数，它的周长一定是（　　） A．奇数 B．合数 C．质数 D．既不是质数也不是合数 【答案】B 【分析】正方形的边长是质数，设这个质数是a，则它的周是4a，然后根据约数个数分析，是质数还是合数；因为：奇数×偶数＝偶数，偶数偶数＝偶数，正方形的周长：边长×4，所以正方形的边长是质数，它的周长一定是偶数；据此解答。 【解答】解：正方形的边长是质数，设这个质数是a， 则它的周是4a，4a含有1、2、4、a、2a、4a， 含有6个约数，即4a含有6个约数，所以是合数；4a是一个偶数，不是奇数。 故选：B。 二．填空题 6．最小的质数是 　2　 ，最小的偶数是 　0　 ，最小的自然数是 　0　 ，最小的合数是 　4　 ，最小的一位数是 　1　 。 【答案】2；0；0；4；1。 【分析】根据质数、偶数、合数与质数的定义进行填空。 【解答】解：最小的质数是2，最小的偶数是0，最小的自然数是0，最小的合数是4，最小的一位数是1。 故答案为：2；0；0；4；1。 7．某市护城河部分河段已经完成升级改造，并对市民开放。护城河沿线一共铺设了18km步道，栽种银杏树453棵，放置长椅120个，建设桥梁7座，水上平台30个，球类运动场21个，儿童活动场所15处，健身广场42处，雕塑24个，喷泉景点4处，成了网红打卡地。 （1）文中的自然数中，是质数的有 　7　 ，是合数的有 　18、453、120、30、21、15、42、24、4　 。 （2）文中的自然数中，既是44的因数，又是4的倍数的数有 　4　 。 （3）从文中找两个自然数，使它们的最大公因数是3，它们分别是 　21　 和 　18　 。 【答案】（1）7，18、453、120、30、21、15、42、24、4； （2）4； （3）21，18。 【分析】（1）质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数，合数：除了1和它本身两个因数外还有其它因数，这个叫合数，据此解答即可； （2）找出既是44的因数，又是4的倍数的数即可； （3）最大公因数是3，说明这个数必须是3的倍数，据此找出即可。 【解答】解：（1）文中的自然数中，是质数的有7，是合数的有18、453、120、30、21、15、42、24、4。 （2）文中的自然数中，既是44的因数，又是4的倍数的数有4。 （3）从文中找两个自然数，使它们的最大公因数是3，它们分别是21和18。 故答案为：7，18、453、120、30、21、15、42、24、4；4；21，18。 8．有一个比14大，比19小的奇数，它同时是质数，这个数是　17　 ． 【答案】17 【分析】根据奇数、质数的含义：自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；可知：比14大，比19小的奇数，有15、17，但15是合数，不合题意，所以这个数是17；据此解答即可． 【解答】解：根据奇数、质数的含义可知：比14大，比19小的奇数，有：15、17； 但15是合数，不合题意（舍去）； 所以这个数是17； 故答案为：17． 9．25的最大因数是　25　 ，最小倍数是　25　 ． 【答案】25；25 【分析】根据一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，据此解答． 【解答】解：25的最大因数是25，25的最小倍数是25； 故选：25，25． 10．从6，2，9，0，1中选三个数字组成一个同时是2，3，5倍数的三位数，这个三位数最大是 　960　 ，最小是 　120　 。 【答案】960，120。 【分析】根据能被2、3、5整除的数的特征：末尾必须是0，这个三位数最大时，百位数为9，因为9+0+6＝15，15能被3整除；所以该三位数最大为960；这个三位数最小时，百位数为1，因为1+0+2＝3，3能被3整除；所以该三位数最小为120。 【解答】解：6，2，9，0，1这五个数字中0要放在个位， 百位和十位数字的和能被3整除， 故这个三位数最大是960，最小是120。 故答案为：960，120。 11．能同时被3、5整除的最大两位数是　90　 ，能同时被2、3、5整除的最小三位数是　120　 ． 【答案】90；120 【分析】（1）根据能被3、5整除的数的特征可知：该数的个位是0或5，并且该数各个数位上数的和能被3整除； （2）根据能被2、5整除的数的特征，可以得出：该三位数的最高位（百位）最小是1，个位是0；进而根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，得出：十位上的数是2． 【解答】解：（1）能同时被3、5整除的最大两位数的个位如果是5，则十位为7，因为5+7＝12，能被3整除，但不是最大；当个位是0时，十位是9，9+0＝9，9能被3整除，所以最大为90； （2）能同时被2、3、5整除的最小三位数120； 故答案为：90，120． 12．如果A＝2×3×5×7，B＝2×2×3，那么A和B的最大公因数是　6　 ，A和B的最小公倍数是　420　 ． 【答案】6；420 【分析】求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：如果A＝2×3×5×7，B＝2×2×3， 那么A和B的最大公因数是：2×3＝6， 最小公倍数是：2×3×5×7×2＝420． 故答案为：6，420． 13．把165写成质数相乘的形式 　165＝3×5×11　 。 【答案】165＝3×5×11。 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【解答】解：165＝3×5×11。 故答案为：165＝3×5×11。 14．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友。如果按班分组，要求两个班各组人数一样多，每组最多有 　12　 个小朋友，两个班一共可以分成 　7　 个组。 【答案】12；7。 【分析】根据题意，每组小朋友的人数最多为36和48的最大公因数。据此，先求出最大公因数，再利用除法求出两个班各被分成了几组，从而利用加法求出一共分成了几组。 【解答】解：36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 2×2×3＝12（个） 36÷12+48÷12 ＝3+4 ＝7（组） 答：每组最多有12个小朋友，两个班一共可以分成7个组。 故答案为：12；7。 15．小明6天去一次图书馆，红红8天去一次图书馆，他们俩今天在图书馆相遇后，至少再过 　24　 天又在图书馆相遇。 【答案】24。 【分析】又在图书馆相遇的时间间隔，即求8和6的最小公倍数；据此解答即可。 【解答】解：[8，6]＝24 答：至少再过24天又在图书馆相遇。 故答案为：24。 16．一筐苹果，3个3个数，4个4个数，5个5个数，数完都余1个，这筐苹果最少是 　61个　 。 【答案】61个。 【分析】如果减去1个，则这筐苹果最少数就是3，4，5的最小公倍数；据此解答即可。 【解答】解：[3，4，5]＝60 60+1＝61（个） 答：这筐苹果最少是61个。 故答案为：61个。 三．判断题 17．自然数中除了奇数，就是偶数．　√　 （判断对错） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据偶数和奇数的意义，解答即可． 【解答】解：是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是0，不是2的倍数的数叫做奇数．所以自然数中除了偶数就是奇数的说法是正确的； 故答案为：√ 18．如果a除以b的商是5（a，b是非0自然数），那么a和b的最大公因数是5。（ 　×　 ）（判断对错） 【答案】×。 【分析】根据a÷b＝5，可知a＝5b，a和b是倍数关系。如果两数是倍数关系，较小的数就是这两个数的最大公因数，据此解答。 【解答】解：如果a除以b的商是5（a，b是非0自然数），那么a和b的最大公因数是b，所以原说法错误。 故答案为：×。 19．100以内的非零自然数中，既是3的倍数又是5的倍数的偶数有3个。 　√　 （判断对错） 【答案】√。 【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此既是3的倍数又是5的倍数的偶数最小是30。找100以内30的倍数即可解答。 【解答】解：100以内的非零自然数中，既是3的倍数又是5的倍数的偶数有3个：30、60、90。所以原题说法正确。 故答案为：√。 四．解答题 20．求下面几组数的最大公因数，用短除法计算。 36和54 25和35 12和42 【答案】18；5；6。 【分析】依次用公有的质因数去除，除到最后的商互质；据此把所有的除数相乘得解。 【解答】解：36和54 2×3×3＝18， 36和54的最大公因数为18， 25和35 25和35的最大公因数是5， 12和42 2×3＝6， 12和42的最大公因数是6。 21．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16 13和91 5和13 【答案】24和16的最大公因数是8，最小公倍数是48；13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91；5和13最大公因数是5，最小公倍数是65。 【分析】先找出每组中每个数的质因数，再求出最大公因数与最小公倍数。 【解答】解：24＝2×3×2×2 16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是2×2×2＝8，最小公倍数是2×2×2×3×2＝48。 91＝13×7 13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91。 5和13互质最大公因数是5，最小公倍数是5×13＝65。 五．应用题 22．有一块长方形纸板，长24厘米，宽16厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方形，不能有剩余，每块小正方形的边长最长是多少厘米？可以裁成多少块？ 【答案】8厘米；6块。 【分析】通过求长方形长和宽的最大公因数来确定小正方形的最长边长，再分别计算长方形长和宽方向能裁出的个数，最后将两个方向的个数相乘得到裁成的总块数。 【解答】解：24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是2×2×2＝8。 24÷8＝3（块） 16÷8＝2（块） 3×2＝6（块） 答：每块小正方形的边长最长是8厘米；可以裁成6块。 23．五（2）班同学到校外参加植树活动，无论18人一组还是12人一组都多2人。这个班的人数在30到60之间，这个班有学生多少人？ 【答案】38人。 【分析】无论18人一组还是12人一组都多2人，说明总人数比18和12的公倍数多2人。先求出18和12的最小公倍数，再通过最小公倍数找到30到60之间的公倍数，加2就是这个班的人数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】解：18＝2×3×3 12＝2×2×3 12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36。 36+2＝38（人） 30＜38＜60 答：这个班有学生38人。 24．夜里下了一场大雪．早上爸爸和小明一起步测小区里环形小路的长度，他们从同一点同向行走．小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印．求这条小路长． 【答案】见试题解答内容 【分析】54和72的最小公倍数是216，216÷72＝3，216÷54＝4，即父亲3步与小龙4步时脚印重合，此时有6脚印，距离是216厘米，总共有60个脚印，所以这条路长是：60÷6×216＝2160（厘米）． 【解答】解：54和72的最小公倍数是216， 216÷72＝3 216÷54＝4 即父亲每走3步与小龙每走4步时脚印重合， 此时只有6个脚印， 距离是216厘米， 总共有60个脚印， 所以这条路长是： 60÷6×216 ＝10×216 ＝2160（厘米） 答：这条小路长2160厘米． 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 倍数与因数 期中复习知识清单 考点一：因数与倍数的定义及关系 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。 2.因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 3.找一个数的因数与倍数的方法：列除法算式、列乘法算式。（有序列举、不重不漏） 4.一个数的因数与倍数的特征： (1)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是 1,最大的因数是它本身。 (2)一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 考点二：2、3、5的倍数特征 1.2的倍数的特征:个位上是 0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 2.偶数和奇数:整数中,是2的倍数的数叫做偶数，不是2 的倍数的数叫做奇数。 3.5的倍数的特征:个位上是 0或5的数都是5的倍数。 4.3的倍数的特征:一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。 考点四：质数与合数 1. 自然数按因数的个数来分：质数、合数和1. 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 2. 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 3. 分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数。 考点六：公因数与公倍数 1. 公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 （1）用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来） 几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 （2）如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的最小公倍数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。 2. 公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。 （1）用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来） （2）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 3. 求最大公因数和最小公倍数方法 列举求同法、短除法、分解质因数法。 题型1：因数与倍数概念辨析 【例1】 因为8×7＝56，所以，56是( )的倍数；8和7都是56的( )数。 【例2】判断：因为1.2÷0.4＝3，所以1.2是0.4的倍数，0.4是1.2的因数。( ) 【练1】在7×6＝42中，( )是( )的倍数，7和( )是( )的因数。 【练2】判断：12÷5＝2.4，12是倍数，5是因数。( ) 题型2：找一个数的因数或倍数 【例3】 猜猜我是谁。 我是( )         我是( )         我是( ) 【练3】下面各数中，既是6的倍数，又是54的因数的是（    ）。 A．9 B．12 C．18 D．30 题型3：2、3、5的倍数特征 【例4】把下面的数按要求分类。 18  30  10  24  50  253 7005  105  204  51  141 2的倍数：( )                      3的倍数：( )                      5的倍数： ( )                       既是2的倍数，也是3的倍数：( )                                     既是2，也是5的倍数：( )                                           同时是2、3和5的倍数：( ) 【例5】在34中，如果里是( )，那么它一定是2、5的倍数；如果里是( )，那么它一定是3的倍数。 【例6】张奶奶养了一些鸡，一天产蛋不超过50个，2个2个地数剩1个，5个5个地数剩4个，3个3个地数正好数完，一天最多产( )个蛋。 【练4】用1，2，3，4这4个数字组成一个两位数，分别满足下面条件。 （1）是3的倍数的数是( )。 （2）是2和3的倍数的数是( )。 （3）是3和5的倍数的数是( )。 （4）是2，3和5的倍数的数是( )。 【练5】在0、1、5、6这四个数字中，选取三个数字组成一个三位数，使它是2、3、5的倍数，这个数最小是（    ）。 A．60 B．150 C．105 【练6】有85个苹果，每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果不能，至少还需要加上几个就能正好装完？ 题型4：奇数与偶数 【例7】观察下面两组数，用“奇”或“偶”填空。 (1)长方形中的数都是( )数，三角形中的数都是( )数。 (2)从长方形中任取两个数相加，和是( )数。 (3)从三角形中任取两个数相乘，积是( )数。 (4)从长方形和三角形中各取一个数相加，和是( )数。 【例8】一只小船每天在河的东西两岸运送乘客，从东岸到西岸或从西岸到东岸都算一次。 （1）一天，这只小船从东岸开始运送乘客，第5次从东岸出发还是从西岸出发？第10次、第115次和200次呢？ （2）你发现了什么规律？ 【练7】判断：两个奇数之和一定是偶数，两个偶数之和也一定是偶数，因此两个自然数之和也一定是偶数。( ) 【练8】洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？ 题型5：质数与合数 【例9】下面说法中，正确的是(    )。 A．所有的质数都是奇数 B．一个自然数不是奇数就是偶数 C．一个自然数不是合数就是质数 D．以上说法都正确 【例10】小强家的电话号码是由8位数字组成的A5B3C3DE。其中A的最大因数是8，B有因数2和3，C是最小的质数，D既不是质数也不是合数，E既是奇数也是合数，小强家的电话号码是( )。 【练9】下面说法正确的有（    ）个。 ①所有7的倍数，都是合数。         ②两个质数的积一定是合数。 ③一个质数，它的因数一定是质数。   ④一个合数最少有2个因数。 A．0 B．1 C．2 D．3 【练10】一个四位数，千位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，个位上的数既不是质数也不是合数，这个四位数是( )。 题型6：分解质因数 【例11】把210分解质因数是（    ）。 A．210＝1×2×3×5×7 B．210＝5×6×7 C．210＝1×5×6×7 D．210＝2×3×5×7 【例12】四年级的王丽同学参加学校组织的数学竞赛，李老师算了一下，她的年龄、名次、分数三个数的乘积为2910，王丽数学竞赛得了( )分。 【练11】《西游记》是我国四大名著之一，孙悟空神通广大，共有七十二变。请把72写成质数相乘的形式是72＝( )，72的因数有( )个。 【练12】22．有三只白兔，它们的年龄恰好一个比一个大1岁，年龄的乘积是24。你知道它们的年龄各是多少吗？ 题型7：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 【例13】如果b＝a（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【练13】A＝m×3×5，B＝m×3×7（m是大于0的自然数），如果A和B的最大公因数是6，则A和B的最小公倍数是( )。 题型8：最大公因数与最小公倍数的实际应用 【例14】明德小学五二班的同学到“夕阳红养老院”义务劳动，男生25人，女生30人，要把他们进行分组，如果每组中男女生人数相同，最多可以分成几组？每组有男生多少人？每组有女生多少人？ 【例15】五（1）班组织一些同学参加“六一”队列操表演，正好可以站成每列6人，或者每列8人。五（1）班至少组织多少名同学参加队列操表演？ 【练14】有一块长45厘米、宽20厘米的长方形木板，把它锯成若干块同样的正方形而无剩余，所锯成的正方形边长最长是多少厘米？能锯成多少块这样的正方形？ 【练15】吃完早餐，乐乐要乘坐公交车去看望外婆。从汇东公交枢纽站乘坐1路或者10路都可以到达外婆的家。8：10乐乐选择了1路公交车前往外婆家，在车上乐乐一直在想：1路公交车和10路公交车下一次同时发车最快会在什么时刻呢？ 一．选择题 1．a，b是两个非零的整数，8×a＝b，b是a的（　　） A．因数 B．合数 C．倍数 D．公倍数 2．a和b是非零自然数，且a÷b＝5，那么a和b的最小公倍数是（　　） A．5 B．a C．b D．没有 3．已知三位数“4□1”正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如果a+3＝奇数，那么a一定是 （　　） A．奇数 B．偶数 C．质数 D．无法确定 5．正方形的边长是质数，它的周长一定是（　　） A．奇数 B．合数 C．质数 D．既不是质数也不是合数 二．填空题 6．最小的质数是 　 　 ，最小的偶数是 　 　 ，最小的自然数是 　 　 ，最小的合数是 　 　 ，最小的一位数是 　 　 。 7．某市护城河部分河段已经完成升级改造，并对市民开放。护城河沿线一共铺设了18km步道，栽种银杏树453棵，放置长椅120个，建设桥梁7座，水上平台30个，球类运动场21个，儿童活动场所15处，健身广场42处，雕塑24个，喷泉景点4处，成了网红打卡地。 （1）文中的自然数中，是质数的有 　 　 ，是合数的有 　 　 。 （2）文中的自然数中，既是44的因数，又是4的倍数的数有 　 　 。 （3）从文中找两个自然数，使它们的最大公因数是3，它们分别是 　 　 和 　 　 。 8．有一个比14大，比19小的奇数，它同时是质数，这个数是　 　 ． 9．25的最大因数是　 　 ，最小倍数是　 　 ． 10．从6，2，9，0，1中选三个数字组成一个同时是2，3，5倍数的三位数，这个三位数最大是 　 　 ，最小是 　 　 。 11．能同时被3、5整除的最大两位数是　 　 ，能同时被2、3、5整除的最小三位数是　 　 ． 12．如果A＝2×3×5×7，B＝2×2×3，那么A和B的最大公因数是　 　 ，A和B的最小公倍数是　 　 ． 13．把165写成质数相乘的形式 　 　 。 14．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友。如果按班分组，要求两个班各组人数一样多，每组最多有 　 　 个小朋友，两个班一共可以分成 　 　 个组。 15．小明6天去一次图书馆，红红8天去一次图书馆，他们俩今天在图书馆相遇后，至少再过 　 　 天又在图书馆相遇。 16．一筐苹果，3个3个数，4个4个数，5个5个数，数完都余1个，这筐苹果最少是 　 　 。 三．判断题 17．自然数中除了奇数，就是偶数．　 　 （判断对错） 18．如果a除以b的商是5（a，b是非0自然数），那么a和b的最大公因数是5。（ 　 　 ）（判断对错） 19．100以内的非零自然数中，既是3的倍数又是5的倍数的偶数有3个。 　 　 （判断对错） 四．解答题 20．求下面几组数的最大公因数，用短除法计算。 36和54 25和35 12和42 21．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16 13和91 5和13 五．应用题 22．有一块长方形纸板，长24厘米，宽16厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方形，不能有剩余，每块小正方形的边长最长是多少厘米？可以裁成多少块？ 23． 五（2）班同学到校外参加植树活动，无论18人一组还是12人一组都多2人。这个班的人数在30到60之间，这个班有学生多少人？ 24．夜里下了一场大雪．早上爸爸和小明一起步测小区里环形小路的长度，他们从同一点同向行走．小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印．求这条小路长． 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $